高考数学总复习课件统计﹑概率.ppt

数学直通车数学直通车------统计统计﹑﹑概率概率知识体系知识体系 第一节第一节 随机抽样随机抽样基础梳理基础梳理1. 简单随机抽样（1）定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.（2）最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法. 2. 系统抽样假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，步骤如下:（1）先将总体的N个个体编号；（2）确定分段间隔k,对编号进行分段，当 是整数时，取k= ；（3）在第1段用简单随机抽样确定第1个个体编号 ( ≤k);（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将 加上间隔k得到第2个个体编号( +k)，再加k得到第3个个体编号( +2k),依次进行下去，直到获取整个样本.3. 分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.（2）分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.4. 三种抽样方法比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽到的机会均等从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均匀分成几部分，按一定的规则分别在各部分中抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成典例分析典例分析题型一题型一 简单随机抽样简单随机抽样【例1】某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件在同一条件下测量，请设计一种抽样方案.分析分析 考虑到总体中个体数较少，利用抽签法或随机数法容易获取样本.解解 方法一（抽签法）:将100件轴编号为1,2,…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，与这10个号签号码相同的轴的直径即为所要抽取的样本.方法二(随机数表法):将100件轴编号为00,01，…,99,在随机数表（见教材附表）中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个为68,34,30,13,70,55,74,30，77,40,这10个号码对应的轴的直径即为所要抽取的样本.学后反思学后反思 （1）随机数法的步骤：①将总体的个体编号；②在随机数表中选择开始数字；③读数获取样本号码.随机数法简单易行，它很好地解决了抽签法在总体个数较多时制签难的问题，但是当总体中的个体很多，需要的样本容量也很大时，用随机数法抽取样本仍不方便;（2）一个抽样试验能否用抽签法，关键要看：①制签是否方便；②号签是否容易被搅匀.一般地，总体容量和样本容量都较小时，可用抽签法.举一反三举一反三1. 某事业单位有102名职工，从中抽取10人参加体检，试采用简单随机抽样进行具体实施.解析：①将每一个人编一个号由001至102；②制作大小相同的号签并写上号码；③放入容器中，均匀搅拌；④依次抽取10个号码，具有这十个编号的人组成一个样本.题型二题型二 系统抽样系统抽样【例2】从某厂生产的905辆家用轿车中随机抽取90辆测试某项性能，请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程.分析分析 由于总体容量较大，因此，采用系统抽样法进行抽样，又因总体容量不能被样本容量整除，需先剔除5辆家用轿车，使得总体容量能被样本容量整除，取间隔k= =10;然后利用系统抽样的方法进行抽样.解解 可用系统抽样法进行抽样，抽样步骤如下：第一步，将905辆轿车用随机方式编号；第二步，从总体中剔除5辆（剔除法可用随机数法），将剩下的900辆轿车重新编号(分别为001,002,…,900)并分成90段；第三步，在第一段001,002,…,010这十个编号中用简单随机抽样法抽出一个作为起始号码（如006）;第四步，把起始号码依次加间隔10，可获得样本.学后反思学后反思 在利用系统抽样时，经常遇到总体容量不能被样本容量整除的情况，则可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除.举一反三举一反三2. 某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施.解析：（1）将每个人编一个号由0001至1003；（2）利用随机数表法找到3个号，将这3名工人排除;（3）将剩余的1 000名工人重新编号0001至1000;（4）分段，取间隔 ,将总体均分为10组，每组含100个工人;（5）从第一段，即从0001号到0100号中随机抽取一个号L;（6）按编号将L，100+L，200+L，…，900+L共10个号选出.这10个号所对应的工人组成样本.题型三题型三 分层抽样分层抽样【例3】某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的 ,且该组中，青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.（1）在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别所占的比例;（2）在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.分析分析 因本题中已给出了青年人、中年人和老年人三类，如何分配他们之间的比例和他们各自的人数是解决本题的关键.解解 采用分层抽样的方法.(1)设登山组人数为x,在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，根据题意得解得b=50%,c=10%.故a=100%-50%-10%=40%,即在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%. （2）在游泳组中，抽取的青年人人数为200× ×40%=60(人)；抽取的中年人人数为200× ×50%=75(人);抽取的老年人人数为200× ×10%=15(人).学后反思学后反思 分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：（1）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；（2）为保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性应相同；（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.举一反三举一反三3. 某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本.（1）如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体，求样本容量n；（2）如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除一个个体，求样本容量n.解析： （1）总体容量为6+12+18=36.当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为 ，分层抽样的比例是 ,抽取工程师 ×6= （人），抽取技术员 ×12= （人）,抽取技工 ×18= （人）.所以n应是6的倍数，36的约数，即n=6,12,18,36.(2)当样本容量为（n+1）时，总体容量是35，系统抽样的间隔为 .因为 必须是整数，所以n只能取6,即样本容量n=6.题型四题型四 抽样方法的综合应用抽样方法的综合应用【例4】(12分)为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩.为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查（已知该校高三年级共有20个班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号,假定该校每班学生的人数相同）：①从高三年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们的学习成绩；②每个班抽取1人，共计20人，考察这20名学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察（已知该校高三学生共1 000人，若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）.根据上面的叙述，试回答下列问题：（1）上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本容量分别是多少？（2）上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？（3）试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.分析分析 本题主要考查基本概念和三种抽样方法的联系与区别，准确把握三种抽样方法的概念与特点是解此题的关键;另外要注意叙述的完整性和条理性.解解 （1）这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100…………………………………..3′（2）三种抽取方式中，第一种采用的是简单随机抽样法；第二种采用的是系统抽样法和简单随机抽样法;第三种采用的是分层抽样法和简单随机抽样法…………………………………………….6′（3）第一种方式抽样的步骤：第一步，用抽签法在这20个班中任意抽取一个班;第二步，从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩………………………………..7′第二种方式抽样的步骤如下：第一步，用简单随机抽样法从第一个班中任意抽取一名学生，记其学号为a;第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，加上第一个班中的一名学生，共计20人……………..9′第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层.因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次;第二步，确定各个层次抽取的人数.因为样本容量与总体的个数之比为100∶1 000=1∶10,所以在每个层次中抽取的个体数依次为 ,即15,60,25;第三步，按层次分别抽取.在优秀生中用简单随机抽样法抽15人；在良好生中用简单随机抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人…………………………………………..12′学后反思学后反思 本题主要考查数理统计中一些基本的概念和方法.做这种题目时，应该注意叙述的完整性和条理性.举一反三举一反三4. 判断下面这几个抽样调查选取样本的方法是否合适.