固体物理第一章1第五节.ppt

第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院3）微）微观对观对称称类类型型本本节节重点重点1）基本的）基本的对对称操作；称操作；2）宏）宏观对观对称称类类型；型；编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院1、、对对称的概念称的概念编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院镜镜像像(面面)旋旋转转中心反演中心反演编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院对对称称就就是是物物体体相相同同部部分分有有规规律律的的重重复复，，即即物物体体中中相相同同部部分分，，通通过过一一定定对对称称操操作作(如如旋旋转转、、中中心心反反演演、、镜镜面面)可可以以发发生生重重复复；；也也就就是是说说相相同部分通同部分通过过一定操作彼此可以重合起来，使一定操作彼此可以重合起来，使图图形恢复原来的形象形恢复原来的形象对对称称操操作作是是指指凭凭借借对对称称要要素素能能够够使使对对称称物物体体中中的的各各个个相相同同部部分分，，作有作有规规律重复的律重复的变换动变换动作。

作对对称要素称要素则则是指在是指在进进行行对对称操作称操作时时所凭借所凭借的几何要素的几何要素——点、点、线线、面等即点、、面等即点、线线、、面等面等对对称要素保持不称要素保持不动动对对称定称定义义点：点：中心点；中心点；线线：旋：旋转轴线转轴线；；面面：：镜镜面面编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院2、晶体、晶体对称性的判定称性的判定由于晶体的自限性，使得晶体内部的原子的由于晶体的自限性，使得晶体内部的原子的规则排列反映在晶体排列反映在晶体的宏的宏观形形态上，晶体表上，晶体表现出宏出宏观对称性对于于外外表表面面具具有有很很多多晶晶面面晶晶体体，，往往往往不不能能直直接接判判别它它对称称特特征征，，必必须经过测角角和和投影投影以后，才可以后，才可对晶体晶体对称称规律律进行分析研究行分析研究晶体的极射赤平投影晶体的极射赤平投影编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院通通过对大大量量晶晶体体进行行测角角和和投投影影，，归纳成成32种种典典型型的的宏宏观对称称类型型。

由由于于在在宏宏观对称称类型型，，全全部部对对称称要要素素相相交交于于一一点点(晶晶体体中中心心)，，在在进进行行对对称操作称操作时时至少有一点不移至少有一点不移动动，因此，因此称之称之为点群点群该点点群群中中的的对称称操操作作中中不不包包括括平平移移而而若若对称称操操作作中中包包括括平平移移，，共共构构成成了了230中中微微观的的对称称类型型所所有有以以上上的的对称称类型型都都源源于于以以下基本下基本对称操作的称操作的组合3、基本的、基本的对称操作称操作1））对称操作的称操作的变换--线性性变换和和刚体体一一样，，晶晶格格中中任任何何两两点点间的的距距离离，，在在操操作作前前后后应保保持持不不变，在数学上表示，，在数学上表示，这些操作就是熟知的些操作就是熟知的线性交性交换编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 经过经过某一某一对对称操作，把晶体中任一点称操作，把晶体中任一点 变为变为 可以用可以用线线性性变换变换来表示。

来表示 x1x3x2θα（x1’,x2’,x3’)（x1,x2,x3)若采用矩若采用矩阵表示表示线性性变换：编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院由于操作前后，两点由于操作前后，两点间的距离保持不的距离保持不变，即，即而而同理同理又又其中其中I是是单位矩位矩阵，所以得出，所以得出A为正交矩正交矩阵编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院如令如令 代表矩代表矩阵A的行列式，的行列式，则又又2））简单对称操作的称操作的变换关系关系①①转动将将某某一一图形形绕X1转过θ角角，，该图形形中中任任一一点点（（x1,x2,x3)变变为为另另一一点点（（x1’,x2’,x3’)，，则变换则变换关系有：关系有：(x1’,x2’,x3’)(x1,x2,x3)编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院(x1’,x2’,x3’)(x1,x2,x3)则正交正交变换编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院正交矩正交矩阵A为②②中心反演中心反演 取中心取中心为原点，原点，经过中心反演后，中心反演后，图形中任一点（形中任一点（x1,x2,x3) 变变为为另一点（另一点（ -x1,-x2,-x3)，，则变换则变换关系如下关系如下编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院正交矩正交矩阵A为③③镜像像X1X3X2(x1’ , x2’ , x3’)(x1,x2,x3)镜像像对称操作是将称操作是将图形的任一点形的任一点(x1,x2,x3) 变为变为另一点另一点(x1’ ,x2’, x3’)，，变换变换关系如下：关系如下：即以即以x3=0面作面作为镜为镜面。

面编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院则正交正交变换正交矩正交矩阵A为编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院3））基本的基本的对称操作称操作①①n度旋度旋转对称称轴如如果果晶晶体体绕某某一一对称称轴旋旋转θ=2π/n以以后后自自身身能能重重合合，，则称称该轴为n度旋度旋转对称称轴由由于于晶晶体体的的对对称称操操作作并并不不涉涉及及到到晶晶格格的的平平移移，，在在操操作作时时应应至至少少保保持持一一点点不不同同，，所所以以采采用用双双转转轴轴来来推推导导晶晶体体旋旋转转对对称称轴轴，，存存在在一一定定的的局局限性，限性，应应采用采用单转轴单转轴推推导导方法A1 1ABB1 1  由于晶格周期性的限制，晶体可能的由于晶格周期性的限制，晶体可能的转动讨论如下编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院OBAA1B1θθ如如图图A、O、B 是某一晶列上相是某一晶列上相邻邻的三个格点，周期的三个格点，周期为为a。

