高中数学-人教A版--第二章知识点总结.docx

名师总结 精品学问点年 级 高一 学 科 数学 版 本 人教新课标 A 版课程标题 必修 2 其次章 第 1 节 空间点、直线、平面之间的位置关系编稿老师一校 二校 审核一、学习目标：1. 把握平面的表示法及水平放置的直观图；把握平面的基本性质、作用及公理 1-3；2. 明白空间中两条直线的位置关系； 懂得异面直线的概念、画法， 懂得并把握公理 4；懂得并把握等角定理；异面直线所成角的定义、范畴及应用．3. 明白空间中直线与平面的位置关系；明白空间中平面与平面的位置关系；二、重点、难点：重点：平面的概念及表示；平面的基本性质，公理 1-3 中的图形语言及符号语言；异面直线的概念；公理 4 及等角定理；空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系．难点：平面基本性质的把握与运用；异面直线所成角的运算；用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系．三、考点分析：考纲对这部分学问的要求是： 懂得空间点、 直线和平面的位置关系， 把握平面的基本特性，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；在考试中对点、线、面位置关系的考查常常显现在挑选题中，求异面直线所成的角常常显现在挑选题和解答题中；1. 平面的含义、画法及表示2. 点和面的位置关系点 A 在平面 α内，记作： A ∈ α 点 B 在平面 α外，记作： B α3. 公理 1—3（ 1）公理 1： 假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内名师总结 精品学问点符号语言表示为：A lB llABl A B公理 1 作用：判定直线是否在平面内（ 2）公理 2： 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．符号语言表示为： A 、B、C 三点不共线 有且只有一个平面 α，使 A∈ α、B∈ α、C∈α．公理 2 作用：确定一个平面的依据．推论 1：过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；推论 2：过两条相交直线，有且只有一个平面；推论 3：过两条平行直线，有且只有一个平面；（ 3）公理 3： 假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号语言表示为： P∈ α∩β α∩βl =且 P∈ l公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据4. 空间中的两条直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．5. 公理 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行．符号表示为：设 a、 b、c 是三条直线a // bc // ba // c公理 4 作用：判定空间两条直线平行的依据．6. 异面直线所成的角（ 1）已知异面直线 a、b，经过空间中任一点 O 作直线 a∥ a、b∥ b，我们把 a 与 b所成的锐角（或直角）叫异面直线 a 与 b 所成的角（夹角） ．名师总结 精品学问点（ 2）留意：① a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置关系来确定，与 O 点的挑选无关，为了简便，点 O 一般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角 θ∈ 〔0，2③ 当两条异面直线所成的角是直角时， 我们就说这两条异面直线相互垂直， 记作 a⊥ b；④ 两条直线相互垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 运算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．7. 直线与平面的位置关系（ 1）直线在平面内 —— 有很多个公共点（ 2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点（ 3）直线与平面平行 —— 没有公共点直线与平面相交或平行的情形统称为直线在平面外，可用 a 来表示a a∩α =A a∥ α8. 两个平面的位置关系（ 1）两个平面平行 —— 没有公共点（ 2）两个平面相交——有且只有一条公共直线用类比的方法， 可使同学快速地懂得与把握新内容， 这两种位置关系用图形语言表示为lβα βα∥ β α∩βl =学问点一：确定平面例 1. 空间四点可以确定几个平面？三条直线两两相交可确定几个平面？空间四条平行直线可以确定几个平面？一条直线和直线外不在同一条直线上的三点可确定多少个平面？思路分析 ： 利用公理 2 可以解决确定平面的问题解答过程： 1. 空间四点可以确定 0 个、 1 个、 4 个平面；三点确定一个平面，争论第四个点是否在平面上；2. 三条直线两两相交可确定 1 个或 3 个平面；3. 