(1)一啤酒厂为了了解其产品的质量情况，在其生产流水线上每隔1 000瓶选取一瓶检验其质量；（2）一手表厂欲了解6～11岁少年儿童带手表的比例，周末来到一家业余艺术学校调查200名在那里学习的学生；（3）为调查全校学生对购买正版书籍、唱片和软件的支持率，用简单随机抽样方法在全校所有的班级中抽取8个班级，调查这8个班级中所有学生对购买正版书籍、唱片和软件的支持率；(4)为调查一个省的环境污染情况，调查省会城市的环境污染情况.解析：（1）合适；（2）不合适，这所学校的200名学生不能代表全部的6～11岁儿童；（3）合适；（4）不合适,调查的城市为省会，不满足随机抽样的随机性和机会均等性原理.易错警示易错警示【例】下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？并说明理由.（1）从无限多个个体中抽取100个个体作样本.（2）盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检查，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后，再把它放回盒子中.错解错解 （1）是简单随机抽样，因为样本是随机任意抽取的.（2）是简单随机抽样，因为就是从80个零件中任取5个零件的抽样.错解分析错解分析 上述两问题不具有简单随机抽样的特点：不放回、有限性.正解正解 （1）不是简单随机抽样，由于被抽取样本的总体的个数不是有限的而是无限的.（2）不是简单随机抽样，由于它是放回抽样，而简单随机抽样的前提是不放回抽样.考点演练考点演练10. （2010·茂名模拟）一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为t,则在第k组中抽取的号码个位数字与t+k的个位数字相同，若t=7，则在第8组中抽取的号码应是.解析: t+k=7+8=15,第8组中75的个位数字与t+k的个位数字相同，所以为75.答案: 7511. 某校有在校高中学生1 600人，其中高一学生520人，高二学生500人，高三学生580人.如果想抽查其中的80人来调查学生的消费情况，考虑到学生的年级高低消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小，应当采用 抽样，高三学生中应抽查 人.解析解析 因为不同年级的学生消费情况有明显的差别，所以应采用分层抽样.由于520∶500∶580=26∶25∶29,于是将80分成26∶25∶29三部分，设三部分各抽个体数分别为26x,25x,29x,则26x+25x+29x=80,解得x=1,故高三年级中应抽取29×1=29（人）.答案答案 分层 2912. 某校高中三年级有253名学生，为了解他们的身体状况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试写出用系统抽样法进行抽样的过程.解析解析 第一步，计算要抽取的个体数： ，所以先从253个个体中随机剔除3个;第二步，把剩下的250名学生随机编号为：1,2,…，250，然后分组为1 ～5,6 ～10,…,246 ～250;第三步，在1 ～5之间任选一个号，记为i(1≤i≤5)，然后依次在第n组选取[i+(n-1)×5]号(2≤n≤50).这样就得到所需的样本.第二节第二节 用样本估计总体用样本估计总体基础梳理基础梳理1. 作频率分布直方图的步骤（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）;（2）决定组距与组数;（3）将数据分组;（4）列频率分布表;（5）画频率分布直方图.2. 频率分布折线图和总体密度曲线（1）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图;（2）总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.3. 众数、中位数、平均数（1）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.（2）将一组数据按大小依次排列，把处在中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.（3）如果有n个数 ，那么 叫做这n个数的平均数.4. 标准差和方差（1）标准差是样本数据到平均数的一种平均距离;（2）（3）方差： ( 是样本数据，n是样本容量， 是样本平均数).5. 用茎叶图刻画数据有两个优点(1)所有的信息都可以从图中得到;(2)茎叶图便于记录和表示，能够展示数据的分布情况.但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图的效果就不是很好了.典例分析典例分析题型一题型一 图形信息题图形信息题【例1】为了了解九年级学生中女生的身高（单位：cm）情况，某中学对九年级女生进行了一次身高测量，所得数据整理后,列出了频率分布表如下：分组频数频率145.5-149.510.02149.5-153.540.08153.5-157.5200.40157.5-161.5150.30161.5-165.580.16165.5-169.5mn合计MN（1）求出表中m,n,M,N所表示的数分别是多少;（2）画出频率分布直方图；（3）试问：全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5 cm以上的概率.分析分析 每一组距的频率是该组距中个体的个数与所研究对象的个数之比；所有组距的频率之和为1;每一组距的频率是频率分布直方图中该组距所对应的矩形的面积.解解 （1）M= =50,m=50-(1+4+20+15+8)=2,N=1, .（2）作出直角坐标系，组距为4,纵轴表示 ，横轴表示身高,画出直方图如图：（3）在153.5-157.5 cm范围内最多，估计身高在161.5 cm以上的概率为P= =0.2.学后反思学后反思 频率分布直方图反映样本的频率分布（其中纵轴表示 ,频率= ，横轴表示样本数据）.直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于1,即频率之和为1.由此可以估计样本数据落在某个区间的频率或概率或者总体的数字特征.举一反三举一反三1. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2 500,3 000)(元)月收入段应抽出 人. 解析: ∵月收入在［2 500,3 000）(元)段的频率为0.000 5×500=0.25，∴应抽人数为100×0.25=25（人）.答案: 25题型二题型二 用样本分布估计总体用样本分布估计总体【例2】对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100 h~400 h以内的频率；（4）估计电子元件寿命在400 h以上的频率.寿命（h）[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600]个数2030804030分析 从分组中看寿命在某一范围内的电子元件的比例即寿命在该范围内的频率.解 （1）样本频率分布表如下：寿命(h)频数频率[100,200)200.10[200,300)300.15[300,400)800.40[400,500)300.15[500,600]300.15合计2001（2）频率分布直方图如图：（3）电子元件寿命在100 h～400 h以内的频数为130,则频率 为 =0.65.（4）寿命在400 h以上的电子元件的频数为70，则频率 为 =0.35.学后反思利用样本的频率分布可近似地估计总体的分布.从本例可以看出，要比较准确地反映出总体分布的情况，必须准确地作出频率分布表或频率分布直方图，充分利用所给的数据正确地作出估计.举一反三举一反三2. （2009·银川模拟）某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg）数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图（如下图）.根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦.已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25、0.20、0.10、0.05，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为( )A. 1 000,0.50 B. 800,0.50C. 800, 0.60 D. 1 000,0.60解析: 由题知，体重在［55，60）的频率为1-（0.25+0.20+0.10+0.05）=0.40，又频数为400，故总人数为1 000；体重正常的频率为0.4+0.2=0.60.答案: D题型三题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征【例3】对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：甲：27,38,30,37,35,31;乙：33,29,38,34,28,36.根据以上数据，试判断他们谁更优秀.分析分析 要判断甲、乙两人谁更优秀，只需计算它们的平均数与方差即可.已知一组数据 ,则平均数方差 ,标准差 解解 由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀.学后反思学后反思 平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.举一反三举一反三3. 据调查，某公司的33名职工的月工资（单位：元）如下： （1）计算该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；（2）假如副董事长的工资从5 000提升到20 000,董事长的工资从5 500提升到30 000,那么新的平均数、中位数、众数又是多少？（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈谈你的看法.职务董事长 副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500解析： （1）该公司职工的月工资的平均数为 （5 500+5 000+2×3 500+3 000+5×2 500+3×2 000+20×1 500）= ×69 000≈2 091.中位数是1 500,众数是1 500.（2）当副董事长的工资从5 000提升到20 000,董事长的工资从5 500提升到30 000时，所得新数据的平均数为 （30 000+20 000+2×3 500+3 000+5×2 500+3×2 000+20×1 500）= ×108 500≈3 288.所以平均数为3 288,中位数是1 500,众数是1 500.（3）在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平.因为公司中少数人的月工资额与大多数人的月工资额差别较大，这样导致了平均数与中位数的偏差较大，所以平均数不能客观真实地反映这个公司员工的工资水平.【例4】(12分)某种瓶装溶液，因为装瓶机的不稳定性，所以很可能每瓶装的容量都不是标准的容量.