2 第二章 应力和应变.docx

第二章 应力和应变地震波传播的任何定量的描述，都要求其能表述固体介质的内力和变形的特 征现在我们对后面几章所需要的应力、应变理论的有关部分作简要的复习虽 然我们把这章作为独立的分析，但不对许多方程进行推导，读者想进一步了解其 细节，可查阅连续介质力学的教科书三维介质的变形称为应变，介质不同部分之间的内力称为应力应力和应变 不是独立存在的，它们通过描述弹性固体性质的本构关系相联系2.1 应力的表述——应力张量2.1.1 应力表示考虑一个在静力平衡状态下，均匀弹性介质里一个任意取向的无限小平面平面的取向可以用这个平面的单位法向矢量n来规定在n方向的一侧施加在此面单位面积上的力叫做牵引力，用矢量t(n) = (t ,t ,t )表示在n相反方向的另一侧施加在此面上 xyz是压强的力与其大小相等，方向相反，即t(-n) = -t(n)t在垂直 于平面方向的分量叫做法应力，平行于平面方向的分量叫做 剪应力在流体的情况下，没有剪应力，t = -pn，这里P上面的表示这是一个平面上的应力状况，为表示固体内部任意平面上的应力 状态，应力张量t在笛卡尔坐标系(图2.1)里可以用作用于yz,xz,xy平面的牵 引力来定义(：t (X)Xt( yX)t (Z)XtXXtXytXZt =t (X)t( y)t (Z)=ttt(2.1)yyyyXyyyzt (X)t( y)t (Z)tttzzzzXzyzz在右式的表示中，第一个下角标表示面的法线方向，第二个下角标表示该面 上应力在该坐标轴上的投影。

t(v图2.1在笛卡尔坐标系里描述作用在无限小立方体面上的力的牵引力矢量 t（X）, t（ y）, t（Z）应力分量的符号规定如下：对于正应力，我们规定拉应力为正，压应力为负对于剪 应力，如果截面的外法线方向与坐标轴一致，则沿着坐标轴的正方向为正，反之为负；如 果截面方向与外法线方向相反，则沿着坐标轴反方向为正下面讨论下角标颠倒后与颠倒前的值的关系我们考虑 xz 面上在 y 轴方向 延伸单位长度1的小微元立方体，在z方向的边长为Az ,在x方向的边长为Ax, 如图所示，右边的T的外法线方向与x轴一致，因此沿z方向为正，而左边的Txz xz的外法线方向与x轴相反，逆z方向为正t的分析与此分析类似绕y轴的 zx顺时针转动力矩为2t SAz = 2t (Ax)Az =t AzAx，逆时针旋转的力矩为 zx 2 zx 2 zx2t S Ax = 2t (Az )Ax =t Az Ax，由于弹性体内部的微元不可能发生转动，因 xz 2 xz 2 xz此两者必须相等，因此有T =T类似地有：T =T , T =T故应力张量是 xz zx xy yx yz zy对称的，即：T T TT =T T =2.2)xx xy xzT T Txy yy yzT T Txz yz zz应力张量只包含6 个独立的要素，它们足以完全描述介质中一个给定点的应力状 态。

2、任意一个面上的应力可以由应力张量表示一点的九个应力分量如果能够完全确定一点的应力状态，则其必须能够表达 通过该点的任意斜截面上的应力矢量为了说明这一问题，在O点用三个坐标面和一任意斜截面截取一个微分四面体单元，斜截面的法线方向矢量为n， 它的三个方向余弦分别为1，m和no设斜截面上的应力为pn，和k 分别为三个坐标轴方向的单位矢量，pn在 坐标轴上的投影分别为px, p , pz则应力 矢量可以表示为pn= pxi+ pyj+ pz k设S为AABC的面积，则NOBC=IS, AOCA=mS, AOAB=nSAABC的法线方向的单位矢量可表示为n= li+ mj+ n k微分四面体在应力矢量和体积力作用下应满足平衡条件由 x 方向的平衡，可得2 F = 0, p S t AOBC-t AOAC-t AOAB = 0x x xx xy xz注意，t ,t ,t取负是因为外法线方向与作用面的方向相反将公式xx xy xzAOEC 二臥 AOCA = mS. AOAB = 代入上式，有p S —t SI —t Sm —t Sn — 0 x xx xy xz从而 p —t l +t m +t nx xx xy xzp —t l +t m +t n同理 y yx yy yzp —t l +t m+t nz zx zy zz如果采用张量记号，则上述公式可以表示为上式给出了物体内一点的 9 个应力分量和通过同一点的各个微分面上的 应力之间的关系。

