数学物理方法第一章作业答案资料.pdf

第一章 复变函数 §1.1 复数与复数运算 1、下列式子在复数平面上个具有怎样的意义？ （1）2≤z 解：以原点为心，2 为半径的圆内，包括圆周 （2）bzaz−=−， （a、b 为复常数） 解：点 z 到定点 a 和 b 的距离相等的各点集合，即 a 和 b 点连线的垂直平分线 （3）zRe＞1/2 解：直线2/1=x右半部分，不包括该直线 （4）1Re≤+zz 解：即1 22 ≤++xyx，则1≤x， xy21 2 −≤，即抛物线xy21 2 −=及其内部 （5）α＜zarg＜β，a＜zRe＜b， （α、β、a、b为实常数） 解： （6） 4 arg0 π + − iz iz 解： 22 22 ) 1( 21 ++ −−+ = + − yx xiyx iz iz 因为 4 arg0 π + − iz iz 所以 1 )1( 1 )1( 2 0 0 )1( 1 0 )1( 2 22 22 22 22 22 22 ++ −+ ++ − ++ −+ ++ − yx yx yx x yx yx yx x ，即0x21, 0x 22 +−+yx 综上所述，可知z为左半平面x0，但除去圆0x21 22 =+−+ yx及其内部 （7）, 1 1z 1-z ≤ + 解： () ()[] 2 2 2 2 2 2 2 22 1 4 1 1 iy1 1 1z 1-z yx y yx yx x iyx ++ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ −+ = ++ +− = + 所以()()[] 2 2 2 2 2 22 141yxyyx++≤+−+ 化简可得0≥x （8）)/1Re(z =2 解：2e x 1 e)/1Re( 2222 = + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = yx x yx iyx R iy Rz 即()16/14/1 2 2 =+−yx (9) 22 ReaZ = 解： 2222 ReayxZ=−= (10) 2 2 2 1 2 21 2 21 22zzzzzz+=−++ 解：()()()()()() 2 2 2 2 2 1 2 1 2 21 2 21 2 21 2 21 22yxyxyyxxyyxx+++=−+−++++ 可见，该公式任意时刻均成立。