我们随机抽出了20瓶，测得它们的容量（单位：百毫升）如下:12.1 11.9 12.2 12.2 12.0 12.1 12.9 12.112.3 12.5 11.7 12.4 12.3 11.8 11.3 12.111.4 11.6 11.2 12.2（1）根据数据列出频数分布表，画出频数分布图；（2）计算出这组数据的平均数和标准差（结果精确到0.01）;（3）结合（1）、（2）的结果,描述一下样本的分布情况，并根据实际意义写一个简短的报告（对总体情况作出估计）.分析分析 现实中对一组数据，往往是从多角度、多层面进行分析.主要标准是平均数、方差的大小,频率分布直方图是否集中等.题型四题型四 综合问题综合问题解解 （1）频数分布表如下： 分组 频数 [11.0,11.5) 3 [11.5,12.0) 4 [12.0,12.5) 11 [12.5,13.0] 2 ……………2′频数分布图如图所示: ………………………..4′（2）平均数 (12.1+11.9+12.2+…+12.2)= ≈12.02………………………………………………………………..6′标准差s≈ ≈0.41………………………………………………………………..8′（3）标准差相对于平均数来说比较小;从频数分布图中可以看出，每瓶的容量大致位于1 150毫升到1 250毫升之间.因此判断装瓶机工作稳定………………………………………………………………….12′学后反思学后反思 数据的图形分布情况和数字特征从不同方面对总体（或样本）的分布作出了刻画.在解决实际问题时，这两个方面应结合起来，发挥各自的长处，以便能更清晰地描绘总体（或样本）的分布.举一反三举一反三4. （2009·海南、宁夏）某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数），从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.表1： 表2：生产能力分组［100,110）［110，120）［120，130）［130,140)［140,150)人数48x53生产能力分组［110，120）［120，130）［130,140)［140,150)人数6y3618(1)先确定x、y,再完成下列频率分布直方图，就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）（2）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.解析： （1）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名.故4+8+x+5+3=25,得x=5；6+y+36+18=75,得y=15.频率分布直方图如下：从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小.（2） A类工人生产能力的平均数、B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1.10. (2008·海南、宁夏)从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm）,结果如下：甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356根据以上数据设计了茎叶图如下：根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：① ;② .解析: 根据题目要求，从所给数表和茎叶图中提炼有用信息,便能得到结论.答案:①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）.②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散(或乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中、稳定).③甲品种棉花的纤维长度的中位数为307 mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为318 mm.④乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）.甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀.(上面四个结论，任选两个即可)11. （2009·广东改编）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表： 对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间［0,50］,(50,100］,(100,150］,(150,200］,（200,250］,（250,300］进行分组，得到频率分布直方图如图.API0~5051~100101~150151~200201~250251~300>300级别ⅠⅡⅡⅢⅢⅣⅣ状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数.解析：（1）根据频率分布直方图可知， (2)空气质量为Y的天数=（Y对应的频率÷组距）×组距×365天，所以一年中空气质量为良和轻微污染的天数分别是 ×50×365=119(天)和 ×50×365=100(天).12. 为了解A、B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每个轮胎行驶的最远里程数（单位：1 000 km）：轮胎A:96,112,97,108,100,103,86,98轮胎B:108,101,94,105,96,93,97,106（1）分别计算A、B两种轮胎行驶的最远里程数的平均数、中位数；（2）分别计算A、B两种轮胎行驶的最远里程数的极差、标准差；（3）根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定?解析解析 （1）A轮胎行驶的最远里程数的平均数为中位数为B轮胎行驶的最远里程数的平均数为中位数为(2)A轮胎行驶的最远里程数的极差为112-86=26,标准差为B轮胎行驶的最远里程数的极差为108-93=15,标准差为（3）由于B轮胎行驶的最远里程数的极差和标准差较小，所以B轮胎性能更加稳定.左下角右上角左上角右下角一条直线附近线性相关1.两个变量间的相关关系2. （1）正相关 3. 在散点图中，点散布在从 到 的区域.对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.4. （2）负相关5. 在散点图中，点散步在从 到 的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.6. （3）线性相关关系、回归直线7. 如果散点图中点的分布从整体上看是大致在 ，就称这两个变量之间具有 关系，这条直线叫做回归直线.第三节第三节 变量间的相关关系变量间的相关关系基础梳理基础梳理距离的平方和最小2.线性回归方程 （1）最小二乘法 求回归直线使得样本数据的点到回归直线的的方法叫做最小二乘法. （2）线性回归方程 方程 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 的线性回归方程，其中a,b是待定参数。

题型一题型一 相关关系的判断相关关系的判断 【例1】下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ( )A. 正方体的棱长与体积 B. 单位面积产量为常数时，土地面积与产量C. 日照时间与水稻的亩产量D. 电压一定时，电流与电阻 分析 函数关系和相关关系都是指两个变量之间的关系，函数关系是两变量之间的一种确定关系，而相关关系是一种不确定关系. 解 A、B、D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系，C中的两个变量间是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产. 学后反思 判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系，关键是判断两个变量间的关系是否是确定的.若确定，则是函数关系；若不确定，则是相关关系.典例分析典例分析1.有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况;④正方形的边长和面积；⑤汽车的载重量和百公里耗油量.其中两个变量成正相关的是 ( )A. ①③ B. ②④ C. ②⑤ D. ④⑤解析:由相关的有关概念可知②⑤为正相关，①③为负相关，④为函数关系. 答案：C 举一反三举一反三480470460410360330320水稻产量45403530252015施化肥量【例2】下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据 （1）将上述数据制成散点图；（2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？分析 判断变量间是否是线性相关，一种常用的简便可行的方法就是作散点图. 解（1）散点图如下：（2）从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系.当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长.学后反思 散点图是由大量数据点分布构成的，是定义在具有相关关系的两个变量基础之上的，对于性质不明确的两组数据可先作散点图，直观地分析它们有无关系及关系的密切程度.2.下表是某地的年降雨量（mm）与年平均气温（℃）的数据资料，两者是线性相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？举一反三举一反三年平均气温（℃） 12.5112.8412.8413.6913.3312.4713.05年降雨量(mm) 748542507813574701432解析：以x轴为年平均气温,y轴为年降雨量，可得相应的散点图如图所示.因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没必要用回归直线进行拟合.如果用公式求得回归直线方程也是没有意义的.题型二题型二 求回归直线方程求回归直线方程【例例3 3】在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下： 分析分析 利用公式确定参数a、b的值，从而求出回归直线方程. 温度（x） 010205070溶解度（y） 66.776.085.0112.3128.0由资料看y对x呈线性相关，试求回归直线方程.学后反思学后反思 因为y对x呈线性相关关系，所以可以用一元线性相关的方法解决问题.（1）利用公式 ， 来计算回归系数，有时常制表对应求出 ,以便于求和.（2）本题在计算时可以借助计算器. 