圆的一般方程.ppt

4.1.2圆的一般方程2021/8/61xyOCM( (x, ,y) )圆心圆心C( (a, ,b),),半径半径r特况：若圆心为特况：若圆心为O（（0，，0），），则圆的方程为则圆的方程为：：圆的标准方程圆的标准方程一.复习引入：2021/8/62思考思考:下列方程表示什么图下列方程表示什么图形形?以以(1, -2)为圆心为圆心,2为半径的圆为半径的圆.不表示任何图形不表示任何图形.以以(1, 2)为圆心为圆心,2为半径的圆为半径的圆.圆的标准方程一.圆的一般方程：2021/8/63探究探究:方程方程 在什么条件下表在什么条件下表示圆示圆?1) 当当 时时,方程方程①①表示以点表示以点 为圆心，为圆心， 为半径的圆为半径的圆.2) 当当 时时,3) 当当 时时,方程方程①①表示点表示点方程方程①①不表示任何图形不表示任何图形.2021/8/64圆的一般方程圆的一般方程:圆心圆心:半径半径:2021/8/65圆的一般方程：圆的一般方程：x2 ＋＋y 2＋＋Dx＋＋Ey＋＋F＝＝0圆的圆的一般方程一般方程与与标准方程标准方程的关系：的关系：(D2+E2-4F>0)（（1））a=-D/2，，b=-E/2，，r= ②②没有没有xy这样的二次项这样的二次项（（2））标准方程标准方程易于看出易于看出圆心圆心与与半径半径一般方程一般方程突出突出形式上形式上的特点：的特点：①①x2与与y2系数相同并且不等于系数相同并且不等于0；；2021/8/661. A ＝＝ C ≠ 0 圆的一般方程：圆的一般方程：与二元二次方程：与二元二次方程：A x2 +Bxy＋＋Cy 2＋＋Dx＋＋Ey＋＋F＝＝0的关系的关系:x2 ＋＋y 2＋＋Dx＋＋Ey＋＋F＝＝0(D2+E2-4F>0)2. B=03. D2＋＋E2－－4F＞＞0 二元二次方程表二元二次方程表示圆的一般方程示圆的一般方程圆的一般方程与二元二次方程的关系圆的一般方程与二元二次方程的关系2021/8/67练习练习:判别下列方程表示什么图形判别下列方程表示什么图形,如果是圆如果是圆,就找就找出圆心和半径出圆心和半径.半径半径:圆心圆心:半径半径:圆心圆心:圆心圆心:半径半径:2021/8/68练习：练习：将下列圆的一般方程化成标准方程将下列圆的一般方程化成标准方程,并找出并找出圆心坐标及半径圆心坐标及半径2021/8/69P122例例4：：求过三点求过三点O(0，，0)，，M1 (1，，1) ，，M2（（4，，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.几何方法几何方法方法一：yxM1( (1, ,1) )M2( (4, ,2) )0二.圆的一般方程的应用：2021/8/610因为因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上都在圆上（（4-a））2+（（2-b））2=r2ïïìíî（（a））2+（（b））2=r2（（1-a））2+（（1-b））2=r2解：设所求圆的标准方程为解：设所求圆的标准方程为：：（（x-a））2+（（y-b））2=r2待定系数法待定系数法方法二：所求圆的方程为：所求圆的方程为：即（即（x-4））2+（（y+3））2=25ïïìíîa=4b=-3r=5解得解得例例4：： 求过三点求过三点O(0，，0)，，M1 (1，，1) ，，M2（（4，，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.2021/8/611例例4：： 求过三点求过三点O(0，，0)，，M1 (1，，1) ，，M2（（4，，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的一般方程为解：设所求圆的一般方程为：：因为因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则都在圆上，则ïïìíîF=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0所求圆的方程为所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0 即（即（x-4））2+（（y+3））2=25待定系数法待定系数法方法三：ïïìíîF=0D=-8E=6解得解得2021/8/612求圆方程的步骤求圆方程的步骤:1.根据题意根据题意,选择标准方程或一般方程选择标准方程或一般方程.Ø若已知条件与圆心或半径有关若已知条件与圆心或半径有关, ,通常设为通常设为标准方程标准方程; ;Ø若已知圆经过两点或三点若已知圆经过两点或三点, ,通常设为通常设为一般方程一般方程; ;2.根据条件列出有关根据条件列出有关 a, b, r, 或或 D, E, F的方程组的方程组.3.解出解出 a, b, r 或或 D, E, F 代入标准方程或代入标准方程或一般方程一般方程.(待定系数法待定系数法)2021/8/613xyaP(x,y)P(x,y)是直线是直线a a上任意一点上任意一点点点P的坐标的坐标 (x,y)满足的关系式满足的关系式CM( (x, ,y) )M(x,y)是圆是圆C C上任意一点上任意一点点点M的坐标的坐标 (x,y)满足的关系式满足的关系式求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标x，，y所满足的关系所满足的关系.三.求与圆有关的轨迹问题：2021/8/615P122P122例例5 5已知线段已知线段ABAB的端点的端点B B的坐标是（的坐标是（4 4，，3 3））, ,端点端点A A在圆在圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上运动，求线段上运动，求线段ABAB的的中点中点M M的轨迹方程的轨迹方程. . yABMxo解决办法：主被动点法即代入法（相关点法）解决办法：主被动点法即代入法（相关点法）2021/8/616 解解. .设设M的坐标为的坐标为(x,y) A的坐标为的坐标为(x0,y0)因为因为M M是是ABAB的中点的中点即即又点又点A A在圆在圆上上代入得代入得即即主动点主动点被动点被动点设主动点为设主动点为(x0,y0)被动点为被动点为(x,y)所以所以M M的轨迹是以点的轨迹是以点 为圆心，为圆心，1 1为半径的圆为半径的圆x0=f(x),y0=g(y)代入主动点方程代入主动点方程整理得轨迹方程整理得轨迹方程主被动点法主被动点法2021/8/617Ø求动点轨迹的步骤求动点轨迹的步骤:1.建立坐标系建立坐标系,设动点坐标设动点坐标M(x, y); （建系设点）（建系设点）2.列出动点列出动点M满足的条件并列出等式满足的条件并列出等式; （条件立式）（条件立式）3.列方程化简，并说明轨迹的形状列方程化简，并说明轨迹的形状. （列（列方程化简）方程化简）2021/8/6182021/8/6192021/8/6202021/8/6212021/8/6222021/8/6232021/8/6242021/8/6251. 本节课的主要内容是圆的一般方程本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为其表达式为(用配方法求解用配方法求解)3. 给出圆的一般方程给出圆的一般方程,如何求圆心和半径如何求圆心和半径? 2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程一般方程标准方程标准方程(圆心圆心,半径半径)2021/8/626求圆的方程常用方法及解题步骤：几何方法几何方法 求圆心坐标求圆心坐标 （（两条直线的交点两条直线的交点））（常用弦的（常用弦的中垂线中垂线）） 求半径求半径 （（圆心到圆上一点的距离圆心到圆上一点的距离）） 写出圆的标准方程写出圆的标准方程待定系数法待定系数法列关于列关于a a，，b b，，r r（或（或D D，，E E，，F F））的方程组的方程组解出解出a a，，b b，，r r（或（或D D，，E E，，F F），），写出标准方程（或一般方程）写出标准方程（或一般方程）2021/8/627。