2005年上海市高考数学试卷（理科）及解析.doc

2005 年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分）1、 （ 2005•上海）函数 f（x ）=log 4（x+1）的反函数 f﹣1（x）=　4 x﹣1　．考点：反函数专题：计算题分析：由 f（x）=log 4（x+1）解出 x，然后 x，y 互换可得函数的反函数．解答：解；函数 f（x）=log 4（x+1）可得 x+1=4y，x，y 互换可得函数 f（x ）=log 4（x+1）的反函数 f﹣1（x）=4 x﹣1故答案为：4 x﹣1点评：本题考查反函数的知识，是基础题．2、 （ 2005•上海）方程 4x+2x﹣2=0 的解是　0 　．考点：指数函数综合题专题：计算题；转化思想分析：先换元，转化成一元二次方程求解，进而求出 x 的值．解答：解：令 t=2x，则 t＞0，∴t2+t﹣2=0，解得 t=1 或 t=﹣2（舍）即 2x=1；即 x=0；故答案为 0．点评：考查了指数运算，对于不是同底的指数问题，首先换成同一底数，体现了换元的思想，在换元中注意新变量的取值范围．属容易题．3、 （ 2005•上海）直角坐标平面 xoy 中，若定点 A（1 ，2）与动点 P（x，y）满足，则点 P 的轨迹方程是 　x+2y ﹣4=0　．→𝑂𝑃•→𝑂𝐴=4考点：轨迹方程。

专题：计算题分析：设点 P（ x，y） ，根据点 P 和 A 的坐标，进而可得 和 ，再代入→𝑂𝑃→𝑂𝐴，答案可得．→𝑂𝑃•→𝑂𝐴=4解答：解：设点 P（x，y） ，则 =（x，y ）→𝑂𝑃因为 A（1，2 ）所以 =（1 ，2）→𝑂𝐴因为 ，→𝑂𝑃•→𝑂𝐴=4所以（x，y）•（1，2 ）=4即 x+2y=4，即 x+2y﹣4=0故答案为：x+2y﹣ 4=0点评：本题主要考查了利用向量的关系求点的轨迹方程．属基础题．4、 （ 2005•上海）在（ x﹣a） 10 的展开式中，x 7 的系数是 15，则实数 a=　﹣ ．12考点：二项式系数的性质分析：利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第 r+1 项，令 x 的指数为 7 求得 x7的系数，列出方程解．解答：解：（x﹣ a） 10 的展开式的通项为 Tr+1=C10rx10﹣r（﹣a） r令 10﹣r=7 得 r=3∴x7 的系数是﹣ a3C103∵x7 的系数是 15∴﹣a3C103=15解得𝑎=﹣12点评：二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．5、 （ 2005•上海）若双曲线的渐近线方程为 y=±3x，它的一个焦点是 ，则（ 10， 0）双曲线的方程是 ．𝑥2﹣𝑦29=1考点：双曲线的标准方程；双曲线的定义。

专题：计算题分析：设双曲线的方程是 ，又它的一个焦点是 ，故𝑥2﹣𝑦29=𝜆 （ 10， 0）λ+9λ=10由此可知 λ=1，代入可得答案．解答：解：因为双曲线的渐近线方程为 y=±3x，则设双曲线的方程是 ，又它的一个焦点是𝑥2﹣𝑦29=𝜆 （ 10， 0）故 λ+9λ=10∴λ=1，𝑥2﹣𝑦29=1故答案为：𝑥2﹣𝑦29=1点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．6、 （ 2005•上海）将参数方程 （θ 为参数）化成普通方程为　（x﹣1）{𝑥=1+2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦=2𝑠𝑖𝑛𝜃2+y2=4　 ．考点：圆的参数方程专题：计算题分析：观察这个参数方程的特点，可将 x=1+2cosθ 变形，再利用同角三角函数的平方关系就可消去参数 θ，即可．解答：解：由题意得， ⇒ ，将参数方程的两个等式{𝑥=1+2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦=2𝑠𝑖𝑛𝜃 {𝑥﹣1=2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦=2𝑠𝑖𝑛𝜃两边分别平方，再相加，即可消去含 θ 的项，所以有 （x﹣1） 2+y2=4．点评：当参数方程以角为参数且含这个角的三角函数时，一般可考虑利用三角变换消去参数，最后同样要考虑 x 或 y 的取值范围．本题消参后的方程为圆，变量的取值范围与原参数方程一致．7、 （ 2008•上海）计算： = ．𝑙𝑖𝑚𝑛→∞3𝑛+13𝑛+1+2𝑛13考点：极限及其运算。

