全等三角形培优讲义（精编版）.docx

全等三角形常见辅助线作法【知识导图】精准诊查三边之和大于等于第三边概念稳定性【导学】全等三角形三角形与三角形有关的线段与三角形有关的角性质高 中线角平分线三角形内角和定理三角形的外角第一部分：知识点回顾常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边直角三角形判定多边形及其内角和上的高，利用“三线合一” 的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线， 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线， 利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线， 构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的 “平移” 或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等， 再利用三角形全等的有关性质加以说明． 这种作法， 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．第二部分：例题剖析一、倍长中线（线段）造全等例 1、（“希望杯”试题）已知，如图△ ABC中， AB=5， AC=3，则中线 AD的取值范围是 .例 2、如图，△ ABC中， E、F 分别在 AB、AC 上， DE⊥ DF， D 是中点，试比较 BE+CF与 EF 的A大小 .例 3、如图，△ ABC中， BD=DC=A，C E 是 DC的中点，求证： AD平分∠ BAE. A二、截长补短E1、如图， ABC 中， AB=2AC， AD平分 BAC ，且 AD=BD，求证： CD⊥ACB2、如图， AC∥ BD，EA,EB 分别平分∠ CAB,∠ DBA， CD过点 E，求证 ;AB ＝ AC+BDBD C FC3、如图，已知在VABC内，BAC060 ， C400D， P， QA D分别在 BC，CA上，并且 AP，BQ分别是 BAC ， ABC的角平分线。

求证： BQ+AQ=AB+BPE4、如图，在四边形 ABCD中， BC＞ BA,AD＝ CD， BD平分 ABC，求证： AC 180 0A B C5、如图在△ ABC中， AB＞ AC，∠ 1＝∠ 2，P 为 AD上任意一D点，求证 ;AB-AC＞ PB-PC应用：三、平移变换 B C例 1 AD为△ ABC的角平分线， 直线 MN⊥ AD于为 MN上一点， △ ABC周长记为PA ，△ EBC周长记为PB .求证 PB ＞PA .例 2 如图， 在△ ABC的边上取两点 D、E，且 BD=CE，求证： AB+AC>AD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，已知在△ ABC中，∠ B=60，△ ABC的角平分线 AD,CE 相交于点O，求证： OE=ODA2、如图， △ ABC中，AD平分∠ BAC，DG⊥ BC且平分 BC，DE⊥ AB于 E， DF⊥ AC于 F. EO（ 1）说明 BE=CF的理由；（ 2）如果 AB=a ， AC=b ，求 AE、BE的长 .B CD五、旋转例 1 正方形 ABCD中，E为 BC上的一点， F为 CD上的一点， BE+DF=EF， 求∠ EAF的度数 . A DFB E C例 2 如图， ABC 是边长为 3 的等边三角形， BDC 是等腰三角形，且BDC1200 ，以 D 为顶点0做一个60 角，使其两边分别交 AB于点 M，交 AC于点 N，连接 MN，则 AMN 的周长为 ；0例 3 设点 E、F 分别在正方形 ABCD的边 BC、CD上滑动且保持∠ EAF=45 ， AP⊥ EF 于点 P，（ 1） 求证： AP=AB。

2）若 AB=5，求Δ ECF的周长变式练习 1、如图所示，正方形 ABCD的 BC边上有一点 E，∠ DAE的平分线交 CD于 F，试用旋转的思想方法说明 AE=DF+BE．3. （ 1）如图 11－ 1，△ ADE中， AE=AD且∠ AED=∠ ADE，∠ EAD=90， EC、DB分别平分∠ AED、∠ ADE，交 AD、AE 于点 C、 B，连接 BC．请你判断 AB、AC是否相等，并说明理由；（ 2）△ ADE的位置保持不变，将△ ABC绕点 A 逆时针旋转至图 11 － 2 的位置， AD、BE 相交于 O，请你判断线段 BE与 CD的关系，并说明理由．C【课后作业】1. 如图，在△ ABC中，∠ ACB＝ 90， AC＝ BC，直线 l 经过顶点 C，过 A、B 两点分别作 l 的垂线 AE、BF，A A BE、F 为垂足．BC O（1）当直线 l 不与底边 AB相交时，求证： EF＝ AE＋ BF．（ 2）如图，将直线 l 绕点 C顺时针旋转，使 l 与底边 AB交于点 D，请你探究直线 l 在如下位置时，E D E DEF、AE、BF之间的关系．图 11－ 1 图 11－ 2①AD＞ BD；② AD＝ BD；③ AD＜ BD．2. 如图 3， Rt △ ABC中，∠ ACB=90， AC=BC， AD⊥ CD， BF⊥ CD， AB交 CD于 E.求证： DF=CD-AD.3. 如图，已知 AC=BC，∠ ACB=90，D为 AB上任意一点， AE⊥ CD延长线于 E，BF⊥ CD于 F. 求证：EF=BF-AE.4. 如图，在△ ABC中， AC⊥ BC,AC=BC,D为 AB上一点， AF⊥ CD交 CD的延长线于 F， BE⊥ CD于 E. 求证： EF=BE—AF B5. 如图， AD为△ ABC的中线，∠ ADB和∠ ADC的平分线分别交 AB、AC于点 E、F．F D求证： BE+CF＞ EF．EA C。