数学分析课后习题答案1.2.pdf

§2 数集数集 确界原理确界原理 1、 用区间表示下列不等式的解: ⑴01≥−−xx; ⑵6 1 ≤+ x x; ⑶0))()((−−−cxbxax(a、b、c为常数,且cbaM,总存在Sx ∈ 0 ,使Mx 0 ,则称数集S没有 上界 ⑵设S为一非空数集,若对任意的0M,总存在Sx ∈ 0 ,使Mx 0 ,则称数集S无界 3、证明:由(3)式确定的数集有上界,无下界. 证:{}2 2 RxxyyS∈−==. 对任意的Rx∈,22 2 ≤−=xy所以数集S有上界 2 而对任意的0M,取mx+=3 1 ,则SMMxy∈−−=−−===1322 2 11 , 但My− 1 ,因此数集S无下界 4、 求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证. ⑴{}2 2 ε,不妨设222 0 x，ε+−−=1 2 1 1 k k x 所以1sup=S 又Sx∈=−= 2 1 2 1 1,ε+,只须取Sx∈=ξ 0 ,则βε,存 在 − ∈Sx0,使εξ+− 0 x, 由上确界的定义知ξ−= − Ssup,即SSsupinf−= − . 同理可证⑵式成立. 7.设BA、皆为非空有界数集,定义数集},,{ByAxyxzzBA∈∈+==+. 证明: ⑴BABAsupsup)sup(+=+ ⑵BABAinfinf)inf(+=+ 证: ⑴设 1 supη=A, 2 supη=B. 对任意的BAz+∈,存在Ax∈,By∈,使yxz+=. 于是 1 η≤x, 2 η≤y,从而 21 ηη+≤z 对 任 意 的0ε, 必 存 在Ax ∈ 0 ,By ∈ 0 且 2 10 ε η−x, 2 20 ε η−y, 则 存 在 BAyxz+∈+= 000 ,使εηη−+)( 210 z, 所以BABAsupsup)sup( 21 +=+=+ηη ⑵同理可证 8.设xaa,1,0≠为有理数,证明: { {      = a的情况, 1a的情况可以类似地予以证明. 设}{xrraE r a, r a严格递增,故对任意的有理数xr ,有 xr aa ε,不妨设 x aε,于是必存在有理数xr 0 ,使得 xrx aaa− 0 ε. 事实上,由x a log递增知: xx aa−ε0等价于xaa x a x a =−log)(logε 取有理数 0 r,使得xra x a − 0 )(logε. 所以Ea x sup=,即}{ sup 为有理数raa r xr x = 。