基于消元法的数学思考.doc

基于“消元法”的数学思考作者：孟祥文 指导老师：侯小华我们常常采用“消元法”来求解二元-次方稈组•如二二，我们把两式相加便可以把y消去，得到2x = 4,从而求出方程组的解.在方程中我们把未知数看成一种“元素”,试想在几何和一些复杂代数式中是否也存在可以“消去”的“元素”呢？类比求解二元一次方程组的“消元法”张景中院士提出了一种解决几何问题的方法一 —“消点法” •笔者认为张景中先生把构成几何图形的“点”看成了一种可以消去的“元”, 我们可以用“消点法” 一步一步地把所有儿何约束的点进行化解，以至最终得到问题答案.此外笔者在进行高中数学教学的时候，受“消点法”的启示，在一些高中数列、函数、 方程等问题中也可以类比“消元法”进行解决在许多问题中，不同类型的代数式（如根式、 分式等）、函数（正弦、余弦等）、符号（如不同字母、边角等）会出现在同一个问题中，我 们可以类比代数中求解二元一次方稈组的“消元法”，把问题中不同类型的代数式、函数等 逐一 “消去”，问题便可以变得简单很多.下曲结合几道例题来具体介绍一下这种“消元法”・ 例 4.解方稈•： a 一 2y[a -3 = 0.分析：方稈中未知数符号包含两种类型：整式、根式•现在我们需要“消去” 一种. 方法（一）：把整式“消去”：把a转化成（奶）1则原方程变为：（心『一2丽一3 = 0・- 3）（V^ + 1） = 0品=3或奶=-1（舍去）（2=9.方法（二）：把“消去”（可以进行换元，也可以移项后等号两边平方），具体步骤略.例5.已知数列｛a”｝满足:栄代十2,求数列｛小通项公式.分析：给出的条件关系式中包含两种类型的代数式：整式和分式. 方法（一）：把整式“消去”：两边取倒数，得：1 1 1—=——+ -an % 2即:仏 %2所以数列［丄;是以丄为首项，丄为公差的等差数列.2 2得：n方法（二）：把分式“消去”：等号两边同乘最简公分母，得：2% + 一 2a“_i = °两边同除以卩禺心得：-——=- 久 2所以数列詁公差的等差数列.得：ci„ ——IIA — 2 cat「 2厂一ncosB例6.在AABC中，内角A.B.C的对边分别为abc,已知求叫值.sin A分析：给出的条件关系式中包含两种类型的符号：角45C和边abc・ 方法（一）：把边abc “消去3利用正弦定理，得:cos A-2cosC _ 2sin C-sin Acos S sin BsinBcos A-2sinBcosC = 2sinCcosB-sinAcosB ,即有 sin（A + B） = 2sin（B + C）,即 sin C = 2sin A,所以泌吃sin A方法（二）：把角A,B,C “消去”：利用余弦定理推论，化简幣理得：c = 2a,（具体步骤略）.再根据正弦定理即得：哑二2.sin A在高中数学中，利用这种“消元”解决的问题特别多•它其实更多的是一种转化思想, 我们利用备种转化，可以实现这种“消元”，从而使许多问题变得简单易解.在这里笔者做了 许多归纳:（1）根式和整式同时出现:可以加根号“消”整式,也可以两边平方去根式.（2） 報式和分式同时出现：两边取倒数“消”報式（也可以分母变成1,弦切转化的时候经常用到）；也可以同乘最简公分母“消”分式.（3） 不同次幕同时出现：两边取对数“消”指数，如a； =（4） 边角同时出现：可以借助正弦定理、余弦定理“消”边或“消”角.（5） 正弦、余弦同时出现，弦切同时出现，不同倍数的角的三角函数同时出现：n A借助三角函数恒等变换，如tanA = -——可以“消”正切， cos Asin 2A = 2 sin A cos A 可以“消”二倍角,2sin2 A = l-cos2A 可以“消”二次项等.类似的“消元”还有很多，在这里就不一一举例.在中学数学教学中，许多数学解题方法都可以讲行延伸.还有很多像“消元法”这种经 典数学解题思想值得我们去探究.［1］张景中.新概念几何［M］北京：中国少年儿童出版社，2002.作者信息孟祥文 数学与统计科学学院 2012级学科教学（数学）联系方式：EMAIL:caorenl988@ ：18615023412。