高等数学上册习题讲解.ppt

高等数学期末高等数学上 复习 高等数学期末题目类型：选择，填空，计算，证明，综合考试注意事项： 签名，时间控制，先易后难， 答题规范考试形式：闭卷 考试时间：2小时高等数学期末一、极限计算• 主要方法：两个重要极限，无穷小替换，罗必塔法则，其他方法（有理化、定积分定 义等），特别注意各种方法的结合如无穷 小+罗必塔，罗必塔+积分上限函数等或高等数学期末注意与 区别 例1 例2. 求解: 令则因此原式高等数学期末例3 注意“凑”的技巧，想法凑成公式需要 的形式 高等数学期末例4 计算 解： 高等数学期末例5： 求下列极限 ：提示: 无穷小有界高等数学期末令机动 目录 上页 下页 返回 结束 ～高等数学期末常用等价无穷小: ～～～ ～～～～～～例1. 求解: 原式 高等数学期末例2. 求解:高等数学期末例 计算 解： 分子或分母有理化高等数学期末存在 (或为 )罗必塔法则高等数学期末例1. 求解: 原式注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !高等数学期末解: 原式例2. 求例3. 求解: 高等数学期末例4. 求解: 注意到～原式高等数学期末分析:例5.原式～～高等数学期末例6. 求解:原式说明 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 确定常数 a , b , c 的值, 使解:原式 =c ≠0 , 故又由～, 得高等数学期末(1)(2)二、连续性（分段函数情形）高等数学期末例1 在x=0处连续,则A=( )解：计算函数值f(0)＝A, 计极限值 所以A=3 高等数学期末例1. 设函数在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .提示:高等数学期末例2 a=( 0 ), b=2 解：计算函数值 计极限值 此时，要考察左右极限，右极限左极限 由连续的定义，可得 a=( 0 ), b=2 高等数学期末三、导数与微分• 计算、应用、证明 • 导数定义（分段点可导性讨论，计算） • 复合函数求导，隐函数求导，参数方程 确定函数求导 • 导数几何意义（切线法线计算） • 单调区间，凹凸区间，求最大最小值 • 证明高等数学期末解: 因为例1. 设存在, 且求所以高等数学期末设解:又例2.所以 在处连续. 即在处可导 .处的连续性及可导性. 高等数学期末例3 解： 两边对x求导得： 算出 ，斜率 所以切线方程为 高等数学期末例4. 求的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式两边对 x 求导高等数学期末解注意 y = y (x)解得上式两边在对 x 求导，得注意：高等数学期末例6解高等数学期末例7.设由方程确定函数求解:方程组两边对 t 求导,得故高等数学期末高等数学期末例8.设其中可微 ,解:高等数学期末高等数学期末例9 求曲线 的拐点及凹凸区间。

解: 令得：凹的凸的凹的拐点拐点凹凸区间为高等数学期末例10. 求抛物线在(0,1) 内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解: 设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与 x , y 轴的交点分别为所指面积高等数学期末且为最小点 . 故所求切线为得[ 0 , 1] 上的唯一驻点高等数学期末例11. 设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1) 求函数(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解: (1)由方程得面积为 2 ,体积最小 ? 即故得高等数学期末又(2) 旋转体体积又为唯一极小点,因此时 V 取最小值 .高等数学期末四、不定积分与定积分• 计算：直接积分法、第一换元法、第二 换元法（三角代换，倒代换，最小公倍 代换）、分部积分法 • 积分上限函数求导（复合函数情形） • 应用：面积（不同坐标系）、旋转体体 积、弧长 • 对称性应用：奇函数、偶函数 • 无穷限广义积分高等数学期末例1. 求解: 原式 =高等数学期末例2. 求解:高等数学期末例3解：例4解：高等数学期末例5. 求解:令则想到公式高等数学期末例6. 求解:类似高等数学期末例7. 求解:∴ 原式 =高等数学期末例8. 求解: 令则∴ 原式高等数学期末例9. 求解: 令则∴ 原式高等数学期末例10. 求解:令则∴ 原式高等数学期末令于是高等数学期末例11. 求解: 令则原式高等数学期末例12. 求解: 令得原式高等数学期末思考与练习1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?令令令高等数学期末例13 高等数学期末例14 求积分解注意循环形式高等数学期末例15 求积分第二换元法+分部积分法解高等数学期末例16：求解：高等数学期末例17 计算广义积分 解 高等数学期末解： 10高等数学期末五、微分方程• 一阶：变量可分，线性非齐次（常数变 易法） • 二阶：常系数非齐次通解高等数学期末思考与练习求下列方程的通解 :提示: (1) 分离变量(2) 方程变形为高等数学期末例1. 解方程 解: 先解即积分得即用常数变易法求特解. 令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为高等数学期末: 这里12)(xxP 25 ) 1()( xxQ 解 由通解公式得 非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为 即 ]) 1(32[) 1(23 2Cxxy 高等数学期末例2. 的通解. 解: 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为高等数学期末解 例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解 因为f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]xcos2x i2i不是 特征方程的根 所以所给方程的特解应设为齐次方程yy0的特征方程为r210 把它代入所给方程 得 y*(axb)cos2x(cxd)sin2x (3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2xxcos2x >>>>>>高等数学期末六、不等式证明• 单调性证明：一阶导数不好判断正负情 形，继续求导 • 利用定积分证明不等式 • 中值定理应用高等数学期末例1. 证明时, 成立不等式证: 令从而因此且证高等数学期末* 证明令则从而即高等数学期末例2. 设在内可导, 且证明至少存在一点使上连续, 在证: 问题转化为证设辅助函数显然在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至 使即有少存在一点高等数学期末例3. 证明证: 令则令得故机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学期末例4. 设证: 设且试证 :则故 F(x) 单调不减 ,即② 成立.②。