数字逻辑课件 第二章 逻辑代数基础.ppt

1,,逻 辑 代 数 基 础,,第 二 章,2,逻辑代数是数字系统逻辑设计的理论基础和重要数学工具！,1847年,英国数学家乔治·布尔(G.Boole)提出了用数学分析方法表示命题陈述的逻辑结构，并将形式逻辑归结为一种代数演算，从而诞生了著名的“布尔代数”　　1938年，克劳德·向农(C.E.Shannon)将布尔代数应用于继电器的开关电路，提出了“开关代数”　　随着电子技术的发展，集成电路逻辑门已经取代了机械触点开关，故人们更习惯于把开关代数叫做逻辑代数3,本章知识要点： ☆　基本概念 ； ☆　基本定理和规则 ； ☆　逻辑函数的表示形式 ； ☆　逻辑函数的化简 4,逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集K，常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所构成，记为L={K,+,·,-,0,1}该系统应满足下列公理2.1 逻辑代数的基本概念,公 理 1 交 换 律　　　对于任意逻辑变量A、B，有　　　A + B = B + A　；　A·B = B ·A,公 理 2 结 合 律　　　对于任意的逻辑变量A、B、C，有　　　(A + B) + C = A + ( B + C )　　　( A·B )· C = A·( B· C ),5,公 理 3 分 配 律　　　对于任意的逻辑变量A、B、C，有　　　A + ( B·C ) = (A + B)·(A + C) ；　　　A·( B + C) = A·B + A·C,公 理 4 0─1 律　　　对于任意逻辑变量A，有 A + 0 = A ； A · 1 = A A + 1 = 1 ； A · 0 = 0,公理是一个代数系统的基本出发点，无需加以证明。

公 理 5 互 补 律　　　对于任意逻辑变量A，存在唯一的　，使得,6,2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算,逻辑代数和普通代数一样，是用字母表示其值可以变化的量，即变量所不同的是：,1．任何逻辑变量的取值只有两种可能性——取值0或取值12．逻辑值0和1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪的形式符号，无大小、正负之分一、变量,7,二、基本逻辑运算,描述一个数字系统，必须反映一个复杂系统中各开关元件之间的联系，这种相互联系反映到数学上就是几种运算关系　　逻辑代数中定义了“或”、“与” 、“非”三种基本运算1．“或”运算 　　如果决定某一事件是否发生的多个条件中，只要有一个或一个以上条件成立，事件便可发生，则这种因果关系称之为“或”逻辑例如，用两个开关并联控制一个灯的照明控制电路8,电路中，开关A和B并联控制灯F可以看出，当开关A、B中有一个闭合或者两个均闭合时，灯F即亮因此，灯F与开关A、B之间的关系是“或”逻辑关系可表示为,例如，下图所示电路F = A + B 或者　F = A ∨ B，读作“F等于A或B”9,假定开关断开用0表示，开关闭合用1表示；灯灭用0表示，灯亮用1表示，则灯F与开关A、B的关系如下表所示。

即：A、B中只要有一个为1，则F为1；仅当A、B均为0时，F才为0或”运算的运算法则：0 + 0 = 0　1 + 0 = 10 + 1 = 1　1 + 1 = 1实现“或”运算关系的逻辑电路称为“或”门10,2．“与” 运算　　如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，事件才能发生，则这种因果关系称之为“与”逻辑　　在逻辑代数中，“与”逻辑关系用“与”运算描述两变量“与”运算关系可表示为F = A·B　或者　F = A∧B　　即：若A、B均为1，则F为1；否则，F为011,例如，两个开关串联控制同一个灯显然，仅当两个开关均闭合时，灯才能亮，否则，灯灭　　假定开关闭合状态用1表示，断开状态用0表示，灯亮用1表示，灯灭用0表示，则F和A、B之间的关系 “与”运算关系数字系统中，实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与”门与”运算的运算法则:　0 · 0 = 0　　1 · 0 = 0　0 · 1 = 0　　1 · 1 = 1,12,3．“非” 运算 　　如果某一事件的发生取决于条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑　　在逻辑代数中，“非”逻辑用“非”运算描述。

