湖北省部分高中协作体2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题 含解析.docx

湖北省部分高中协作体 2024--2025 学年下学期期中联考高一数学试题本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟★祝考试顺利★注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4、考试结束后，请将答题卡上交一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的1.若角α的终边在直线 y=-x 上,则角α的取值集合为( )A.B.C.D.2.函数 f(x)=sin 在区间 上的最小值为( )A.-1 B.-C. D.03.函数 y=sin 在区间 上的简图是( )4.正六边形 ABCDEF 中,用 和 表示 ,则 =( )共 4 页，第 1页A.- B.-C.- D.-5.已知|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 ,那么|4a-b|=( )A.2 B.6C.2 D.126.在△ABC 中,| |=3,| |=2, ,则直线 AD 通过△ABC 的( )A.重心 B.外心C.垂心 D.内心7.若复数 是纯虚数,则实数 a=( )A.- B.C.- D.8.若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则 a=( )A.-1 B.0C.1 D.2二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多 项是符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。

9.(多选题)已知函数 f(x)=3sin x-4cos x,若 f(α),f(β)分别为 f(x)的极大值与极小值,则( )A.tan α=-tan β B.tan α=tan βC.sin α=-sin β D.cos α=-cos β10.(多选题)已知点 O 在△ABC 所在的平面内,则以下说法正确的有( )A.若 =0,则点 O 为△ABC 的重心B.若 =0,则点 O 为△ABC 的垂心C.若( )· =( )· =0,则点 O 为△ABC 的外心D.若 ,则点 O 为△ABC 的内心11.(多选题)已知两个复数 z1,z2 满足 z1z2=i,且 z1=1-i,则下面说法正确的是( )A.z2= B.|z1|=C.|z1+z2|≥2 D. =-i三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分共 4 页，第 2页12.某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数 y=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高为 28 ℃,12 月份的月平均气温最低为 18℃,则 10 月份的平均气温为 ℃13.已知点 P,Q 分别是四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的中点, =a, =b,且 a,b 是不共线的向量,则向量 。

14.在复平面内,O 为原点,向量 对应的复数为-1+2i,若点 A 关于直线 y=-x 的对称点为 B,则向量 对应的复数为 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分 15.（本小题满分 15 分）已知函数 f(x)=2cos2x+2 sin xcos x1)求 f 的值;(2)若 f ,α∈ ,求 cos α的值16.（本小题满分 15 分）已知函数 f(x)=4sin ωxsin -1(ω>0)的最小正周期为π1)求ω及 f(x)的单调递增区间;(2)求 f(x)图象的对称中心17.（本小题满分 15 分）经过△OAB 的重心 G 的直线与 OA,OB 分别交于点 P,Q,设 , (m>0,n>0)1)证明: 为定值;(2)求 m+n 的最小值18.（本小题满分 16 分）共 4 页，第 3页已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin 2C1)求角 C 的大小;(2)若 sin A,sin C,sin B 成等差数列,且 ·( )=18,求 c19.（本小题满分 16 分）在锐角三角形 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos Csin(A-B)=cos Bsin(C-A)。

1)求 tan A 的最小值;(2)若 tan A=2,a=4 ,求 c共 4 页，第 4页高一数学试题答案一、选择题：1.D 解 析 如 图 可 知 ,角 α的 取 值 集 合 为故选 D2.B 解析 由已知 x∈ ,得 2x- ,所以 sin ,故函数 f(x)=sin 上的最小值为- 故选 B3.A 解 析 令 x=0,得 y=sin ,排 除 B,D 项 ,当 x∈ 时 ,-,在此区间上函数不会出现最高点,排除 C 项故选 A4.B 解 析 设 边 长 为 2,如 图 ,设 AD,EC 交 于 点 O,则 OD=1,AO=3,得( )+ ( )=- 故选 B5.C 解析 |4a-b|2=16a2+b2-8a·b=16×1+4-8×1×2×cos =12所以|4a-b|=2 故选 C6.D 解析 因为| |=3,| |=2,所以 , ,则||因为 ,所以 AD 平分∠EAF,所以 AD 平分∠BAC,所以直线 AD 通过△ABC 的内心故选 D7.A 解 析 i,因 为 是 纯 虚 数 ,所 以得 a=- 故选 A共 4 页，第 1页8.C 解析 因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,所以 解得 a=1。