举一反三举一反三3. （2009·日照模拟）某中学期中考试后，对成绩进行分析,从某班中选出5名学生的总成绩和外语成绩如下表： 学生学科12345总成绩（x）482383421364362外语成绩（y）7865716461则外语成绩对总成绩的回归直线方程是 题型三题型三 利用回归直线方程对总体进行估计利用回归直线方程对总体进行估计【例4】(12分)下表是几个国家近年来男性与女性的平均寿命（单位：岁）情况：国家男性平均寿命（x）女性平均寿（y）调查年号中国70732000韩国73.480.42002马来西亚7175.52003美国78.182.62005法国75.5822001日本78.685.62004（1）如果男性与女性的平均寿命近似成线性关系,求它们之间的回归直线方程；（2）科学家预测，到2075年，加拿大男性平均寿命为87岁.现请你预测，到2075年，加拿大女性的平均寿命（精确到0.1岁）.分析（1）本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验.如果两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归直线方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的.（2）求回归直线方程的关键：计算出解 列表如下 1 2 3 4 5 6 70 73.4 71 78.1 75.5 78.6 73 80.4 75.5 82.6 82 85.6 5110 5901.36 5360.5 6451.06 6191 6728.16…………………………………………………… …………………………………………………… 4’4’………………………………………………………………..…………… 6’………………………………………………………………..…………… 6’……….…………………….. 8’……….…………………….. 8’……………………..… 10’……………………..… 10’可预测，到2075年，加拿大女性的平均寿命为95.3岁……….…… ……….…… 12’12’学后反思 利用回归直线方程对总体进行估计时，需先求出回归直线方程，然后代入回归直线方程得到估计值. 举一反三举一反三4. 下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）的对比表.气温/℃ 261813104-1杯数202434385064（1）将上表中的数据制成散点图; （2）你能从散点图中发现当天气温与热茶杯数近似成什么关系吗？（3）如果近似成线性关系的话，请求出回归直线方程来近似地表示这种线性关系；（4）如果某天的气温是-5 ℃时，预测这天小卖部卖出热茶的杯数.解析 （1）散点图如图：：（2）从散点图中发现当天气温与热茶杯数近似成线性相关关系.（3）求出回归直线方程（用来近似地表示这种线性关系），用 来近似地表示这种线性关系.（4）如果某天的气温是-5℃，用 预测这天小卖部卖出热茶的杯数约为10. （2009·滨州模拟）某小卖部为了了解热茶销量y（杯）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表如下： 气温（℃）181310-1杯数24343864由表中数据算得线性回归方程 中的 ，预测当气温为-5℃时，热茶的销量约为解析：由题意知 ,所以样本中心点为（10，40），因为样本中心点必性回归方程上，易得a=60,所以线性回归方程为 ,根据回归方程的预测，当气温为-5 ℃时，热茶销量为（-2）×（-5）+60=70.答案：70 考点演练考点演练11. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据. x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 ;(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线 性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）解析 （1）如图,从散点图看出两组变量具有线性相关关系. 故线性回归方程为 . （3）根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100+0.35=70.35（吨）,故耗能减少了90-70.35=19.65(吨). 故线性回归方程为 . （3）根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100+0.35=70.35（吨）,故耗能减少了90-70.35=19.65(吨).12. 要分析学生初中升学考试的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，记录他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩如下表： 学生编号 入学成绩(x) 高一期末考试成绩（y） 163652677834552488825819267189752738999895856107675（1）画出散点图；（2）求出线性回归方程；（3）若某学生入学的数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩（保留两位有效数字）.解析 （1）入学成绩（x）与高一期末考试成绩（y）两组变量的散点图如图.从散点图看，这两组变量具有线性相关关系.（2）设线性回归方程为 ,在两组变量具有显著的线性相关关系的情况下, .因此所求的线性回归方程是 . ①（3）若某学生入学的数学成绩为80分，代入①式可求得 ,即这个学生高一期末数学考试成绩的预测值为84分.第四节第四节 统计案例统计案例. 1. 回归分析（1）回归直线一组具有线性相关关系的数据 其回归方程的截距和斜率分别为基础梳理基础梳理（2）相关系数r① ②当r＞0时，表明两个变量 ; 当r＜0时，表明两个变量 .r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性 ;r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间 .通常当r的绝对值大于 时认为两个变量有很强的线性相关关系.正相关负相关相关性越强几乎不存性相关关系 0.75（3）随机误差①性回归模型 中，a和b为模型的 ，e是y与= 之间的 ,通常e为随机变量，称为随机误差，它的均值 ②线性回归模型的完整表达式为 随机误差e的方差 越小，通过回归直线 预报真实值y的精度 .2. 残差分析(1)残差对于样本点 而言，相应于它们的随机误差为 其估计值为 称为相应于点 的残差.（2）用 来分析残差特性；用 来刻画回归的效果.未知参数误差越高相关指数残差图3. 独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的 ,像这类变量称为分类变量. （2）列联表：列出的两个分类变量的 ，称为列联表.（3）2×2列联表：假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2}，其 列联表（称为2×2列联表）为2×2列联表不同类别频数表样本频数y1y1y2y2总计x1x1a ab ba+ba+bx2x2c cd dc+dc+d总计a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d则利用独立性检验判断表来判断“X与Y的关系”.（4）利用随机变量 来确定在多大程度上可以认为 的方法称为两个分类变量的独立性检验. “两个分类变量有关系”  题型一题型一 回归直线分析回归直线分析【例1】弹簧长度y(cm)随所挂物体质量x(g)不同变化的情况如下：（1）画出散点图; （2）求y对x的回归直线方程；（3）预测所挂物体质量为27 g时的弹簧长度（精确到0.01 cm）.物体质量x 51015202530弹簧长度y 7.258.128.959.9010.9611.80分析 利用散点图可得出是否线性相关，再利用公式求回归直线方程,而关键是求和.典例分析典例分析解（1）散点图：（2） =16×(5+10+15+20+25+30)=17.5, =16×(7.25+8.12+8.95+9.90+10.96+11.80)≈9.50. =1 077.7-6×17.5×9.502 275-6×17.52≈0.183, =9.50-0.183×17.5≈6.30.y对x的回归直线方程为(3)当质量为27 g时，有 =6.30+0.183×27≈11.24(cm),所以当所挂物体的质量为27 g时，弹簧的长度大约为11.24 cm.学后反思 有些求回归方程的问题在背景上新颖别致，要注意提取有效信息，同时要注意与其他学科的结合.但其思维比较固定，就是先由散图分析是否线性相关,再利用公式求解.一定要注意计算的准确性.举一反三举一反三1. 某企业的一车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集的数据如下：零件数x(个) 102030405060708090100加工时间y（秒） 626875818995102108115122（1）画出散点图；（2）判断x与y是否具有线性关系.解析：(1)散点图如图:（2）由散点图可以看出，样本点散布在某一条直线的附近，故x与y具有线性关系. 题型二线性相关性的判断题型二线性相关性的判断【例2】现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩（x）与入学后第一次考试的数学成绩（y）的数据如下： 学生号12345678910X12010811710410311010410599108Y84648468696869465771请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有显著性线性关系？分析 可先计算线性相关系数r的值，然后与0.75比较，若r＞0.75,说明x与y呈显著的线性相关关系；否则二者相关关系不显著或不具备相关关系. 解 所以相关系数为由于0.750 6>0.75,所以这10名学生的两次数学成绩具有显著的线性相关关系.学后反思 利用相关系数r进行判断相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据较大，需要借助计算器，但计算应该特别细心，不能出现计算错误. 举一反三举一反三下表1是一组数据. 根据表中的数据分析：y与 之间是否存性相关关系？如果有，求出回归方程 解析：令u= 得到如上表2所示的数据， 编号1110.15252.853102.114501.30编号1110.1520.22.8530.12.1140.021.30表1表2【例3】为研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：（1）用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据 的散点图；（2）描述解释变量x与预报变量y之间的关系.天数x/天 123456繁殖个数y/个 612254995190分析 由已知数据画出散点图，可以看出，随着天数的增加，细菌繁殖个数也在增加，但x与y的散点图并不分布在一条直线的周围,不能直接利用线性相关知识解决，因而要通过合理转化，利用线性相关知识解决.解 （1）所作散点图如图所示.