空间四条平行直线可以确定 1 个、 4 个、 6 个平面；4. 一条直线和直线外不在同一条直线上的三点可确定 1 个、 3 个、 4 个平面；解题后的摸索： 对于空间中点、线的位置关系要全面分析，不要遗漏；学问点二：点、线共面例 2. 如图，正方体 ABCD ——B 四点共面；A1 B1C1 D1 中 E、F 为AA1 、 CC1 中点；求证：D1 、E、F、名师总结 精品学问点思路分析 ： 利用公理 1 和 2 可解决点共面的问题，从而解决确定平面的问题；解答过程： 连接D1E交 DA 延长线于 M∵ E 为A1 A 中点∴ MA=AD同理，连接D1 F交 DC 延长线于 N， CN=CD∵ 正方体 ABCD ——∴ MA=AB=BC=CNA1B1C1D1∴ MBA45 ，ABC90 ，CBN 45∴ MBN180∴ M 、 B、N 三点共线 l∴ D1l ， D1 、 l 确定平面∴ D1、E、M 、B 、N、F 六点共面 ，从而 D1、E、F、 B 四点共面解题后的摸索： 将几个公理结合起来使用是解决问题的关键例 3. 如图，正方体为正六边形；ABCDA1B1C1 D1 ，E、F、G、H、M 、N 为各棱中点， 求证：EFGHMNA F BEC GA1DB1NHD1 M C1思路分析 ： 要想证明 EFGHMN 为正六边形，第一应解决这些点共面的问题解答过程： 明显 EF=FG=GH=HM=MN=NEE、 F 为棱 AD 、AB 中点， EF//BDBB1 // DD 1BB1D1 DBD //B1 D1BD // B1 D1N、G为棱DD1、BB1中点∴ EF//NG ，确定平面同理， FG//EH ，确定平面NG // BD与 有三个不在同一条直线上的三点 E、F、G∴ 、 重合 ∴ E、F、G、H、N 五点共面同理 E、F、G、H、M 、N 六点共面且 EF//MH 、FG//NM 、EN//GH名师总结 精品学问点∴ EFGHMN 是正六边形解题后的摸索： 证明共面问题有以下两个方法： （ 1）先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上（ 2）先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合例 4. 如下列图， ABCD — A 1B1C1D1 是正方体， 画出图中阴影部分的平面与平面 ABCD 的交线，并给出证明；思路分析： 确定两个平面的交线， 就是找两个平面的两个公共点， 此题中已经给出一个公共点，只需利用分别在两个平面内且相交的直线来确定另一个交点；解答过程： 如图， 过点 E 作 EN ⊥CD 于点 N，连结 NB 并延长， 交 EF 的延长线于点 M ，连结 AM ，由于直线 EN//BF ，所以 B 、N、E、F 四点共面；因此 EF 与 BN 相交，交点为 M ，由于 MEF ，且 MNB ，而 EF 平面 AEF ， NB 平面 ABCD ，所以 M 是平面 ABCD 与平面 AEF 的公共点，又由于点 A 是平面 AEF 和平面 ABCD 的公共点，所以 AM 为这两平面的交线；学问点三：异面直线所成的角例 5. 正方体ABCDA1 B1C1D1 的棱长为 a ，对角线A1C 长为3a ；求：①异面直线BA1 与 CC1 所成的角；名师总结 精品学问点②异面直线③异面直线A1B 与A1B 与B1C 所成的角；AC1 所成的角；④M 、N 为D1C1 、 C1 B1 中点， MN 与 AC 所成角；⑤H 为 BC 中点，C1 H与 D1B 所成角的余弦值；思路分析 ： 利用异面直线的定义，构造三角形利用余弦定理求解解答过程： ①BB1 // CC1∴ BA1 与 BB1 所成锐角即为两条异面直线所成的角A1 BB1 45 ；② B1C //A1 D ，A1BD为等边三角形∴ A1 B 与 B1C 所成的角为 60③延长 DC 至 E 使 CE=CD ，A1B //D1C // C1 EAEC1 中，AC1A1C3a ， C1 E2a ，Rt ADE 中， DE= 2a ， AD= a∴ AE5a ，由余弦定理AC1 E 90④ MN//BD BD AC ∴所成角为 90⑤ F 为 AD 中点，C1H// D1 F ，BD1F 中，D1 B3a ， D1 F55 a2D F 2D B2BF 2BF a ， cos2FD1B1 12D1FD1 B3a 25 2 5 2a a4 42 3a 5 a23 1515 5∴ 所成角的余弦值为 155解题后的摸索： “平移找角” ，“补形法”是求异面直线所成角的基本方法例 6. 四周体 ABCD ，棱长均为 a （正四周体）①求 AC 、BD 所成的角；② E、 F 为 BC 、AD 中点，求 AE 、CF 所成角的余弦值；思路分析 ： 利用异面直线的定义，构造三角形利用余弦定理求解解答过程： ① H 为 CD 中点名师总结 精品学问点EH//BD ， EH=a ， FH//AC2FH a 2， EHF 为两条异面直线 AC 、 BD 所成角或其补角cos EHF 0 ∴ EHF 90② K 为 DE 中点，连结 FK ， FK//AECF 与 FK 所夹锐角为异面直线 AE 、CF 所成角CF 32a ， FK1 AE 3 a2 4CKcosCE 2CFKEK 23 a 2。