这一关系式表明，只要有了应力分量，就能够确定一点任意截 面的应力矢量，或者正应力和切应力因此应力分量可以确定一点的应力状态任一个取向由n定义的平面，一个侧面作用于另一个侧面的牵引力为应力张量与n的乘积，即:t(n)TTT八 nxxxxyxzxt (n) — Tn —t(n)—TTT八 nyxyyyyzyt(n)TTT八 nzxzyzzzz2.3)这可以通过对由垂直于n的平面和xy,xz,yz平面所围限的四面体（柯西四面体） 面上的力求和作出说明简单地说，应力张量是给出相对于法向矢量n的牵引力矢量t的线性算子，从这个意义上来说，应力张量与任何特定的坐标系无关在地震学中，我们几乎总是把应力张量写成笛卡尔几何学里的一个3x3的矩阵注意到对称的要求，应 力张量的独立参数由 9 个减少为 6 个，呈现为最一般形式的二阶张量（标量为零 阶张量，矢量为一阶张量，等等）应力张量通常随在物质里的位置而变化，它是作用在固体里每一点的无限小 的面上的力的度量应力只给出了这些面由一边作用于另一边的力的度量，计量 标准是单位面积上的力然而，可能有其他力（如重力）这些力称为体力，计 量标准是每单位体积或单位质量上的力。

2.1.3 坐标变换如果一处的应力状态为a二1Q =-1，而其他元素为零，将其旋转45度后11 22的应力状态为不同坐标系下的应力状态表示一点的应力分量不仅随着变形体中点的位置在改变，而且即使在同一点，由 于截面的法线方向不同，截面上的应力也不一样假设已知在坐标系 Oxyz 中， 弹性体中的某点的应力状态表示为：T T Txx xy xzT T Txy yy yzT T Txz yz zz则对于新的坐标系 Ox'y'z'，这点的各应力分量是多少就是本小节讨论的问题设新旧坐标系的方向余弦表如下：xyzx'1mn111y'1mn222fz1mn333根据（2.3）可知，沿X'的应力可以表示为:T T Txx xy xzT T Txy yy yzT T Txz yz zzlt (X') =TX =1m1n1此应力有三个分量，将其再投影到x'方向即得到在新坐标系中的各分量，将应力矢量与x '点乘即可得到:T = i't (x')=[lx ' x ' 1TTTn]xxxyxzTTT1xyyyyzTTTxzyzzzm1l1min1=12T + m 2T + n 2T + 2l m T + 2m n T + 2n l T1 xx 1 yy 1 zz 1 1 xy 1 1 yz 1 1 xzTy'y'=12T + m 2TT T T_1 一xx xy xz2]mnT T Tm22xy yy yz2T T Tn一 c —xz yz zzz,+ n 2T + 21 m T + 2m n T+ 2n 1T2 2 yz 22 xzT = j't (元')=[1x' y' 2=1 1 T + m m T1 2 xx 1 2 yymn22+ n n T1 2 zzTTTxxxyxzTTTxyyyyzTTTxzyzzz+ (1 m +1 m11m1n1)T1 2 2 1 xy+ (mn +m n)T1 2 2 1 yz+ (1 n + n 1 )T2 1 2 1 xzTTT_1 一t = k't (z ')= [1m n]xxTxyTxzT3mz' z' 333xyyyyz3TTTnxzyzzz32 xx 2 yy 2 zz2 2 xy=12T + m2T + n2T + 21 m T + 2m n T + 2n 1T3 xx 3 yy 3 zz 3 3 xy 3 3 yz 3 3 xzt = k't (y，)=[zy'z ' 3=l l t +mmt2 3 xx 2 3 yytxxtxytxz+ n n t + (l j2m n ]333 zzt txy xzT tyy yzT Tyz zzm +1 m2 3 312m2n2)T + (m n + m n )T2 xy 2 3 3 2 yz+ (l n + n l )t2 3 2 3 xzt = k't (x')= bx'z' 3=l l T +m mT1 3 xx 1 3 yymn33+nnT1 3 zzTTTxxxyxzTTTxyyyyzTTTxzyzzz+ (l m + l mlimin1)T3 1 1 3 xy(mn +mn)T3 1 1 3 yz+ (l n + n l )T1 3 1 3 xz所以_ lmnTTT_ lll 一11ixxxyxz123T=lmnTTTmmmi'j'222xyyyyz123lmnTTTnnn333-xzyzzz123= N TTN由上面的分析可知一个斜面上的正应力可以表示为：c(n)= k n1FtTT八 nn・1 xxItx。