镜像法-高中物理竞赛讲义-第3篇.docx

    镜像法-高中物理竞赛讲义    镜像法思路用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷保持求解区域中场方程和边界条件不变使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域 使用范围界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域步骤确定镜像电荷的大小和位置去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场求解边界上的感应电荷求解电场力平面镜像 1点电荷对平面的镜像(a)无限大接地导体平面上方有点电荷 q图 4．4．1 点电荷的平面镜像（b ． 用镜像电荷-q 代替导体平面上方的感应电荷在无限大接地导体平面（YOZ 平面）上方有一点电荷 q ，距离导体平面的高度为 h 用位于导体平面下方 h 处的镜像电荷-q 代替导体平面上的感应电荷，边界条件维持不变，即 YOZ 平面为零电位面去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场， 注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场电位：电场强度：(4．4．2．1)(4．4．2．2)其中，感应电荷：=>(4．4．2．3)电场力： (4．4．2．4)图 4．4．2 点电荷的平面镜像 图 4．4．3 单导线的平面镜像无限长单导线对平面的镜像与地面平行的极长的单导线，半径为 a ，离地高度为h 。

用位于地面下方 h 处的镜像单导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变将地面取消而代之以镜像单导线（所带电荷的电荷密度为 ）电位：(4．4．2．5)对地电容：(4．4．2．6平面镜像 2无限长均匀双线传输线对平面的镜像与地面平行的均匀双线传输线，半径为 a ，离地高度为 h ，导线间距离为d ，导线一带正电荷+ ，导线二带负电荷- 用位于地面下方 h 处的镜像双 导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变将地面取消而代之以镜像双导线图 4．4．4无限长均匀传输线对地面的镜像求解电位： (4．4．2．8)(4．4．2．9)平行导线间单位长度电容：(4．4．2．10)其中小天线的镜像与地面的小天线，长度为l ，离地高度为h 用位于地面下方h 处的镜像小天线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变与自由空间的天线比较，当天线离平面很近时，若天线与平面平行，辐射功率为零，若天线与平面垂直，辐射功率增强若天线与平面倾斜放置，则辐射功率的变化与倾斜角度有关具体辐射功率的计算请参看天线辐射（超链），此处仅给出思路和结论点电荷对相交接地平面的镜像条件：两相交接地平面夹角为，n=1,2,3…镜像电荷：2n-1 个。

若两相交接地平面夹角不满足上述条件，则镜像电荷为无穷多个点电荷对介质平面的镜像图4．4．5点电荷对相交接地地面的镜像1 区和2 区为不同介质，求解时要分区域考虑求解区1 的场：在区2 置镜像电荷求解区2 的场：在区1 置镜像电荷图4．4．6 点电荷对介质平面的镜像求解和：z>0 时，(4．4．2．11) z根据边界条件、可以解得(4．4．2．13)(4．4．2．14)分区域考虑镜像电荷求单导线的对地电容求单导线的对地电容一根极长的单导线与地面平行导线半径为 a ，离地高度为 h ，求单位长度单导线地对地电容单位长度单导线的对地电容 可表示为（式 1．式中为单导线的电位， 为地电位（＝0）， 为导线的线电荷密度现在需要求出，用镜像法求解例题图 4．9单位长度单导线的对地电容 可表示为（式 1．式中 为单导线的电位， 为地电位（＝0）， 为导线的线电 荷密度现在需要求出令 （近似认为 均匀分布于导线表面），利用镜像法，将地面取消而代之以镜像单导线（带）则原地面上方任意点 P 的电位为（式 2．式中 、 分别代表镜像单导线及原单导线到 P 点的垂直距离由 2 式可知 为 把此式代入 1 式则得单导线对地电容为（式 3．。

有了上式，就可以方便地写出平行双导线间的单位长度的电容为（式4．式中，D 为平行双导线间的距离（相当于本题中的2h），a 为导线半径若D>>a，就可以简化为式4 的近似式掌握如何利用平面镜像法求解典型传输设备的对地电容球面镜像1点电荷对接地导体球的镜像题目：半径为a 的接地导体球，在与球心相据的一点电荷在导体球内，距离球心处的点处置一镜像电荷来代替导体球上的感应电荷，边界条件维持不变，即导体球面为零电位面去掉导体球，用原电荷和镜像电荷求解导体球外区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体球内区域场求解镜像电荷的大小和位置：将原导体球移去，及像电荷在原球面上任一点P 处产生的电位应为零，即(4．4．3．图4．4．点7 电荷对接地导体球的镜像我们在球面上取通过的直径的两端点，对于这两点的电位式为(4．4．3．2) (4．4．3．3)以上两方程解得(4．4．3．4) (4．4．3．5)求解电位、电场强度、感应电荷：的表达式表示对于球面上任一点P，与是相似三角形，即，于是球外任意一点的电位为(4．4．3．6)采用球坐标，取原点为球心O 点，z 轴与轴重合，则球外任一点处有(4．4．3．7)这样可求得电场的分量为(4．4．3．8)(4．4．3．9)(4．4．3．10)r=a 时球面上的感应电荷密度为(4．4．3．11)（1．点电荷对不接地、净电荷为零的导体球的镜像。

2．点电荷对不接地、净电荷不为零的导体球的镜像3．接地球形空腔内电荷的镜像球面镜像2无穷镜像问题（a ．（b ．图 4．4．8 无穷镜像问题半径为 a 的金属球，带电荷 ，球心离地高度 h 为满足金属球为等位面，但电位不等于零及地面为零等位面的边界条件，我们需要用一系列的电荷去代替金属球和地面两个边界的影响若仅是孤立球体，则将电荷 集中于球心来代替导体球的分部电荷，这样就满足了金属球面为等位面的边界条件但是有了地面影响，还应满足地 面为零等位面的边界条件为满足这个条件，就要找出置于球心的 镜像电荷， 这就是 ，而且满足 的出现虽然使地面的边界条件得到了满足， 但球面的等位面条件却被破坏了我们需要再按照球面镜像的方法求出 在球 内的镜像电荷 的出现，又出现了 出现时所遇到的情况，我们又需要球 它的地面镜像……这样就需要一系列的电荷去代替金属球和地面两个边界的影响镜像电荷 镜像离球心距离……  -全文完-。