其运算符号为“¯”，有时也用“￢”表示非”运算的逻辑关系可表示为　　　F = 或者 F = ￢A读作“F等于A非”　　即：若A为0，则F为1；若A为1，则F为013,例如，下面开关与灯并联的电路中，仅当开关断开时，灯亮；一旦开关闭合，则灯灭令开关断开用0表示，开关闭合用1表示，灯亮用1表示，灯灭用0表示，则电路中灯F与开关A的关系即为上表所示“非”运算关系非”运算的运算法则：　　　　　　　　　　　；　　数字系统中实现“非”运算功能的逻辑电路称为“非”门，有时又称为“反相器”14,2.1.2 逻辑函数及逻辑函数间的相等,逻辑代数中函数的定义与普通代数中函数的定义类似，即随自变量变化的因变量但和普通代数中函数的概念相比，逻辑函数具有如下特点：,1．逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有0和1两种可能 ；,2．函数和变量之间的关系是由“或”、“与”、“非”三种基本运算决定的 一、逻辑函数的定义,15,图中，F被称为A1，A2，…，An的逻辑函数，记为F = f( A1，A2，…，An ),逻辑电路输出函数的取值是由逻辑变量的取值和电路本身的结构决定的设某一逻辑电路的输入逻辑变量为A1，A2，…，An，输出逻辑变量为F，如下图所示。

16,设有两个相同变量的逻辑函数　　　　　F1 = f1( A 1,A 2, … ,A n)　　　　　F2 = f2( A 1,A 2, … ,A n)　　若对应于逻辑变量 A1 ,A2 , … , An的任何一组取值，F1和F2的值都相同，则称函数F1和F2相等，记作F1 = F2 如何判断两个逻辑函数是否相等？　　通常有两种方法：真值表法，逻辑代数法二、逻辑函数的相等,17,2.1.3 逻辑函数的表示法,函数F和变量A、B的关系是： 当变量A和B取值不同时，函数F的值为“1”； 取值相同时，函数F的值为“0”逻辑表达式是由逻辑变量和“或”、“与”、“非”3种运算符以及括号所构成的式子例如,一、逻辑表达式,常用的方法有逻辑表达式、真值表、卡诺图3种18,逻辑表达式的简写:,1.“非”运算符下可不加括号，如　　　 ，　　　 等2.“与”运算符一般可省略，如A·B可写成AB4.(A+B)+C或者A+(B+C)可用A+B+C代替；(AB)C或者A(BC)可用ABC代替19,二、真值表,依次列出一个逻辑函数的所有输入变量取值组合及其相应函数值的表格称为真值表　　一个n个变量的逻辑函数，其真值表有2n行。

例如，,真值表由两部分组成：　 左边一栏列出变量的所有取值组合，为了不发生遗漏，通常各变量取值组合按二进制数码顺序给出；右边一栏为逻辑函数值20,三、卡诺图,卡诺图是由表示逻辑变量所有取值组合的小方格所构成的平面图　　这种用图形描述逻辑函数的方法，在逻辑函数化简中十分有用，将在后面结合函数化简问题进行详细介绍描述逻辑逻辑函数的3种方法可用于不同场合但针对某个具体问题而言，它们仅仅是同一问题的不同描述形式，相互之间可以很方便地进行变换21,2 .2 逻辑代数的基本定理和规则,常用的８组定理：,2.2.1 基本定理,定理10 + 0 = 0　1 + 0 = 1　　0 · 0 = 0　1 · 0 = 00 + 1 = 1　1 + 1 = 1　　0 · 1 = 0　1 · 1 = 1,证明：在公理4中，A表示集合K中的任意元素，因而可以是0或1用0和1代入公理4中的A，即可得到上述关系如果以1和0代替公理5中的A，则可得到如下推论：,22,证明 A+A·B = A·1+A·B 公理4 = A· (1+B) 公理3 = A· (B+1) 公理1 = A·1 公理4 = A 公理4,定理2　　A + A = A 　；　A · A = A,定理3　A + A · B = A　；　A · ( A + B ) = A,23,24,定理6,证明 由于 ( ) + ( A + B )=( + A )+B 公理2 =( + A )+B 定理4 =A + ( B + ) 公理1,2 =A+1 公理5 =1 公理4  而且 ( )·( A+B ) = ·A + · B 公理3 = 0 + 0 公理1,5 =0 定理1 所以，根据公理5的唯一性可得,25,定理7　　A·B + A· = A 　　　　( A + B ) · ( A+ ) = A,证明 A·B+ A· = A · ( B + ) 公理3 = A · 1 　 公理5 = A 　 公理4,26,定理8 A · B + · C + B · C = A · B + · C (A + B) · ( + C) · (B + C) = (A + B) · ( + C),证明 A·B + ·C + B·C = A·B + ·C + B·C·( A + ) 公理5 = A·B + ·C + B·C·A + B·C· 公理3 = A·B + A·B·C + ·C + ·B·C 公理1 = A·B·(1+C) + ·C·(1+B) 公理3 = A·B·(C+1) + ·C·(B+1) 公理1 = A·B + ·C 公理4,。