如果如果绕过绕过O 点垂直于晶列的点垂直于晶列的转轴顺时针转转轴顺时针转θ角，角，A转转到到A1，晶体晶体自身重合，自身重合，则则A1点必点必为为一格点再再绕过绕过O 点的点的转轴转轴逆逆时针转时针转θ角，晶体恢复到未角，晶体恢复到未转动时转动时的状的状态态，，但此但此时时B处处格点格点转转到到B1点，点，则则B1处处必必为为一格点可以知道可以知道AB//A1B1，平行晶列具有相同的周期，平行晶列具有相同的周期，则则有有编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院OBAA1B1θθ其中其中m为为正整数或零正整数或零因因为为顺顺时时( (或或逆逆时时) )针针转转动动 分分别别等等价价于于逆逆时时( (或或顺顺时时) )针针转转动动 ，所以晶格所以晶格转动转动的独立的独立转转角角为为：编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院晶体中允晶体中允许许的旋的旋转对转对称称轴轴只能是只能是1，，2，，3，，4，，6度度轴轴。

对对 称称 轴轴的度数的度数n2346符号符号▼对对称称轴轴度数的符号表度数的符号表晶体中晶体中对称称轴的度数常用不同的符号代表，如下表所示的度数常用不同的符号代表，如下表所示编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院晶体中不存在晶体中不存在5度或度或6度以上的度以上的转轴转轴上上述述结结果果也也可可以以直直观观的的理理解解为为：：长长方方形形、、正正三三边边形形、、正正方方形形、、正正六六边边形形可可以以在在平平面面内内周周期期性性的的重重复复排排列列，，而而不不留留空空隙隙，，但但正正五五边边形形却却不不能能相相互互紧紧密密排排列列做做重重复复排排列列而而不不留留空空隙隙，，因因此此晶晶体体中中不不存存在在5度的度的转轴转轴编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院②②n度旋度旋转-反演反演轴若若绕某某一一固固定定轴u旋旋转2π/n角角度度以以后后，，再再经中中心心反反演演(即即x→→-x，，y→→-y，，z→→-z)，，晶体能晶体能够自身重合，自身重合，则称称u为n度旋度旋转-反演反演轴。

这样的的对称称轴只只有有1，，2，，3，，4，，6度度为了了区区别于于转轴，，在在轴的的度度次上加次上加“-”来表示旋来表示旋转-反演反演轴即 1212125436编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院6=3+m1234566'1234ABDCEFGH正四面体既无四度正四面体既无四度轴轴也无也无对对称心，称心， 是基本的是基本的对称操作总上所述，晶体的宏上所述，晶体的宏观对称性中有以下八种的基本称性中有以下八种的基本对称操作，即称操作，即1，2，3，4，6，i，m， 编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院所有点所有点对对称操作都可由称操作都可由这这8种操作或它种操作或它们们的的组组合来完成一个晶合来完成一个晶体的全部体的全部对对称操作构成一个称操作构成一个群群，每个操作都是群的一个元素每个操作都是群的一个元素对对称性不同的晶体属于不同的群称性不同的晶体属于不同的群由由旋旋转转、中心反演、、中心反演、镜镜象和旋象和旋转转- -反演点反演点对对称操作构成的群，称操作构成的群，全部全部对对称要素相交于一点称要素相交于一点(晶体中心晶体中心)，在，在进进行行对对称操作称操作时时至少有一点不移至少有一点不移动动，，称之称之为点群点群。

理理论证论证明，所有晶体只有明，所有晶体只有3232种点群，即只有种点群，即只有32种不同的点种不同的点对对称操作称操作类类型这这种种对对称性在宏称性在宏观观上表上表现为现为晶体外形的晶体外形的对对称及物理称及物理性性质质在不同方向上的在不同方向上的对对称性所以又称称性所以又称宏宏观对观对称性称性编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院如如果果考考虑虑晶晶格格平平移移，，多多出出以以下下两两类微微观对称称操操作作类型型： n度度螺螺旋旋轴和滑移反映面和滑移反映面①①n度螺旋度螺旋轴一一个个n度度螺螺旋旋轴u表表示示绕轴每每转2π/ n角角度度后后，，再再沿沿该轴的的方方向向平平移移T/n 的的l倍倍，，则晶晶体体中中的的原原子子和和相相同同的的原原子子重重合合其其中中，， l为小小于于n 的的整整数数，，T为沿沿u轴方方向向上上的的周周期期矢矢量量晶晶体体也也只只有有1，，2，，3，，4，，6度度螺螺旋旋轴n=4，l=1如如图4度度螺旋螺旋轴，由，由A → A4 1AA12A23A34A4Tu编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院②②滑移反映面滑移反映面一一个个滑滑移移反反映映面面表表示示经过该面面的的镜像像操操作作后后，，再再沿沿平平行行于于该面面的的某某个个方方向向平平移移T/n 的的距距离离，，晶晶体体中中的的原原子子和和相相同同的的原原子子重重合合。