(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数 的周围，于是令 ,则x123456 z1.792.483.223.894.555.25学后反思 当解释变量与预报变量存在非线性关系时，可以通过变量替换，将非线性回归问题转化为线性回归问题，然后用线性回归的方法进行研究. 举一反三举一反三某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下：试检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数 之间是否具有线性相关关系，如果有，求出y对x的回归方程.x123510203050100200Y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15解析：解析：首先作变量置换，令u= ,题目所给数据变成如下表所示的10对数据，然后作相关性检验.经计算得r≈0.999 8＞0.75,从而认为u与y之间具有很强的线性相关关系.由公式得 ≈1.126, ≈8.973,所以 =1.126+8.973u,最后回代u= ,可得 =1.126+ ,这就是题目所要求的y对x的回归方程.u10.50.330.20.10.050.030.020.010.005y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15 题型四独立性检验题型四独立性检验【例4】(12分)在调查的480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲.分别利用图形和独立性检验的方法来判断色盲是否与性别有关,你所得到的结论在什么范围内有效？分析 本题应先作出调查数据的列联表，再根据列联表画出二维条形图或三维条形图，并进行分析，最后利用独立性检验作出判断.解 根据题目所给的数据作出如下的列联表. ………………………2′根据列联表作出相应的二维条形图，如下图所示. ………………………4′色盲不色盲合计男38442480女6514520合计449561000从二维条形图来看，在男人中患色盲的比例 ,要比在女人中患色盲的比例 要大，其差值为 ≈0.068,差值较大，因而我们可以认为“性别与患色盲是有关的”. ……………………7′根据列联表中所给的数据有a=38,b=442,c=6,d=514,a+b=480,c+d=520,a+c=44,b+d=956,n=1 000,代入公式 …………… 8′得 …………… 11′由于 =27.1＞6.635，所以我们有99.9%的把握认为性别与患色盲有关系.这个结论只对所调查的480名男人和520名女人有效…12′学后反思 利用图形来判断两个变量之间是否有关系，可以画出三维柱形图，也可以画出二维条形图,从图形上只可以粗略地估计两个分类变量的关系，可以结合所求的数值来进行比较.作图应注意单位统一、图形准确，但它不能给我们两个分类变量有关或无关的精确的可信程度;若要作出精确的判断，可以作独立性检验的有关计算. 举一反三举一反三 为考察性别与是否喜欢饮酒之间的关系，在某地区随机抽取290人，得到如下列联表： 判断性别与是否喜欢饮酒有关系与否.喜欢饮酒不喜欢饮酒总计男10145146女12420144总计22565290解析：由列联表中数据得: 所以我们有99.9%的把握认为性别与饮酒有关.10.（2009·盐城模拟）已知x、y之间的一组数据如下表：对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y=x+1,②y=2x-1,③y= x- ,④y= x，现根据最小二乘思想得拟合程度最好的直线是 .（填序号）X23456Y34689解析：由题意得 =4, =6，故①②不符，再由公式可求得考点演练考点演练11在一次飞机航程中调查男女乘客的晕机情况，其二维条形图如图.（1）写出2×2列联表；（2）判断晕机与性别是否有关. 解析（1） 晕机不晕机合计男107080女102030合计209011012. （创新题）某市对该市一重点中学2008年高考上线情况进行统计，随机抽查244名学生，得到如下表格:试求各科上线与总分上线之间的关系，并求出哪一科目与总分上线关系最大？ 语文 数学 英语 综合科目 上线 不上线 上线 不上线 上线 不上线 上线 不上线总分上线201人 174 27 178 23 176 25 175 26 总分不上线43人 30 13 23 20 24 19 26 17 总计 204 40 201 43 200 44 201 43解析：对于上述四个科目，分别构造四个随机变量 由表中数据可以得到，语文：数学：英语：综合科目：所以有99%的把握认为语文上线与总分上线有关系，有99.9%的把握认为数学、英语、综合科目上线与总分上线有关系.数学上线与总分上线关系最大.第五节第五节 事件与概事件与概率率基础梳理基础梳理1. 随机事件和确定事件(1)在一定条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件；在一定条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件.必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件.(2)在一定条件S下，可能发生也可能不会发生的事件叫做相对于条件S的随机事件.一般用A、B、C等大写英文字母表示随机事件.（3）在试验中，能够用来描绘其他事件且不能再分的最简单的事件称为基本事件.所有基本事件构成的集合称为基本事件空间.2. 频率和概率(1)频数与频率：在相同条件S下进行n次试验，观察某一事件A是否出现，则称在n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；事件A出现的比例 为事件A出现的频率.（2）概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数n的增加，事件A发生的频率 稳定在某个常数上，则把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率.3. 事件的关系与运算(1)包含关系：一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记作BA(或AB).（2）相等关系：一般地，若BA且AB，则事件A与事件B相等,记作A=B.（3）几种运算的比较运算内容表示并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）A∪B(或A+B)交事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）A∩B或（AB）互斥事件若A∩B为不可能事件（A∩B=）,则称事件A与事件B互斥对立事件若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件4. 概率的基本性质(1)任何事件的概率都在0-1之间，即0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.（2）当事件A与事件B互斥时，P（A∪B）=P(A)+P(B).（3）对立事件的概率之和为1,即事件A与事件B对立,则P（A）+P（B）=1.典例分析典例分析题型一题型一 事件的判断事件的判断【例1】判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件.（1）“抛一石块，下落”;（2）“在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化”;（3）“某人射击一次，中靶”;（4）“如果a＞b,那么a-b＞0”;（5）“掷一枚硬币,出现正面”;（6）“导体通电后，发热”; （7）“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签”;（8）“某机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有水分，种子能发芽”；（10）“在常温下，焊锡熔化”.解解 根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件.学后反思学后反思 熟悉必然事件、不可能事件、随机事件的联系与区别，针对不同的问题加以区分.举一反三举一反三1. 抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )A. A与B B. B与C C. A与D D. C与D解析: 事件A、B是互斥而且是对立的；事件A、D是互斥但不对立的；事件B、C不互斥；事件C、D不互斥.答案: C题型二题型二 互斥事件、对立事件的概率互斥事件、对立事件的概率【例2】袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为 ,得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 ,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？分析分析 从中任取一球得到黑球、黄球、绿球不可能同时发生，因此是互斥事件，利用互斥事件的概率公式，结合条件，构造方程，可求概率.解解 设事件A、B、C、D分别为“任取一球，得到红球”、“任取一球，得到黑球”、“任取一球，得到黄球”、“任取一球，得到绿球”.由已知得P(A)= ,P(B∪C)=P(B)+P(C)= ,P(C∪D)=P(C)+P(D)= ,P(B∪C∪D)=1-P(A)=1- = .解得P(B)= ,P(C)= ,P(D)= .故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为 , , .学后反思学后反思 此题综合利用方程思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解.关键是要分清已知事件是由哪些互斥事件组成的，再合理地选择公式.举一反三举一反三2. 某服务，打进的响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.（1）打进的在响5声之前被接的概率是多少？（2）打进的响4声而不被接的概率是多少？解析： （1）设事件“响第k声被接”为Ak（k∈N）,那么事件Ak彼此互斥，设“打进的在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得P(A)=P( ∪ ∪ ∪ )=P( )+P( )+P( )+P( )=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.（2）设事件“打进的响4声而不被接”是事件“打进的在响5声之前被接”的对立事件，记为A，根据对立事件的概率公式，得P（ ）=1-P（A）=1-0.95=0.05.答：打进的在响5声之前被接的概率是0.95，打进的响4声而不被接的概率是0.05.【例3】(12分)（2008·山东）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者 通晓日语, 通晓俄语， 通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.(1)求 被选中的概率；（2）求 和 不全被选中的概率.分析分析 解答本题的关键是搞清从8人中选出通晓日语、俄语和韩语各1名的所有结果.