数列中裂项相消的常见策略.docx

数列中裂项相消的常见策略化娟 (甘肃省临泽一中 734000)裂项相消是数列中常见的求解策略，裂项的本质是把数列中的乘积形式变成2项差的形式.近 几年的数学高考试题频频用到此法，本文就解决这类问题的策略结合常见的试题给予概括总结，以 供参考.1 利用分式的通分进行裂项通分在小学和初中阶段都是常见的内容，而裂项主要是逆用通分，把乘积式转化为2式的差.例如可以利用/ 1八=1(1 - 进行裂项.n(n + k) k n n + k11例1求和1+尼+帀亍+…+分析 因为 1 + 2 + 3 + ••• + n - n(n + 2)2nn +1所以原式=2卜2 +1 - 1 + 1 -1 +…+丄- * 丿V 2 2 3 3 4 n n +1 丿例2已知等差数列匕｝满足：a =7,a +a =26,匕｝的前n项和为Sn 3 5 7 n n1)求a及S4n2)令b = (n g N*)，求数列缶｝的前n项和为T .n a 2 一1 n nn分析1)略.(2)由 a=2n +1，得 a2 一 1 = 4n(n +1),n从而4n(n + 1)=4G 一 注'1 1 1 1 1 1 1 1 n因此 Tn 二b1+b2+…+bn=i(1 一2+厂3+…+n一荷)=4(1 -荷)=2 利用根式的分母有理化进行裂项分母有理化可以把分母中的根式去掉，从而转化为差的形式进行裂项 .例如可以利用分式1vn +^n + kG'n + k 一叮n)等. k例3已知数列匕｝■满足a二nn1(n +1) v n + n \ n +1，求S .n分析1 (n +1) Jn - n Jn +1 1 1(n + l)、.n + n、：n +1 (n +1)2 n - n 2(n +1) 、n 2),则 c - c =- = 2(—- ).n (n -1) n n+1 n n(n -1) n n -1从而 c = (c - c ) + (c - c ) + + (c - c ) + c =n n n-1 n-1 n - 2 3 2 21 1 1 1 1 1 b 22 ( - + - + …+ — 一 1) + c =2( -1) + — = + 2，n 一 1 n 一 2 n 一 2 n 一 3 2 2 n 一 1 2 n 一 12 于是 b = c - n(n 一 1) = ( + 2)n(n 一 1) = 2n2.n n n — 14 利用两角差的正切公式进行裂项tan a 一 tan P 把两角差的正切公式进行恒等变形，例如tan(a -卩)= 可以1 + tan a tan Ptan a - tan P 4变形为tan a tan p= -1或者其他形式，从而解决问题.tan（a - p）例5在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数 的乘积记作T，n > 1.n（1） 求数列匕｝的通项公式；n（2） 设b = tan a - tan a ，求数列缶｝的前n项和S .n n n+1 n n分析 （1） a =lgT =n+2（n>1）.nn2)由题意和第(1)小题的计算结果，知b = tan(n + 2) - tan(n + 3)(n > 1) n，得方面，利用tani 二 taJG+1)-k l ]: ；：：(；: 七:：上tan(k +1) - tan k =tan(k +1) - tan ktan1-1,于是S =》bnii=1tan(k +1) - tan k =；i =3 i =3tan(k +1) 一 tan ktan1-1tan(n + 3) 一 tan 3-ntan15 利用对数的运算性质进行裂项M对数运算有性质log = log M - log N，有些试题则可以构造这种形式进行裂项.aN例6各项都是正数的等比数列匕｝满足a丰1(n g N*)，当n > 2时，证明：nnn -1lg a lglga2 lglg a lgn-1lg a lg分析设等比数列匕｝的公比为(q> 0)，由= q ，得 lg- lg an-1= lg q ，n+1从而，lg a lgn-1n-1lga因此，左边=ig q iglga2)+ (lg a2lga3lg an-1lgalg q 'glga - lg■n(n -1)lg qn-1lga2lgqlg a lglgalg a lglg a lg= 右式.利用排列数或组合数的性质进行裂项排列数有性质n - n! = (n + l)!-n!，组合数有这样的性质C=Cn+1- Cm-1，都可以作为裂项的依据.例7求和：1 • 1!+2 • 2!+…分析 直接利用n - n! = (n +1)!-n!可得结果是(n +1)!-1.例 8 求和： Sn1 2 n=+ + …+ —2! 3! (n +1)!分析有丘厂讦托二2 -占1(n + 1)!从而 S = C 2 + C 3 — C 3 = C 3 .n 2 n+1 3 n +1例 9 求和：S = C2 + C2 + + C2.n 2 3 n分析利用组合数性质，有C 2二C 3 - C 3 ,k k +1 k。