其其中，中，T是是该方向上的周期矢量，方向上的周期矢量，n为2或或4如如图表示一滑移反映面表示一滑移反映面MM’ n=2AA’A1A1’A2A2’MM’编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院32种种点点群群对应于于晶晶体体32种种宏宏观的的对称称性性，，再再加加上上n度度螺螺旋旋轴和和滑滑移移反反映映面面平平移移对称称操操作作，，经过不不同同组合合就就可可以以导出出230种种空空间群群每种空每种空间群群对应于一种特殊的晶体于一种特殊的晶体结构4、空、空间群群空空间群分群分为两两类：一：一类称称为简单空空间群群或或点空点空间群群；一；一类称称为复复杂空空间群群或或非点空非点空间群群 所所谓点点空空间群群是是由由一一个个点点群群和和一一个个平平移移群群对称称操操作作而而成成的的它它的的一般操作可以写成一般操作可以写成编辑ppt第六第六节节 晶体的晶体的对对称性称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院其其中中 表表示示点点群群对称称操操作作，， 代代表表平平移移对称称操操作作。

简单晶晶格格所所具具有有的的空空间群群属属于于点点空空间群群此此外外，，一一些些复复式式晶晶格格的的空空间群群也也属于点空属于点空间群共有73种点空种点空间群复复杂空空间群群：复：复杂空空间群的群的对称操作可以有更一般的形式：称操作可以有更一般的形式：其中其中 表示点群操作，但表示点群操作，但 代表不是整数晶格矢量平移代表不是整数晶格矢量平移对称操作编辑ppt第七第七节节 晶格晶格结结构的分构的分类类聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院分分别为别为取取 为为晶胞的三个方向基矢，晶胞的三个方向基矢， 间间的的夹夹角   按照基矢和基矢之按照基矢和基矢之间夹间夹角的特点，晶体可角的特点，晶体可以分以分为为七大晶系；按照晶胞上格点的分布七大晶系；按照晶胞上格点的分布特点，晶体特点，晶体结结构又分构又分为为14种种布喇菲格子布喇菲格子简单简单三斜三斜1 1、三斜晶系、三斜晶系：： 编辑ppt第七第七节节 晶格晶格结结构的分构的分类类聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院2、、单单斜晶系斜晶系：：3、三角晶系、三角晶系：：简单单简单单斜斜底心底心单单斜斜三角三角编辑ppt第七第七节节 晶格晶格结结构的分构的分类类聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院4、正交晶系、正交晶系：：5、四方晶系、四方晶系简单简单正交正交底心正交底心正交体心正交体心正交面心正交面心正交简单简单四方四方体心四方体心四方编辑ppt第七第七节节 晶格晶格结结构的分构的分类类聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院6、六角晶系、六角晶系：：7、立方晶系、立方晶系：：简单简单立方立方体心立方体心立方面心立方面心立方六角六角编辑ppt第七第七节节 晶格晶格结结构的分构的分类类聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院七七个个晶晶系系分分别别属属于于低低、、中中、、高高级级三三个个晶晶族族。

低低级级晶晶族族的的三三斜斜晶晶系系(无无对对称称轴轴和和对对称称面面)、、单单斜斜晶晶系系(二二次次轴轴和和对对称称面面各各不不多多于于一一个个)和和正正交交晶晶系系(二二次次轴轴或或对对称称面面多多于于一一个个)；；属属于于中中级级晶晶族族的的四四方方晶晶系系(有有一一个个四四次次轴轴)、、三三角角晶晶系系(有有一一个个三三次次轴轴)和和六六角角晶晶系系(有有一一个个六六次次轴轴)；属于高；属于高级级晶族的立方晶系晶族的立方晶系(有四个三次有四个三次轴轴)另另外外，，根根据据是是否否有有高高次次轴轴以以及及有有一一个个或或多多个个高高次次轴轴，，把把32个个宏宏观观对对称称型型归归纳纳为为低低、、中中、、高高级级三三个个晶晶族依依照照低低、、中中、、高高级级三三个个晶晶族，族，对对称性提高称性提高编辑ppt第七第七节节 晶格晶格结结构的分构的分类类聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院编辑ppt第七第七节节 晶格晶格结结构的分构的分类类聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院ABC解答解答：在布喇菲点：在布喇菲点阵中每一个中每一个阵点点具有完全相同的周具有完全相同的周围环境，而密排境，而密排六方晶胞内的原子与晶胞角上的原六方晶胞内的原子与晶胞角上的原子具有不同的周子具有不同的周围环境（如原子境（如原子A和和B）。

在在AB原子的延原子的延长线上取上取BC=AB，，然而然而C点却无原子点却无原子问题：：为什么密排六方什么密排六方结构不能称构不能称为一种布喇菲点一种布喇菲点阵？？编辑ppt。