莫尔—库伦理论.doc

莫尔一库伦理论作者:日期:莫尔一库伦理论长期以来，人们根据对材料破坏现象的分析，提出了各种不同的 强度理论其中适用于土的强度理论有多种，不同的理论各有其优缺 点在土力学中被广泛采用的强度理论要推莫尔一库伦强度理论1 7 7 3年，法国学者库伦(Coulomb)根据砂土的试验结果,提出土 的抗剪强度t f在应力变化不大的范围内，可表示为剪切滑动面上法 向应力的线性函数即q = otan tp后来库伦又根据粘性土的试验结果，提出更为普遍的抗剪强度公 式：Tf = c + aUin cp1 936年,太沙基(Terzaghi)提出了有效应力原理根据有效 应力原理，土中总应力等于有效应力与孔隙水压力之和,只有有效应力 的变化才会引起强度的变化因此，土的抗剪强度“可表示为剪切破 坏面上法向有效应’的函数上述库仑公式应改写为PF F= c + o tan cp19 10年莫尔(Mohr)提出材料产生剪切破坏时,破坏面上的" 是该面上法向应力的函数，即T厂 f(R该函数在直角坐标系中是一条曲线，如图1所示，通常称为莫尔 包线土的莫尔包线多数情况下可近似地用直线表示，其表达式就是库伦所表示的直线方程由库伦公式表示莫尔包线的土体抗剪强度理 论称为莫尔一库伦(Mohr—Coulomb)强度理论。

1. 土中某点的应力状态我们先来研究土体中某点的应力状态，以便求得实用的土体极 限平衡条件的表达式为简单起见，下面仅研究平面问题在地基土中任意点取出一微分单元体，设作用在该微分体上的最 大和最小主应力分别为而且，微分体内与最大主应力］ 作用平面成任意角度a的平面 mn上有正应力和剪应力t［图 2(a)］图2 土中任意一点的应力(a)微分体上的应力;(b )隔离体上的应力为了建立T与o ］和o 3之间的关系，取微分三角形斜面体abc为隔离体［图2 (b)］将各个应力分别在水平方向和垂直方向上投影 根据静力平衡条件得工 x = Oq - ds - sin a -1.0-q - ds - sin a -1.0 +t - ds - cos a 1.0 = 0( a)工 y = 0, q - ds - cos a -1.0-q - ds - cos a -1.0-t - ds - sin a -1.0 = 0(b) i联立求解以上方程(&)、(b),即得平面mn上的应力1 1 q=_(q +q ) + _(q -q )cos 2a2 1 3 2 1 312 13 It =_(q -q )sin 2a由以上两式可知，在。

］和3已知的情况下，斜截面mn上的法向 应力和剪应力t仅与斜截面倾角a有关由式(1)得Q1 - a3ai - a35 + F上式表示圆心为(一’：')、半径为；！关的莫尔圆莫尔 圆上任一点代表与大主应力作用面成a角的斜面，其纵坐标代表1该面上的法向应力，横坐标代表该面上的剪应力在直角坐标系中(图3)以为横坐标轴.以t为纵坐标轴，按11r 11:; 1 01II1}f图3用莫尔应力圆求正应力和剪应力一定的比例尺，在轴上截取0 B=o ,0C二以0为圆心，以(3 1 1厂3)/2为半径，绘制出一个应力圆并从0C开始逆时针旋转2 a1 3 1角，在圆周上得到点A可以证明,A点的横坐标就是斜面mn上的正 应力而其纵坐标就是剪应力t事实上，可以看出,A点的横坐标为 0B + B01 + O^4cos 2a1 1 1 1=旳 + -旳)+ 2^1 _ ff3)cos 二-(cr1 + 口J + -(

由前述可知，莫尔应力圆上的每一点的横坐标和纵坐标分别表示土体中某点在相应平面上的正应力和剪应力T,如果莫尔应力圆位于抗剪强度包线的下方［图4(a)］即通过该点任一方向的剪应力t都小 于土体的抗剪强度Tf,则该点土不会发生剪切破坏，而处于弹性平衡 状态若莫尔应力圆恰好与抗剪强度线相切［图4(b)］,切点为B,则 表明切点B所代表的平面上的剪应力t与抗剪强度Tf相等，此时，该点 土体处于极限平衡状态■ ■■(a) (b)图4莫尔应力圆与土的抗剪强度之间的关系(a) 土处于弹性平衡状态；(b) 土处于极限平衡状态根据莫尔应力圆与抗剪强度线相切的几何关系，就可以建立起土 体的极限平衡条件下面，我们就以图5中的几何关系为例，说明如何建立无粘性土的 极限平衡条件图5无粘性土极限平衡条件推导示意图土体达到极限平衡条件时，莫尔应力圆与抗剪强度线相切于B点, 延长CB与t轴交于A点，由图中关系可知OB=OA再由切割定理，可得在厶AOC中，有二 OA^ * tan21 45°(T]2 二巧■ J ・ tan2115°a, = ・ tan" 145°因此， 、 '(

作E0平行BC，通过最小主 应力3的坐标点A作一圆与EO相切于E点，与轴交于I点3图6粘性土与粉土极限平衡条件推导示意图由前可知01 = o 1 = u 严 tan(45“ + —下面找出IG与c的关系(G点为最大主应力坐标点)由图中角(P/DFR — —度关系可知△ EBD为等腰三角形，ED二BD二c, 则有{ 申、EB 二 2csin <45° 4 yI = IF在AGI F中Gl 一cos( 们 I45° + -cos 45° 1 -I 2)I 2IF0G=0 I +IG2csin(45 #2Ctan 45° + 2j而且a = ct3 - tan2(45° 1 -] 1 2ctan(45° + y所以 」'I 2丿 \ 2丿同理可以证明45° - + 2ctan还可以证明或所以由图5的几何关系可以求得剪切面（破裂面）与大主应力面的夹角关系，因为(7)2a = 9(尸 I

如果土质均匀，且试验中能保证试 件内部的应力、应变均匀分布，则试件内将会出现两组完全对称的破 裂面(图刀式(2)至式(8)都是表示土单元体达到极限平衡时(破坏时)主应力 的关系，这就是莫尔一库伦理论的破坏准则，也是土体达到极限平衡 状态的条件，故而，我们也称之为极限平衡条件理论分析和试验研究表明，在各种破坏理论中，对土最适合的是 莫尔一库伦强度理论总结莫尔一库伦强度理论，可以表述为以下三 个要点：(1) 剪切破裂面上，材料的抗剪强度是法向应力的函数,可表达 为Tf=f@)(2) 当法向应力不很大时，抗剪强度可以简化为法向应力的线性函 数，即表示为库伦公式Tf = c + atan (p（3） 土单元中，任何一个面上的剪应力大于该面上土体的抗剪强度，土单元体即发生剪切破坏，用莫尔一库伦理论的破坏准则表示即为式（2）至式（8）剧仲林20 10年8月7日星期六。