解解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间共18个基本事件……………………………………………….3′由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的.用M表示“ 恰被选中”这一事件，则………………………………………………………………………5′事件M由6个基本事件组成，因而P（M）= ……………………………………………..6′（2）用N表示“ ， 不全被选中”这一事件，则其对立事件 表示“ 、 全被选中”这一事件………………………………………………..7′由于 即事件N由3个基本事件组成,所以 ,………………………………………..9′由对立事件的概率公式得P(N)= ……………12′学后反思学后反思 解决此类问题的关键是分清基本事件空间中各事件之间的关系，选择对应的概率运算公式；题目中出现“至少”、“不全”等词语时，注意利用对立事件的概率求解，可以减少很多麻烦.举一反三举一反三3. 国家射击队的队员为在2009年世界射击锦标赛中取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中7~10环的概率如下表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次:（1）射中9环或10环的概率；（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率.解析： 记事件“射击一次，命中k环”为 (k∈N,k≤10),则事件 (0≤k≤10)彼此互斥.（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当 ， 之一发生时，事件A发生.由互斥事件的加法公式,得P（A）=P（ ）+P（ ）=0.32+0.28=0.60.（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当 , , 之一发生时，事件B发生.由互斥事件概率的加法公式，得P(B)=P( )+P( )+P( )=0.18+0.28+0.32=0.78.（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件“射击一次，至少命中8环”的对立事件，记为B，根据对立事件的概率公式，得P( )=1-P(B)=1-0.78=0.22.易错警示易错警示【例1】从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A. 至少有1个白球，都是白球B. 至少有1个白球，至少有1个红球C. 恰有1个白球，恰有2个白球D. 至少有1个白球，都是红球错解 选D.错解分析 要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在三个方面：（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生.正解 A，B中的两个事件不互斥，当然也不对立，C的两个事件互斥而不对立，D的两个事件不但互斥而且对立，所以本题正确答案应为C.【例2】抛掷一均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P（A+B）.错解错解 因为P（A）= ,P(B)= ,所以P（A+B）=P（A）+P（B）= =1.错解分析错解分析 错解的原因在于忽视了“事件和”概率公式应用的前提条件.由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A、B同时发生，所以不能应用P（A+B）=P（A）+P（B）求解.正解正解 将A+B分成出现“1、2、3”与“5”这两个事件，记出现“1、2、3”为事件C，出现“5”为事件D，则C与D两事件互斥，所以P（A+B）=P(C+D)=P(C)+P(D)= .10. （2009·烟台模拟）甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为 .解析: “同一时刻至少有一颗卫星预报准确”是“同一时刻两卫星均预报不准确”的对立事件.设A为事件“同一时刻两卫星均预报不准确”，由题意得P（A）=（1-0.8）×（1-0.75）=0.05，所以“同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的概率为1-P（ ）=1-0.05=0.95.答案: 0.95考点演练考点演练11. 由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04求：（1）至多2人排队的概率；（2）至少2人排队的概率.解析解析 （1）记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C,A、B、C彼此互斥.P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.（2）记“至少2人排队”为事件D，“少于2人排队”为事件A+B,那么事件D与事件A+B是对立事件，则P（D）=1-P(A+B)=1-[P(A)+P(B)]=1-(0.1+0.16)=0.74.12. （2008·广东联考）箱中装有15张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到15中的一个号码，正面号码为n的卡片反面标的数字是n2-12n+40(卡片正反两面用颜色区分).（1）如果任意取出1张卡片，试求正面数字大于反面数字的概率；（2）如果同时取出2张卡片，试求它们反面数字相同的概率.解析： （1）由不等式n＞ -12n+40,得5＜n＜8.由题意得，n=6,7,即共有2张卡片正面数字大于反面数字,故所求的概率为 .（2）设取出的是第m号卡片和n号卡片（m≠n），则有 -12m+40= -12n+40,即12(n-m)= ,由m≠n,得m+n=12,故符合条件的取法为1,11;2,10;3,9;4,8;5,7.所求的概率为P= .第六节第六节 古典概型古典概型基础梳理基础梳理1. 基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.2. 古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;（2）每个基本事件出现的可能性相等.3. 古典概型的概率公式分析 弄清基本事件的个数，古典概型的两个特点及概率计算公式.题型一题型一 有关古典概型的概念有关古典概型的概念【例1】判断下列命题正确与否.（1）先后抛掷两枚均匀硬币，有人说一共出现“两枚正面”，“两枚反面”，“一枚正面，一枚反面”三种结果，因此出现“一枚正面，一枚反面”的概率是 ;（2）射击运动员向一靶心进行射击.试验的结果为：命中10环，命中9环,…，命中0环，这个试验是古典概型；（3）袋中装有大小均匀的四个红球，三个白球，两个黑球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；（4）4个人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同.解 所有命题均不正确.(1)应为4种结果，还有一种是“一枚反面，一枚正面”.（2）不是古典概型.因为命中10环，命中9环，…，命中0环不是等可能的.（3）摸到红球的概率为 ,白球的概率为 ,黑球的概率为 ,因此每种颜色的球被摸到的可能性不同.（4）抽签有先有后，但每人抽到某号签的概率是相同的.其理由是：假设4号签为中奖签，甲先抽，抽到中奖签的概率为14，乙接着抽，其抽中4号签的概率为 .依此类推，丙、丁抽到4号签的概率都为 .学后反思 弄清每一次试验的意义及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的重要方面，判断一次试验中的基本事件，一定要从其可能性入手，加以区分.而一个试验是否是古典概型要看其是否满足有限性和等可能性.举一反三举一反三1. （教材改编题）下列试验中，是古典概型的有 ( )A. 种下一粒种子观察它是否发芽B. 从规格直径为(250±0.6) mm的一批合格产品中任意抽一个，测量其直径dC. 抛一枚硬币，观察其出现正面或反面D. 某人射击中靶或不中靶解析解析 由古典概型的定义及特点，知A、B、D选项中每个基本事件出现的可能性不相等.题型二题型二 求基本事件数并求概率求基本事件数并求概率【例2】（2009·潍坊模拟）一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球、2只黑球，从中一次摸出2只球.问：（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？分析分析 分析基本事件时，抓住基本事件的特点，能够一一列举出来，进而求解.答案答案 C解解 (1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球,有如下基本事件（摸到1,2号球用（1，2）表示）:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),因此共有10个基本事件.（2）上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球（记为事件A），即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）= .学学后反思后反思 （1）对一些情景较为简单、基本事件个数不是太大的概率问题，计数时只需要用枚举法即可计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，但应特别注意：计算时要严防遗漏，绝不重复;（2）取球模型是古典概型计算中的一个典型问题，许多实际问题都可以归结到取球模型上，特别是产品的抽样检验，解题时要分清“有放回”与“无放回”，“有序”与“无序”等条件的影响.关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.举一反三举一反三2. 做投掷两颗骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗骰子出现的点数,y表示第二颗骰子出现的点数，写出：（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于8”的基本事件；（3）事件“出现点数相等”的基本事件；（4）事件“出现点数之和大于10”的基本事件.解析解析 （1）这个试验的基本事件为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）,（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）,（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）.(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），(5,6),（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）.