六大定理互相证明总结讲课讲稿.docx

精品名师归纳总结六大定理相互证明总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结六大定理的相互证明总结XXX 学号数学科学学院 数学与应用数学专业 班级指导老师 XXX摘要 在《数学分析》中其次部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理,其中包括确界定理,单调有界原理,区间套定理,致密性定理,柯西 收敛定理,有限掩盖定理 .该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用 .本文总结了六大定理的相互证明 .关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限掩盖定理1 确界定理1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界,有下界的非空数集必有下确界 .1.2 确界定理证明区间套定理可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结证明：设一无穷闭区间列an , bn适合下面两个条件：（ 1）后一个区间在可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结前一个区间之内,即对任一正整数 n ,有 an an1 ＜ bn 1bn ,（ 2）当 n可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结时,区间列的长度bn an所成的数列收敛于零,即lim bn an 0 .n可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结明显数列an 中每一个元素均是数列bn 的下界,而数列bn 中每一个元素均是可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结数列 an的上界. 由确界定理,数列an 有上确界,数列bn 有下确界 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结设 infbn ,sup an. 明显 anbn , anbn .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结又 lim bn an 0n可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结即 an及 bn收敛于同一极限 ,并且 是全部区间的唯独公共点 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结1.3 确界定理证明单调有界原理 [1]可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明 . 因 yn 有界,就必有上确界可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结sup yn. 现在证明 恰好是yn 的极限,即 yn .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结由上确界的定义有：⑴ yn （ n 1,2,3 ⋯）,⑵对任意给定的 ＞0,在 yn可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结中至少有一个数yN ,有y N ＞ . 但由于yn 是单调增加数列,因此当 n ＞可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结N 时,有yn yN,从而yn ＞ . 也就是说：当 n ＞ N 时,有可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结0 yn ＜所以 yn2 单调有界原理可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2.1 单调有界原理 单调有界数列有极限 .2.2 单调有界原理证明致密性定理在证明定理之前,我们要先证明一个引理：任意一个数列xn 必存在单调子数可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结列.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结证明：⑴如xn 中存在递增子序列xn ,就引理已证明。

可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结k⑵如 xn中无递增子序列,那么n1＞0,使 n ＞ n1,恒有xn1 ＞xn . 同样在 xn可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结（ n ＞ n1）中也无递增子序列 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结于是又存在n 2 ＞ 0,使n 2 ＞ n ,恒有 xn＜ xn ＜ xn1. 如此无限进行下去便可得到可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2一严格递减子序列 xnk .引理得证 .下面证明定理：由引理知,有界数列必有有界单调子数列 . 又由单调有界原理知,该有界单调子数列必有极限,即该子数列是收敛的 . 故有界数列必有收敛子列.2.3 单调有界原理证明区间套定理 [1]可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结由定理的条件立刻知道an 是单调增加有上界的数列,bn 是单调递减有下界可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结的数列. 依据定理,就limnan 存在,且极限等于an 的上确界 . 同样,limnbn 也存可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结在,且极限等于 bn 的下确界 . 亦即对任何正整数 k ,有可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结aklim an ,bknlim bnn（*）由定理的另一条件：lim bnnan0 ,并且由于已知 an 及 bn 的极限都存在,就有 lim bnnanlim bnnlim ann0 .从而证明白两个极限相等,且设是它们的同一极限 . 于是定理前一部分的结果即已证得 . 剩下要证的是：是全部区间的唯独公共点 . 由（* ）的两个不等式,即有 akbn （ k1,2,3 ⋯）也就是 是全部区间的一个公共点 . 现在要证明是全部区间的唯独公共点 . 设除点 外,所设区间列仍有另外一个公共点' ,且'. 由于 an,'bn（ n 1,2,3 ⋯）,故有bna'n（ n 1,2,3 ⋯）由数列极限的性质知道：lim b'nnan由于 lim bnnan0 ,故有'0从而有 ' . 到此定理的全部结果都已得证 .3 区间套定理可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结3.1 区间套定理 设一无穷闭区间列an , bn适合下面两个条件：（ 1）后一可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结个区间在前一个区间之内,即对任一正整数 n ,有 an an1 ＜ bn 1bn ,（ 2）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结当n 时,区间列的长度bn an所成的数列收敛于零,即可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结lim bn ann0 ,就区间的端点所成两数列an 及 bn收敛于同一极限 ,并且可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结是全部区间的唯独公共点 .3.2 区间套定理证明单调有界原理证明：设数列 xn 递增有上界 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结取闭区间a1, b1,使 a1 不是数列xn 的上界,b1 是数列xn 的上界. 明显在闭区可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结间 a1, b1内含有数列xn 的无穷多项,而在a1, b1外仅含有数列xn 的有限项 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结对分 a1 ,b1,取 a2 ,b2,使其具有a1, b1的性质. 故在闭区间a 2 , b2内含有数列可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结xn 的无穷多项,而在a 2 , b2外仅含有数列xn 的有限项 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结以此方法,得区间列 an , bn .由区间套定理, 是全部区间的唯独公共点 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结明显,在 的任何邻域内有数列xn 的无穷多项,即 ＞ 0, NN * ,当 n可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结＞ N 时,有 xn ＜ .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结所以 lim xn n定理得证 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结3.3 区间套定理证明致密性定理 [1]可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载。