专题：计算题分析：分子分母同时除以 3n，原式简化为 ，由此求出值即可．𝑙𝑖𝑚𝑛→∞3𝑛3𝑛+13𝑛3𝑛+13𝑛+2𝑛3𝑛解答：解：𝑙𝑖𝑚𝑛→∞3𝑛+13𝑛+1+2𝑛=𝑙𝑖𝑚𝑛→∞3𝑛3𝑛+13𝑛3𝑛+13𝑛+2𝑛3𝑛=13故答案为： ．13点评：本题是一道基础题，考查函数的极限，解题时注意消除零因式．8、 （ 2005•上海）某班有 50 名学生，其中 15 人选修 A 课程，另外 35 人选修 B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是 ． （结果用分数表示）37考点：等可能事件的概率；组合及组合数公式专题：计算题分析：本题考察的知识点是古典型概率的求法，某班有 50 名学生，其中 15 人选修 A 课程，另外 35 人选修 B 课程，易得从班级中任选两名学生对应基本事件总数为：C 502，再计算出他们是选修不同课程的学生的基本事件个数，代入古典概型计算公式，即可得到答案．解答：解：∵该班有 50 名学生则从班级中任选两名学生共有 C502 种不同的选法又∵ 15 人选修 A 课程，另外 35 人选修 B 课程∴他们是选修不同课程的学生的情况有：C 151•C351故从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率P= =𝐶115•𝐶135𝐶25037故答案为：37点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．9、 （ 2005•上海）在 △ABC 中，若 A=120°，AB=5 ，BC=7，则△ABC 的面积 S= ．1534考点：正弦定理。

专题：计算题分析：用余弦定理求出边 AC 的值，再用面积公式求面积即可．解答：解：据题设条件由余弦定理得|BC| 2=|AB|2+|AC|2﹣2|AB||AC|cosA即 49=25+|AC|2﹣2×5×|AC|×（﹣ ） ，12即 AC|2+5×|AC|﹣24=0 解得|AC|=3故△ABC 的面积 S= ×5×3×sin1200=12 1534故应填1534点评：考察用余弦定理建立方程求值及用三角形的面积公式求三角形的面积，训练公式的熟练使用．10、 （ 2005•上海）函数 f（x ）=sinx+2|sinx| ，x∈ [0，2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 　（1，3）　．考点：正弦函数的图象专题：数形结合分析：根据 sinx≥0 和 sinx＜0 对应的 x 的范围，去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，由图象求出 k 的取值范围．解答：解：由题意知，，𝑓（ 𝑥） =𝑠𝑖𝑛𝑥+2∣𝑠𝑖𝑛𝑥∣={3𝑠𝑖𝑛𝑥， 𝑥∈[0， 𝜋）﹣𝑠𝑖𝑛𝑥， 𝑥∈[𝜋， 2𝜋]在坐标系中画出函数图象：由其图象可知当直线 y=k，k∈（1 ，3）时，与 f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点．故答案为：（1，3） ．点评：本题的考点是正弦函数的图象应用，即根据 x 的范围化简函数解析式，根据正弦函数的图象画出原函数的图象，再由图象求解，考查了数形结合思想和作图能力．11、 （ 2005•上海）有两个相同的直三棱柱，高为 ，底面三角形的三边长分别为2𝑎3a，4a，5a（a＞0） ，用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则 a 的取值范围是　0＜a＜ ．153考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积。

