抽象函数经典综合题33例(共28页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）1.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)f(2x-x2)>1，求x的取值范围解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0∴又x=0时，f(0)=1>0∴对任意x∈R，f(x)>0(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 ∴ ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数（4）f(x)f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 02时，4.已知f(x)在(－1，1)上有定义，f()＝－1，且满足x，y∈(－1，1)有f(x)＋f(y)＝f()⑴证明：f(x)在(－1，1)上为奇函数；⑵对数列x1＝，xn＋1＝，求f(xn);⑶求证(Ⅰ)证明：令x＝y＝0，∴2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0∴f(x)＋f(－x)＝0 ∴f(－x)＝－f(x)∴f(x)为奇函数 (Ⅱ)解：f(x1)＝f()＝－1，f(xn＋1)＝f()＝f()＝f(xn)＋f(xn)＝2f(xn)∴＝2即{f(xn)}是以－1为首项，2为公比的等比数列∴f(xn)＝－2n－1(Ⅲ)解： 而∴ 5.已知函数，满足：对任意都有；（1）试证明：为N上的单调增函数；（2），且，求证：；（3）若，对任意,有，证明：.证明：（1）由①知，对任意，都有，由于，从而，所以函数为上的单调增函数. （2）由（1）可知都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)f(n)+1 f(n+1)-f(n), f(n)-f(n-1) f(2)-f(1)f(1)-f(0)由此可得f(n)-f(0)n f(n)n+1命题得证 （3）（3）由任意,有得 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+1 6.已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)(3)若且，则有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)设数列的前项和为，且满足.求证：.解：（I）令，由(3),则由对任意，总有 （II）任意且，则 (III) ，即。

故即原式成立 7. 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数．(1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；(3) 若函数为理想函数，假定，使得，且，求证．解：（1）取可得．又由条件①，故．（2）显然在[0，1]满足条件①；-也满足条件②． 若，，，则 ，即满足条件③， 故理想函数． （3）由条件③知，任给、[0，1]，当时，由知[0，1]，若，则，前后矛盾；若，则，前后矛盾．故 8. 已知定义在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意实数,总有恒成立Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若,且对任意正整数,有, ,求数列{an}的通项公式； (Ⅲ)若数列{bn}满足，将数列{bn}的项重新组合成新数列，具体法则如下：……，求证：解：(Ⅰ)令，得，①令，得，，②由①、②得，又因为为单调函数，(Ⅱ)由（1）得，，，，(Ⅲ)由{Cn}的构成法则可知，Cn应等于{bn}中的n项之和，其第一项的项数为[1+2+…+(n－1)]+1=+1，即这一项为2[+1]－1=n(n－1)+1Cn=n(n－1)+1+n(n－1)+3+…+n(n－1)+2n－1=n2(n－1)+=n3 当时，解法2：9.设函数是定义域在上的单调函数，且对于任意正数有，已知.（1）求的值；（2）一个各项均为正数的数列满足：，其中是数列的前n项的和，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在正数，使 对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由.解：（1）∵，令，有，∴.再令，有，∴，∴ （2）∵,又∵是定义域上单调函数，∵，，∴ ……①当时，由，得，当时， ……②由①－②，得，化简，得　，∴，∵，∴，即，∴数列为等差数列. ，公差.∴，故. （3）∵，令=,而. ∴=， ∴，数列为单调递增函数，由题意恒成立，则只需=，∴ ，存在正数，使所给定的不等式恒成立，的取值范围为.10.定义在R上的函数f（x）满足，且时，f（x）<0。

1）设，求数列的前n项和；（2）判断f（x）的单调性，并证明解：（1）令x=n，y=1，则所以，故数列是首项为－1，公差为－2的等差数列因此，（2）设，且，则所以 于是又所以，而函数f（x）在R上是减函数11. 设函数f（x）定义在R上，对于任意实数m、n，恒有，且当x>0时，01；（2）求证：f（x）在R上单调递减；（3）设集合，，若，求a的取值范围解：（1）令m=1，n=0，得f（1）= f（1）f（0）又当x>0时，0< f（x）<1，所以f（0）=1设x<0，则－x>0令m=x，n=－x，则f（0）= f（x）f（－x）所以f（x）f（－x）=1又0< f（－x）<1，所以（2）设，且，则所以从而又由已知条件及（1）的结论知f（x）>0恒成立所以所以所以f（x2）< f（x1），故f（x）在R上是单调递减的3）由得：因为f（x）在R上单调递减所以，即A表示圆的内部由f（ax－y+2）=1= f（0）得：ax－y+2=0所以B表示直线ax－y+2=0所以，所以直线与圆相切或相离，即解得：12.定义在R上的函数f（x）对任意实数a、b都有f（a+b）+ f（a－b）=2 f（a）f（b）成立，且。

1）求f（0）的值；（2）试判断f（x）的奇偶性；（3）若存在常数c>0使，试问f（x）是否为周期函数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由解：（1）令a=b=0则f（0）+ f（0）=2 f（0）f（0）所以2 f（0）[f（0）－1]=0又因为，所以f（0）=1（2）令a=0，b=x，则f（x）+ f（－x）=2 f（0）f（x）由f（0）=1可得f（－x）= f（x）所以f（x）是R上的偶函数3）令，则因为所以f（x+c）+ f（x）=0所以f（x+c）=－ f（x）所以f（x+2c）=－ f（x+c）= －[－f（x）]= f（x）所以f（x）是以2c为周期的周期函数13.已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足：（1）（2）存在正常数a，使f（a）=1求证：（1）f（x）是奇函数；（2）f（x）是周期函数，并且有一个周期为4a证明：（1）设，则所以函数f（x）是奇函数2）令，则即解得：f（2a）=0所以所以因此，函数f（x）是周期函数，并且有一个周期为4a14.已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数 证明：对一切有 且，令，得， 现设，则，， 而 ， 设且， 则 ， 即为减函数。

15.已知函数是定义在上的减函数，且对一切实数x，不等式恒成立，求k的值 分析：由单调性，脱去函数记号，得 由题意知(1)(2)两式对一切恒成立，则有 16.设定义在上的函数对于任意都有成立，且，当时，1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；（2）试问：当-2003≤≤2003时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由；（3）解关于的不等式，其中.分析与解：⑴令x=y=0，可得f(0)=0令y=-x，则f(0)=f(－x)+f(x)，∴f(－x)= －f(x)，∴f(x)为奇函数⑵设－3≤x1＜x2≤3，y=－x1，x=x2则f(x2－x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2)－f(x1)，因为x＞0时，f(x)＜0，故f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0∴f(x2)＜f(x1)、f(x)在区间[－2003、2003]上单调递减∴x=－2003时，f(x)有最大值f(－2003)=－f(2003)=－f(2002+1)=－[f(2002)+f(1)]=－[f(2001)+f(1)+f(1)]=…=－2003f(1)=4006。