向量的加法及几何意义.docx
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向量加法运算及其几何意义我们是否可以根据飞机从甲地飞往乙地的方向与距离以及从乙地飞往丙地的方向与距 离来确定甲地到丙地的方向与距离呢？1．向量的加法(1) 定义：求两个向量 和 的运算，叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个 向 量__.(2) 三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a、b,在平面内任取一点，作AB=a, BC=b,则向量 AC 叫做向量a与b的和，记作a+b.这种求—向量和 的方法叫做向量加法 的三角形法则.(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b(如图乙所示)，作AB=a, AD=b，则A、 B、D三点不共线，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量…AC =a+b，这种作 两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．［知识点拨］向量加法的平行四边形法则和三角形法则(1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第 二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量 即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一 点出发的不共线向量．(2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的 两个向量求和．当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法 则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则 便不再适用了．(3) 向量求和的多边形法则①已知 n 个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则.即A0A]+A]A2+A2A3 A 2A 1+A 1A =A0A0 1 1 2 2 3 －2 －1 －1 0②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0.2. 向量加法的交换律已知向量a、〃，如图所示，作AB=a, BC=b,如果A、B、C不共线，贝^AC=a+b.作AD=b,连接DC,如果我们能证明DC=a,那么也就证明了加法交换律成立.由作图可知,AD=BC=b,所以四边形ABCD是平行四边形，这就证明了DC=a,即a+b=b+a.向量的加法满足交换律.3. 向量加法的结合律如图，作AB=a, BC=b, CD=c，由向量加法的定义，知AC=AB+BC=a+b,DBBD=BC+CD=b+c,所以AD=AC+CD = (a+b)+c, AD=AB+BD=a+(b+c).从而(a+b)+c=a+(b+c)，即向量的加法满足结合律.[知识点拨]1.我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：一质点从点A出发，①先走过的位移为向量a,再走过的位移为向量 b ， ②先走过的位移为向量 b ，再走过的位移为向量 a ，则方案①②中质 点 A 一定会到达同一终点.2.多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行.如(a+b)+(c+d) = (b+ d)+(a+c); a+b+c+d+e = [^+(a+c)] + (b+e).A. AB= DCB. AD+AB=ACC. AB=BD+ADD. AD+CB=0［解析］因为AB=AD+DBzBD+AD，所以，c错误.2.化简PB+OP+BO= o .C C C C C C C C［解析］PB+OP+BO=(OP+PB)+BO = OB+BO=0.［解析］a b、c不共线中隐含着a, b, c均为非零向量，因为零向量与任一向量都是 共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．解法一：(三角形法则)：如图⑴所示，作AB=a, BC=b,则AC=a+b,再作CD=c,C C C C则AD=AC+CD=(a+b)+c,即AD=a+b+c.解法二：(平行四边形法则)：Ta、b、c不共线，如图(2)所示. 在平面内任取一点O,作OA=a, OB=b,以OA、OB为邻边作口OADB,则对角线OD=a+b,再作OC=c,以OC、OD为邻边作口OCED.则 OCE=a+b+c.命题方向1 。
向量的加法及几何意义典例1 (1)如图，已知ax b,求作a+b.(2)如图所示，已知向量a、b、c,试作出向量a+b+c.［思路分析］ (2)本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应作出两个向量的和，由于 这两个向量的和仍为一个向量，然后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三 角形法则或平行四边形法则．［解析］ (1)®AC=a^b ®AC=a+b(2)作法1：如图1所示，首先在平面内任取一点O,作向量OA=a,接着作向量AB=b, 则得向量OB=a+b；然后作向量BC=c,则向量OC=(a+b)+c=a+b+c即为所求.作法2：如图2所示，首先在平面内任取一点O,作向量OA=a, OB=b, OC=c,以OAJOB为邻边作口OADB,连接OD,则OD=OA + OB=a+b.再以OD、OC为邻边作口ODEC, 连接oe,则OE= OD+OC=a+b+c 即为所求.『规律总结』 (1)当两个不共线向量求和时，三角形法则和平行四边形法则都可以用(2)多个向量求和时，可先求两个向量的和，再和其他向量求和．〔跟踪练习1〕如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a与b的和.［解析］ 如下图中(1)、(2)所示，首先作OA=^a,然后作AB=b,则OB=a+b.命题方向 2 向量加法运算律的应用典例 2 化简下列各式：（1）AB＋DF＋CD＋BC＋FA(2)(AB＋DE)＋CD＋BC＋EA．［思路分析］ 首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和．［解析］（i）AB+DF+Cd+Bc+Fa=AB+Bc+Cd+dF+Fa=Ac+Cd+DF+F4=Ad+Da=o.（2）（AB＋DE）＋CD＋BC＋EA=（AB+Bc）+（Cd+De）+^=Ac+CE+Ea=ae+ea=o.『规律总结』 向量运算中化简的两种方法：(1) 代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和 即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．有时也需将一个向量拆分成两个或多 个向量．(2) 几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．〔跟踪练习2〕如图，在△ABC中，D, E分别是AB, AC上的点，F为线段DE延长 线上一点，DE〃BC, AB〃CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量)：R C（1） AB+df= AC ；（2） AD+Fc= Ab ；（3） AD+Bc+FC= AC .［解析］由已知可得四边形DFCB是平行四边形.（1） 易知 DF=BC.由三角形法则得：ab+df=ab+bc=ac.（2） 易知 FC=DB,所以 AD+FC=AD+DB=AB.（3） AD+Bc+Fc=AD+DjF+Fc=Ac.向量加法的实际应用…一向量加法的实际应用中，要注意如下应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的 边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求 解．典例3在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地 接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机 飞行的路程及两次位移的和．［思路分析］ 解答本题首先正确画出方位图，再根据图形借助于向量求解．［解析］如图所示，设AB, BC分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从 B地按南偏东55°的方向飞行800km.则飞机飞行的路程指的是ABi+iBCi；两次飞行的位移的和指的是AB+BC=AC.依题意，有 IABI + IBCI = 800+800=1 600（km）.又 «=35°, 〃=55°,ZABC=35°+55° = 90°.IABI2+IBCI2=\'8002 + 8002 = 80^-'2（km）.其中ZBAC=45°，所以方向为北偏东35°+45° = 80°.从而飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为800x/2km，方向为北偏东80°．〔跟踪练习3〕如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB 上, ZACW=150°，ZBCW=120°，求A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）.［解析］如图，设CE、CF分别表示A, B所受的力，10 N的重力用CG表示，则CE+CF=cg.易得 ZECG= 180° — 150。
30°,ZFCG=180°-120° = 60°,.•.lCEl = lC5lcos30°=10x¥ = 5V3. lCFl = lCGlcos60°=10x2=5..•.A处所受的力的大小为5\冋N, B处所受的力的大小为5 N.用平行四边形法则作平行向量的和典例4如图，已知平行向量a, 〃，求作a+b.［错解］. 5 ，B O A作OA=a, OB=b，贝^AB=a+b就是求作的向量.［辨析］由于a〃b,所以不适合用平行四边形法则，应该用三角形法则.［正解］II • IR 0 A作OA=