专题：计算题；分类讨论分析：由题意拼成一个三棱柱，求出表面积，拼成一个四棱柱，3 种情况分别求出表面积，然后确定 a 的值．解答：解：①拼成一个三棱柱时，只有一种一种情况，就是将上下底面对接，其全面积为𝑆三棱柱表面=2×12×3𝑎×4𝑎+（ 3𝑎+4𝑎+5𝑎） ×4𝑎=12𝑎2+48．②拼成一个四棱柱，有三种情况，就是分别让边长为 3a，4a，5a 所在的侧面重合，其上下底面积之和都是 ，但侧面积分别为：2×2×12×3𝑎×4𝑎=24𝑎22（ 4𝑎+5𝑎） ×2𝑎=36， 2（ 3𝑎+5𝑎） ×2𝑎=32， 2（ 3𝑎+4𝑎） ×2𝑎=28，显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为：𝑆四棱柱表面=2×2×12×3𝑎×4𝑎+2（ 3𝑎+4𝑎） ×2𝑎=24𝑎2+28．由题意，得 24a2+28≤12a2+48，解得 ．0＜ 𝑎＜ 153故答案为：0＜a＜153点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．12、 （ 2005•上海）用 n 个不同的实数 a1，a 2，…，a n 可得到 n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个 n!行的数阵．对第 i 行 ai1，a i2，…，a in，记 bi=﹣ai1+2ai2﹣3ai3+…+（﹣ 1）nnain（i=1，2，3，…，n! ） ．例如：用 1，2，3 可得数阵如下，由于此数阵中每一列各数之和都是 12，所以，b 1+b2+…+b6=﹣12+2×12﹣3×12=﹣24．那么，在用 1，2，3，4 ，5 形成的数阵中，b 1+b2+…+b120=　﹣ 1080　．考点：数列的求和。

专题：计算题分析：先根据题意算出数阵的行数 5！和每一列数字之和 5!÷5×（1+2+3+4+5） ，再根据b1+b2+…+b120=360×（﹣ 1+2﹣3+4﹣5）求得答案．解答：解：有题意可知数阵中行数 5！=120，在用 1，2 ，3，4，5 形成的数阵中，每一列各数字之和都是 5!÷5×（1+2+3+4+5 ）=360 ，∴b1+b2+…+b120=360×（﹣1+2﹣3+4﹣5 ）=360× （﹣ 3）=﹣ 1080．故答案为﹣1080点评：本题主要考查了数列的求和问题．本题给学生创设了一个很好的发现、研究型学习的平台．二、选择题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）13、 （ 2005•上海）若函数 f（ x）= ，则该函数在（﹣∞，+∞）上是（　　）12𝑥+1A、单调递减无最小值 B、单调递减有最小值C、单调递增无最大值 D、单调递增有最大值考点：函数单调性的判断与证明专题：计算题分析：利用复合函数求解，先令 u（x）=2 x+1，f（u）= ．u（x）在（﹣∞，+∞）上单调递1𝑢增且 u（x）＞1，f（u）= 在（1，+∞ ）上单调递减，再由“同增异减” 得到结论．1𝑢解答：解：令 u（x ）=2 x+1，则 f（u）= ．1𝑢因为 u（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增且 u（x）＞1，而 f（u）= 在（ 1，+∞）上单调递减，1𝑢故 f（x）= 在（﹣ ∞， +∞）上单调递减，且无限趋于 0，故无最小值．12𝑥+1故选 A点评：本题主要考查复合函数，在研究性质中，要转化为两个基本函数，利用同增异减来解决，特别要注意定义域．14、 （ 2005•上海）已知集合，则 M∩P 等𝑀={𝑥∣∣𝑥﹣1∣≤2， 𝑥∈𝑅}， 𝑃={𝑥∣5𝑥+1≥1， 𝑥∈𝑍}于（　　）A、{x|0＜x≤3，x∈Z} B、{x|0≤x≤3，x∈ Z}C、{x| ﹣1≤x≤0，x∈Z} D、{x| ﹣1≤x＜0，x ∈Z}考点：交集及其运算。

专题：常规题型分析：先根据绝对。