故选 C二、选择题：9.BCD 解析 对于 A,B,由题意,得 f'(x)=3cos x+4sin x,因为 f(α),f(β)分别为 f(x)的极大值与极小值,所以 f'(α)=f'(β)=0,即 3cos α+4sin α=0,3cos β+4sin β=0,所以 tan α=tan β=- ,故 A 不正确,B 正确;对于 C,f(x)=3sin x-4cos x=5sin(x-φ),其中 sin φ= ,cos φ= ,因为 tan α=tan β,且α,β分别为 f(x)的极大值点与极小值点,所以由正弦函数的图象知β=α+π+2kπ(k∈Z),所以 sin β=sin(α+π+2kπ)(k∈Z),cos β=cos(α+π+2kπ)(k∈Z),即 sin β=-sin α,cos β=-cos α,故 C,D 正确综上所述,选 BCD10.AC 解析 选项 A,设 D 为 BC 的中点,由于 =-( )=-2 ,所以 O 为 BC 边上中线的三等分点(靠近点 D),同理可证 O 为 AB,AC 边上中线的三等分点,所以 O 为△ABC 的重心,选项 A 正确;选项 B,向量 , 分别表示在边 AC 和 AB 上的单位向量,设为 ,和 ,则它们的差是向量 ,则当 · =0,即 时,点 O 在∠BAC 的平分线上,同理由 · =0,知点 O 在∠ABC 的平分线上,故 O 为△ABC 的内心,选项B 错误;选项 C,由( )· =0,得( )·( )=0,即 ,故||,同 理 有 | |,于 是 O 为 △ ABC 的 外 心 ,选 项 C 正 确 ;选 项 D,由 ·· ,得 · · =0,所以 ·( )=0,即 · =0,所以,同理可证 , ,所以OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB,即点O是△ABC的垂心,选项 D 错误。

故选 AC11.ABD 解析 因为 z1z2=i,z1=1-i,所以 z2= ,故 A 正确;|z1|= ,|z2|= ,所以|z1|= ,故 B 正确;因为|z1+z2|= <2,故 C 错误;=(1+i)× =-i,故 D 正确故选 ABD三、填空题：12. 20.5 解析 因为当 x=6 时,y=a+A=28;当 x=12 时,y=a-A=18,所以 a=23,A=5,所以 y=f(x)=23+5cos ,所以当 x=10 时,f(10)=23+5cos =20.513. a- b共 4 页，第 2页解析 如图,取 AB 的中点 E,连接 PE,QE,由题意,得 a,b,则 a- b14. -2+i 解析 因为点 A(-1,2)关于直线 y=-x 的对称点为 B(-2,1),所以向量 对应的复数为-2+i四、解答题：15.解 (1)因 为 f(x)=2cos2x+2,所 以 f=1+1=22)由 f ,α∈ ,得α+ ,sin ,cos ,所以cos α=cos 16.解 (1)f(x)=4sin ωx -1=2sin2ωx+2 sin ωxcos ωx-1=1-cos 2ωx+sin 2ωx-1= sin 2ωx-cos 2ωx=2sin 。

因为最小正周期为π,所以 =π,所以ω=1,所以f(x)=2sin ,令- +2kπ≤2x- +2kπ,k∈Z,解得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,所以 f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)2)令 2x- =kπ,k∈Z,解得 x= ,k∈Z,所以 f(x)图象的对称中心为 ,k∈Z17.解 (1)证明:设 =a, =b由题意知( )= (a+b), =nb-ma, a+b,由 P,G,Q 三点共线,得存在实数 λ,使得 =λ ,即 nb-ma=λ a+ λb,从而消去λ,得 =32)由(1),知 =3,于是 m+n= (m+n)= (2+2)= 当且仅当共 4 页，第 3页m=n= 时,m+n 取得最小值,最小值为 18.解 (1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B),在 △ ABC 中 ,A+B=π-C,0

因为 ·( )=18,所 以 · =18,即 abcos C=18,所 以 ab=36 由 余 弦 定 理 ,得 c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,所以 c2=4c2-3×36,所以 c2=36,所以 c=619.解 (1)由 已 知 得 cos C(sin Acos B-cos Asin B)=cos B(sin Ccos A-cos Csin A),又 sin(B+C)=sin A,所以整理得 2cos Csin Acos B=cos Asin A,因为 sin A>0,所以 2cos Ccos B=cos A又 cos A=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C,所以 si。