（3）“出现点数相等”包含以下6个基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）.(4)“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件：（5，6），（6，5），（6，6）.题型三题型三 古典概型问题古典概型问题【例3】同时抛掷两枚骰子.（1）求“点数之和为6”的概率；（2）求“至少有一个5点或6点”的概率.分析分析 因为抛掷两枚骰子出现的点数的基本事件总数是有限的，而且每个基本事件发生的可能性相等,故是古典概型.因此可以列出所有基本事件，利用古典概型求解.解解 同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：共有36个不同的结果.（1）点数之和为6的共有5个结果，所以点数之和为6的概率P= .（2）方法一：从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率P= .方法二：“至少有一个5点或6点”的对立事件是“既没有5点又没有6点”，如上表“既没有5点又没有6点”的结果共有16个，则“既没有5点又没有6点”的概率P= ,所以“至少有一个5点或6点”的概率为1- .方法三：记事件A：“含有点数为5的”，B：“含有点数为6的”.显然A、B不是互斥事件.P(A)= ,P(B)= ,P(A∩B)= ,所以至少有一个5点或6点的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) =学后反思学后反思 解决古典概型问题的关键是首先明确基本事件是什么，然后分清基本事件总数n与事件A所含的基本事件数m,因此要注意以下几个方面：①明确基本事件是什么；②试验是否是等可能性的试验；③基本事件总数是多少；④事件A包含多少个基本事件.另外，本题中第（2）问的“方法三”中利用求P（A∪B）的方法求概率.在公式P（A∪B）=P（A）+P（B）中，事件A和事件B是互斥事件；在公式P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）中，事件A和事件B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.举一反三举一反三3. （2009·安徽）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A B. C. D. 解析: 从6个点中任取两点连成直线，共有 =15条，甲、乙均从中任选一条共有 种.这15条直线中相互平行的有6对，甲、乙两人选一对，各选一条有 种，∴P= .【例4】(12分)袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中原有白球的个数；（2）求取球2次即终止的概率；（3）求甲取到白球的概率.分析 因为袋中共有7个球，基本事件总数是有限的，而且每个球被抽到是等可能的，因此是古典概型.另外要注意球是不放回的摸球，每次摸出的球不能重复.解 (1)设袋中原有n个白球，从袋中任取2个球都是白球的结果数为 ,………………………………………………….2′从袋中任取2个球的所有可能的结果为 …………..3′由题意知 ,……………………………………..4′∴n(n-1)=6,解得n=3(舍去n=-2)…………………………………..5′即袋中原有白球3个.（2）设事件A“取球2次即终止”.取球2次即终止，即乙第一次摸到的是白球而甲摸到的是红球.P(A)= …………………………………………...7′（3）设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件Ai,i=1,2,3,4,5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取白球.9′∴P（B）=P( ∪ ∪ )=P( )+P（ ）+P（ ）………………………………………………………..10′ …………………………………………………………………..12′学后反思 从本题可看出，概率问题的难点在于正确分析某事件所有可能结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件的概率只是解决问题的工具而已.另外该题涉及到无放回的抽样.对于无放回的抽样,每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次，与其相对应的是有放回的抽样，对于有放回的抽样，依次摸出的球可以重复出现，且摸球可无限地进行下去.举一反三举一反三4. 在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，小布袋只有3只黄色、3只白色的球（其体积、质地完全相同），旁边立着一块小黑板，写道：摸球方法：从小布袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？(2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？解析： 把3只黄色球标记为A、B、C，3只白色的球标记为1、2、3.从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个.（1）事件E={摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球P（E）= =0.05.（2）事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，P（F）= =0.45.(3)事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P（G）= =0.1，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次,不发生有90次.则一天可赚90×1-10×5=40（元）,每月可赚1 200元.易错警示易错警示【例】曲线C的方程为 ,其中m、n∈{1,2,3,4,5,6},事件A=方程 表示焦点在x轴上的椭圆,那么P（A）= .错解 由已知条件知：方程 表示的曲线包括焦点在x轴上的椭圆和焦点在y轴上的椭圆两种，故所求的概率为 .错解分析 事件A所包含的基本事件的个数搞错.若仔细审题，我们可发现：当m、n∈{1,2,3,4,5,6}时，若方程为 表示的曲线是椭圆，则焦点在x轴和y轴上的椭圆是等可能出现的,其概率确实为12.但由题意知：方程 表示的曲线可以是椭圆，也可以是圆（只需要m、n取同一个数即可）.正解 方程 表示的曲线共有6×6=36（种），而方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆的个数为5+4+3+2+1=15.故P（A）= .考点演练考点演练10. 甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机选取一球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）解析: 方法一：从甲、乙两袋中各取出一个小球的基本事件总数为 ；其中甲袋中取出的红球有 种，乙袋中取出红球有 种，则取出两球都是红球的概率为 P= .方法二：从甲袋中取出一个小球是红球的概率P（A）= ，从乙袋中取出一个小球是红球的概率为P（B）= ，因为事件A、B为相互独立事件，所以分别从甲、乙两袋中各随机取出一个小球，取出两球都是红球的概率为P（AB）=P（A）·P（B）= .答案: 11. （2008·北京）将甲、乙两粒骰子先后各抛掷一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两粒骰子所出现的点数. x＞0,（1）若点P(a,b)落在不等式组 y＞0, x+y≤4表示的平面区域记为事件A，求事件A的概率;（2）若点P（a，b）落在直线x+y=m(m为常数)上，且使此事件的概率最大，求m的值.解析解析 （1）基本事件总数为6×6=36.当a=1时，b=1,2,3;当a=2时，b=1,2;当a=3时，b=1.共有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）6个点落在条件区域内，所以P(A)= .（2）当m=7时，共有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）6种可能，易知此时P= 最大.12. 如图所示，在一个木制的棱长为3的正方体的表面上涂颜色，将它的棱3等分，然后从等分点把正方体锯开，得到27个棱长为1的小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入一个口袋中.（1）从这个口袋中任意取出1个小正方体，这个小正方体的表面恰好没涂颜色的概率是多少？（2）从这个口袋中同时任意取出2个小正方体，其中1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另1个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率是多少？∵在27个小正方体中，表面没涂颜色的只有1个，∴从这个口袋中任意取出1个小正方体，这个小正方体的表面恰好没涂颜色的概率是P= .（2）从27个小正方体中，同时任取2个，共有 种等可能的结果.在这些结果中，有1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另1个正方体至少有2个面涂有颜色包含的结果有 种.∴从这个口袋中同时任意取出2个正方体，其中1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另一个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率是P= 解析： 在27个小正方体中，恰好3个面都涂有颜色的共8个，恰好2个面涂有颜色的共12个，恰好1个面涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个.（1）从27个小正方体中任意取出1个，共有C127种等可能的结果.第七节第七节 随机数与几何概型随机数与几何概型基础梳理基础梳理1. 几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称 .2. 几何概型的特点（1）无限性：即在一次试验中，基本事件的个数可以是 .（2）等可能性：即每个基本事件发生的可能性是 .因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”.即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占的总面积（体积、长度）”之比来表示.3. 几何概型的计算公式设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（AΩ）,则P（A）= 几何概型无限的均等的4. 几何概型与古典概型的区别与联系（1）共同点：（2）不同点：基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的.