2、 把下列复数用代数式、三角式和指数式几种形式表示出来 （1）i=()()2/sin2/cosππi+= 2/πi e （2）-1=ππsincosi+= πi e （3） 3 sin 3 cos223i1 3/ ππ π iei+==+ （4）ααsincos1i+−（α是实常数）= 2 cos 2 sin2 2 sin2 2 ααα i+ =) 2 cos 2 (sin 2 sin2 ααα i+=) 2 sin 2 (cos 2 sin2 απαπα− + − i= 2 2 sin2 απ α − i e （5） 3 z=iyyxxyxiyx)3(3)( 32233 −+−=+=()ϕϕρ3sin3cos 3 i+= ϕ ρ 33i e （6）()1sin1cos 1 ieeee ii +== + （7）() ()ii+−1/1=i−=()()2/3sin2/3cosππi+= 2/3πi e 3、计算下列数值 （a、b、φ为实常数） （1）iba+ 解：由公式 1.1.19 知，原式等于() 2/sin2/cos 22 θθiba++ ()() () []πθ θθ θθθ 2 , 0 2/sin21cos 2/cos2/sin2sin 22 2 22 ∈ + =−= + == ba a ba b ，因此可得 () 2 1 )2/sin( 2 1 2/cos 22 22 ba a ba a + − = + + = θ θ 原式=()() ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −++++abaiaba 2/1 22 2/1 22 2 2 （2） 3 i = )3/26/(3/122/( )( ππππkiki ee ++ = （3） i i = )22/(22/( )( ππππkiki ee +−+ = （4） i i = ππ π π ki ki ee 22//1 )2 2 ( )( + + = （5）ϕ5cos， （6）ϕ5sin 解： 5 )sin(cos5sin5cosϕϕϕϕii+=+ =ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 5432234 sinsincos5sincos10sincos10sincos55cosiii++−−+ =)sinsincos10sincos5()sincos5sincos105(cos 5324423 ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+−++−i 因此， （5）=ϕϕϕϕϕ 423 sincos5sincos105cos+−， （6）=ϕϕϕϕϕ 5324 sinsincos10sincos5+− （7）ϕϕϕϕncos.3cos2coscos++++， （8）ϕϕϕϕnsin.3sin2sinsin++++ 解： )sin2sin(sin)cos2cos(cosϕϕϕϕϕϕnin+++++++LL =)sin(cos)2sin2(cos)sin(cosϕϕϕϕϕϕninii++++++L = ϕϕϕinii eee+++L 2 = [] ϕ ϕϕ i ii e ee − − 1 1 n = [] )1)(1 ( )1 (1 n ϕϕ ϕϕϕ ii iii ee eee − − −− −− = () () ϕϕ ϕϕϕ ii niini ee eee − + −− −−+ 2 1 1 = () () () ()ϕ ϕϕϕ ϕ ϕϕϕ cos12 1sinsinsin cos12 11coscoscos − +−+ + − −+−+nn i nn = ()() 2 sin2 2/1cos 2 cos 2 sin2 2 sin2/1sin ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+− + −+n i n 因此， （7）= () 2 sin2 2 sin2/1sin ϕ ϕ ϕ−+n ，（8）= () 2 sin2 2/1cos 2 cos ϕ ϕ ϕ +−n §1.2 复变函数 2、计算下列数值（a、b为实常数，x为实变数） (1))sin(iba+=][ 2 1 )()(ibaiibai ee i +−+ −= )( 2 1 biabia ee i +−− −=)( 2 1 iabiab eeee i −− − =)]sin(cos)sin(cos[ 2 1 aiaeaiae i bb −−+ − =a ee ia ee bbbb cos 2 )( sin 2 )( −− − + + （2）)cos(iba+=][ 2 1 )()(ibaiibai ee +−+ += )( 2 1 biabia ee +−− +=)( 2 1 iabiab eeee −− − =)]sin(cos)sin(cos[ 2 1 aiaeaiae bb −−+ − =a ee ia ee bbbb sin 2 )( cos 2 )( −− + + − （3）) 1ln(−= )2( ln ππki e + =π) 12(+ki （4）zshzch 22 −= ))(( 2222 zshzchzshzch−+ =)}( 2 1 )( 2 1 )}{( 2 1 )( 2 1 { zzzzzzzz eeeeeeee −−−− −−+−++= zz ee − =1 （5）ixcos=2/ )( xx ee+ − =chx （6）ixsin=)2/()(iee xx − − =ishx （7）chix=2/ )( ixix ee − +=2/ )sincossin(cosxixxix−++=xcos （8）shix=2/ )( ixix ee − −=2/ )sincossin(cosxixxix+−+=xsin （9） zibiaz e sin− = zibiaze e sin− = zibiaz ee sin− = ][ 2 1 )( )()(iyxiiyxi ee i ib iyxia ee +−+ −− + = )sin(cos 2 )sin(cos 2 xixe b xixe b iaxay yy eee −++− − − = )sin( 2 sin* 2 cos 2 cos 2 xie b xie b xe b xe b ay yyyy eeee −−+− − −− = xe b xe b ay yy ee cos 2 cos 2 +− − − 3、求解方程2sin=z 解：zsin=)( 2 1 iziz ee i − −=)( 2 1 ixyixy ee i −+− −=)( 2 1 ixyixy eeee i −− −=2 =)]sin(cos)sin(cos[ 2 xixexixe i yy −−+− − =xee i xee yyyy cos)( 2 sin)( 2 1 −− −++=2 则，xee yy sin)( 2 1 − +=2，xee yy cos)( 2 1 − −=0，所以，必有xcos=0，即x=ππk22/+， 代入方程，得4=+ −yy ee，即y=)32ln( ± 得z=)32ln(22/±++ikππ §1.3 导数 试推导极坐标系中的柯西黎曼方程 证明：时为定值，而当0→Δ=Δρϕ ϕi ez ρ ϕρϕρϕρρϕρρ ϕ ϕ ϕ Δ −−Δ++Δ+ →Δ * ),(),(),(),( lim 0 i e e ivuivu i ] ),(),(),(),( [lim 0 ρ ϕρϕρρ ρ ϕρϕρρ ϕϕ ρ Δ −Δ+ + Δ −Δ+ = −− →Δ vv ie uu e ii )(lim 0 ρρ ϕϕ ρ ∂ ∂ + ∂ ∂ = −− →Δ v ie u e ii 时为定值，而当ϕρρρ ϕϕ Δ=Δ=Δ ii eiez)( ϕρ ϕρϕρϕϕρϕϕρ ϕ ϕρ ϕ Δ −−Δ++Δ+ →Δ i ei ei ivuivu i ),(),(),(),( lim 0 ) 1 ( ),(),( ) 1 ( ),(),( lim 0 ϕϕ ϕ ρϕ ϕρϕϕρ ρϕ ϕρϕϕρ ii ei vv iei uu −− →Δ − Δ −Δ+ +− Δ −Δ+ = ϕρϕρ ϕϕ ∂ ∂ + ∂ ∂ −= −− v e u ei ii 11 要使两式相等，则有 ϕρρ ρϕρ ϕϕ ϕϕ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ − −− −− v e u e v ie u ei ii ii 1 1 ϕρρ ϕρρ ∂ ∂ −= ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ⇒ uv vu 1 1 §1.4 解析函数 2、已知解析函数( )f z的实部或虚部，求该解析函数。

（1）yeu x sin= 解：由C-R条件，ye y v x u x sin= ∂ ∂ = ∂ ∂ ，ye x v y u x cos= ∂ ∂ −= ∂ ∂ 利用凑全微分显式方法，即上式中 Cyeydeydeydyeydxev xxxxx +−=−+−=+−= ∫∫ cos)cos(cossincos 则iCieiCyieyezf zxx +−=+−=cossin)( （2）()(),cossin x u x yexyyy=−，且( )00f= 解：由C-R条件 ()[]cossincoscossincos xxx vu exyyyeyexyyyy yx ∂∂ ==−+=−+ ∂∂ []()sinsincoscos1 sin xx vu exyyyyeyyxy xy ∂∂ = −= −−−−=++⎡⎤ ⎣⎦ ∂∂ ()[]cos1 sincossincos xx vv dvdxdyeyyxy dxexyyyy dy xy ∂∂ =+=+++−+⎡⎤ ⎣⎦ ∂∂ 利用凑全微分显式方法，即上式中 ()()()cos1 sincossin xxx eyyxy 。