实数系基本定理.docx
4页
关于实数连续性的基本定理这七个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明它们在证明过程中相互联系对同 一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明 方法，有的出发点与站的角度不同，但最后却都能殊途同归而有时使用同一个定理，也 可能有不同的方法即使方法相同，还可以有不同的细节作为工具，它们又各具特点 而这些都是值得我们去注意与发现一）实数基本定理的出现关于实数的这些基本定理，总结起来就是一句话，实数系在分析上是完备的，直观来看 就是没有“洞”的有人也许会说，中学时我就知道实数就是直线，直线当然是没有“洞” 的，还用得着这么啰嗦吗？实际上，这里有一个逻辑循环，只有先肯定实数没有“洞”，才 能够把它等同于直线，初等数学就这样默认了直观的前提，但是在分析学中就得往前研究， 讨论一下这里的没有“洞”到底是怎么回事以上的定理表述如下：实数基本定理：对R的每一个分划AIB，都唯一的实数r,使它大于或等于下类A中 的每一个实数，小于或等于上类B中的每一个实数论证实数系的完备性和局部紧致性） 确界定理:在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。
单调有界原理:若数列｛x ｝单调上升有上界，则｛x ｝必有极限 nn区间套定理:设｛ [a , b ]｝是一个区间套，则必存在唯一的实数r,使得r包含在所有的 nn区间里，即r g [a ,b ]nnn=1有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖紧致性定理：有界数列必有收敛子数列柯西收敛定理：在实数系中，数列｛x ｝有极限存在的充分必要条件是：nVs > 0, mN,当n > N, m > N时，有 I x 一 x I< £nm这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互 等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明那么，它们在证明过程中有哪些联系？ 作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明上确界的数学定义：有界集合S,如果卩满足以下条件（1） 对一切x£S，有x邙，即卩是S的上界；（2） 对任意a<卩，存在xWS,使得x>a,即卩又是S的最小上界则称卩为集合S的上确界，记作P=supS （同理可知下确界的定义）例 1 设 S = | 令B是数列｛X ｝全体上界组成的集合，即 n nB=｛b| x < b, Vn ｝，而A二R\B,则A|B是实数的一个分划事实上，由单调上升｛x ｝，故 n nx厂1 e A,即A不空，由A=R\B,知A、B不漏又对任给aw A, b e B,则存在n，使a < x < b,1 o no即A、B不乱故A|B是实数的一个分划根据实数基本定理，Br e R，使得对 Va e A, b e B,有a < r < b下证lim x二r事实上，对nn T8V£ > 0,由于r-£ e A, 知BN,使r — £ Y x , 又｛x ｝单调上升，.•.当n A N时，有r — £ Y x < xn n N n•/ r + e b,便有2于是，| x -r| < £nlim x 二rnn T8若数列｛x ｝单调下降有下界，令y =-x ,贝叽y ｝单调上升有上界，从而有极限，设极限为 n n n nr,则lim x = lim (-y )二-r定理证完n nnT8 nT82.实数基本定理T确界定理证明：设X是有上界的非空实数集，记B为X的全体上界组成的集合A= R\B,贝y A|B构 成实数的一个分划。 事实上，不空，不漏显然而对Va e A, b e B,由a不是X的上界，知有x e X,使得x A a,而由b e B,知x 两两有 公共点杯曲条件，同样可推出此区间列有公共点的结论一又若附如条件（久- 心）则可得到与区闾套定理相同的结论.2•区间套定理：从构造过程中，使某种性质从第一个区间开始传递到第二个闭区间，再从 第二个区间推到第三个区间……如此继续下去，直到将这个性质聚到区间套所共有的点的 任意附近例了设函数/在〔―切卜选增，嶽足f（bxbr证明：［也便代北）=珈,即/在［%］上有不动点，证若f（a） = a或fm则结论已成立.故可设f（a）>atf｛b）<记6花i ］ = ［口，幻心=寺（釦+ 6］）.若/（门）=“，则已得证:若疋J< G，则记収—如*肌兰C1 $若f G，则记曰2二匚］二扒.按此方式继续下去，可构造岀区间套{［昕，虬「，懂足/(aj > t y(6fl) < ba . n - 1,2,' V.若在此过程中某—的中点q使/{cJ = G,W|l2得证-由区间套定理, 日5丘］% ,如］，氾一 1十2,….下面iit明/■（%） = £.・倘若/（壮）〉才-则因协」递减地趟于斗⑴亠沁），故存在臬个亠使53 -方面有于（氏）V厲（柯）＜ f ®人但这与f的递増性郴矛盾* 类似地推出fJ“）c竝 也不能成立. n3.紧致性定理：从数列的极限理论，我们知道收敛数列一定有界，但有界数列不一定收敛。 在一系列需要构造收敛数列的分析问题中，往往一开始构造一个有界数列，然后由紧致性定 理得出子列，也即紧致性定理，让我们从“混乱”的数列中找出了“秩序”4•有限覆盖定理：在分析问题过程中，往往可以从局部性质推向整体性质，特别是将有限 覆盖与反证法相结合，往往可以推出矛盾5.柯西收敛定理：完全从数列本身出发，由于它给出的是极限存在的充分必要条件，不需 要先假定极限的存在，相比极限的定义来说，这是一个很大的进步。