基本事件可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域却是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和形状无关.5. 均匀随机数：在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率.一般地，利用计算机或计算器的rand()函数可以产生0~1之间的均匀随机数.a~b之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0~1之间的均匀随机数x=rand()，然后利用伸缩和平移变换x=rand()*(b-a)+a,就可以产生\[a,b\]上的均匀随机数，试验的结果是产生a~b之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的.6. 均匀随机数的应用：① ;② .基本事件都是等可能的.用随机模拟法估计几何概率 用随机模拟法计算不规则图形的面积  题型一题型一 与长度有关的几何概型与长度有关的几何概型【例1】（2009·盐城模拟）某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率.典例分析典例分析分析 因为乘客在两车间隔的10分钟内任何时刻都可能到，所以该事件包含的基本事件是无限多个，并且每个事件发生的可能性都是一样的，故是几何概型问题. 解 每个乘客可在相邻两班车之间的任何一个时刻到达车站，因此每个乘客到达车站的时刻t可以看成是均匀落在长为10分钟的时间区间(0,10]上的一个随机点，等待时间不超过7分钟则是指点落在区间[3,10]上. 设第一辆车于时刻T1到达，而第二辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为10，设T是线段T1T2上的点，且TT2的长度等于7.如图所示. 记“等车时间不超过7分钟”为事件A，事件A发生即点t落段TT2上，则Ω的长度=T1T2=10,A的长度=TT2=7,所以P（A）=A的长度/Ω的长度=7/10.故等车时间不超过7分钟的概率是7/10.学后反思 我们将每一个事件理解为从某个特定的区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定的区域内的点，这样的概率模型就可以用几何概型求解.1. （2009·山东）在区间［-1，1］上随机取一个数x, 的值介于0到12之间的概率为 ( ) A. B. C. D. 举一反三举一反三解析：在区间［-1,1］上随机取一个实数x， 的值位于［0,1］区间，若使 的值位于 区间，取到的实数x应在区间 内，根据几何概型的计算公式可知答案：A 题型二题型二 与面积（体积）有关的几何概型与面积（体积）有关的几何概型【例2】在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？ 分析 因为带病种子的位置是随机的，所以取到这种带病种子概率只与取出的种子的体积有关. 解 病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率.取出10毫升种子其中“含有病种子”这一事件记为A，则所以取出的种子中含有麦锈病种子的概率是0.01. 学后反思 解决此类问题，应先根据题意确定该试验为几何概型，然后求出事件A和基本事件的几何度量，借助几何概型的概率计算公式求出. 举一反三举一反三2. 设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间［0，1］上的诸数字，另一半均匀地刻上区间［1，3］上的诸数字，旋转这陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于［0.5，1.5］上的概率.解析：如图，旋转陀螺，其圆周上任一点与桌面的接触是等可能的，因此只要接触点落在阴影部分，就表示圆周上触及桌面的刻度位于［0.5，1.5］.由几何概型的求概率公式得 题型三题型三 会面问题中的概率会面问题中的概率【例3】两人约定在20:00到21:00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去.如果两人出发是各自独立的，在20:00至21:00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率. 分析 两人不论谁先到都要等40分钟，即2/3小时,设两人到的时间分别为x、y,则当且仅当|x-y|≤2/3时，两人才能见面，因而此问题转化为面积性几何概型. 解 设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见，当且仅当|x-y|≤2/3.如图两人到达约见地点的所有时刻（x,y）的可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示；两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）的点来表示.因此,阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，即 学后反思 对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率.根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域. 解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概率问题. 举一反三举一反三3. 送报人每天早上6：30至7：30之间把刘师傅订的报纸送到刘师傅家，若刘师傅离开家去上班的时间在7：00至8：00之间，问：刘师傅在离家前收到报纸的概率是多少？解析：设“刘师傅在离家前收到报纸”为事件A，在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸送到的时间和刘师傅离家的时间，则刘师傅能收到报纸的充要条件是x≤y，而（x,y）的所有可能结果是边长为1的正方形，刘师傅在离家前收到报纸的可能结果为图中的阴影部分.题型四题型四 均匀随机数的应用均匀随机数的应用【例4】(12分)利用随机模拟方法计算图中阴影部分（由曲线y= 与x轴、x=±1围成的部分）的面积.分析 计算不规则图形的面积，可借助频率近似于概率.借助事先做好的模型，利用落在所求图形中的点与落在所求图形外的一个规则图形内的点的个数之比，从而得所求图形的面积与规则图形的面积的比. 解 做投点试验.（1）利用计算机产生两组 [0,1]上的随机数, =rand( ), =rand()……………………………………………….…2′（2）进行平移和伸缩变换，a=( -0.5)*2,产生[-1,1]之间的均匀随机数，表示所投点的横坐标;b= *2，得到一组[0,2]上的均匀随机数表示所投点的纵坐标……………………………………………………………4′（3）统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1…………………………6′（4）计算频率 ,则 即为落在阴影部分的概率的近似值………..8′（5）利用几何概型公式得出点落在阴影部分的概率 …………..10′（6）因为 ,所以 即为阴影部分的面积……………….12′ 学后反思 根据几何概型计算公式，概率等于面积之比.如果概率用频率近似，在不规则图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形面积乘以频率.而频率可以通过随机模拟的方法得到，从而求得不规则图形面积的近似值. 举一反三举一反三4. 如图，在长为4宽为2的矩形中有一个以矩形的长为直径的半圆，试用随机模拟法近似计算半圆的面积，并估计出π值.解析：设“向矩形内随机投点，所投点落在半圆内”为事件A.S1（第一步）：用计数器记录所做投点试验次数n，用计数器记录所做投点（x,y）满足 <4（即所投点落在半圆内）的次数m.首先设置n=0,m=0;S2（第二步）：用变换rand()*4-2产生的-2～2之间的随机数x表示所投点的横坐标，用变换rand()*2产生的0～2之间的随机数y表示所投点的纵坐标；S3（第三步）：判断点是否落在半圆内，即是否满足 <4,若满足，则计数器m的值加1，即m=m+1，若不满足，则m的值保持不变；S4（第四步）：计数器n的值加1，即n=n+1，如果继续试验，则返回S2继续执行，否则结束程序.程序结束后，用事件A发生的频率 作为事件A的概率的近似值.设半圆的面积为S，矩形的面积为8，由几何概率公式知： 为半圆面积的近似值.【例】向面积为S的矩形ABCD内任投一点P，试求△PBC的面积小于 的概率.易错警示易错警示 错解 如图1所示，设△PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于E,则当点P到底边BC的距离小于 EF，即0＜PF＜ EF时,有0＜ BC·PF＜ BC·EF,即0＜ ＜ . 图1 图2设“△PBC的面积小于 ”为事件A，则A表示的范围是 ，即 而 =S，所以由几何概型求概率的公式得所以△PBC的面积小于 的概率是 . 错解分析 如图2所示，P为矩形ABCD内任意点，△PBC的边BC上的高PF为矩形ABCD内任意线段，但应满足△PBC的面积小于 .当△PBC的面积等于 时，即 BC·PF= BC·EF,所以PF= EF.过点P作GH平行于BC交AB于G、交CD于H.点P的轨迹是线段GH.满足条件“△PBC的面积小于 ”的点P应落在矩形区域GBCH内，而不是三角形区域PBC内.错解的原因是不能正确构造出随机事件对应的几何图形. 正解 如图2所示，设△PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于E，当△PBC的面积等于 时，即 BC·PF= BC·EF,有PF= EF.过点P作GH平行于BC交AB于G、交CD于H.所以满足 的点P的轨迹是线段GH.所以满足条件“△PBC的面积小于 ”的点P应落在矩形区域GBCH内，设“△PBC的面积小于 ”为事件A，则A表示的范围是 ，即 ,而 =S.所以由几何概型求概率的公式得 所以△PBC的面积小于 的概率是 .考点演练考点演练10.(2009·荣成模拟）设-1≤a≤1,-1≤b≤1,则关于x的方程 有实根的概率是 . 解析解析: :由题意知方程有实根满足条件作平面区域如图.由图知阴影面积为1，总的事件对应面积为正方形的面积4，故概率为 . 答案：答案：11. 设关于x的一元二次方程 若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率.解析：解析：设事件A为“方程 有实根”,当a≥0,b≥0时，方程 有实根的充要条件为a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},如图.由几何概型的定义得 12. 设有一个正三角形网格，其中每个小正三角形的边长都等于6 cm，向此网格中投掷直径为2 cm硬币，试求硬币落下后与格线有公共点的概率.解析：解析：记“硬币落下后与格线有公共点”为事件A，则A为“硬币落下后与格线无公共点”；事件A发生的充要条件是硬币中心到小正三角形三边的距离大于硬币的半径1 cm,作边长为6 cm的正△BCD，并在其内部作正△EFG，使△EFG的各边与△BCD的各边距离都为1 cm，当硬币的中心落在△EFG内时，事件 发生.从而求得:。