灵活运用相似三角形理论解决方程与函数问题.doc
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灵活运用相似三角形理论解决几何面积型方程问题万安中学 侯来合相似三角形理论相似三角形性质：(1)对应边成比例，对应角相等2) 相似三角形对应部分线段及线段之和的比都等于相似比3) 相似三角形面积及对应部分的面积比都等于相似比平方 相似三角形判定：(1)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似2)两角对应相等，两三角形相似3)三边对应成比例，两三角形相似例如,AD是/ABC的高，点G、H在BC边上，点E在AB边上,点F在AC边上，BC=10 AD=8矩形EFGH的面积为15,求这个矩形的长和宽解法一：I四边形EFGH是矩形•••EF〃GH ZEGH=90°TAD丄BC /.EG#AD A dAEF^dABC ZlBEG^ZlABDEF _ AE(1)竺二竺⑵AD AB解得x=2或x=6⑴+ ⑵得診第"BEAD=8/.EF=10(1-^)设EG=x则EF=1O(1-^)由题意得8XX10(1--)=158整理得 x2-8x+12=0当 x=6 时 EG=6 EF=2. 5•••这个矩形的长和宽为7. 5、2或6、2. 5.解法二：•四边形EFGH是矩形/BEGsZBADA ZEGH=ZFHG=90° EG=FHTAD丄BC •••EG〃AD〃FH AZlCFH^ZlCAD• EG _ BG FH _ CH e> AD _ BD AD ~ CD设 EG=FH=x 则—BD CD AD• BG + CH x gn BG + CH x• • BD + CD ~ ~AD BC- ~ADVBC=10 AD=8.\BG+CH=-X /.GH=BC-(BG+CH)=10--X4 4由题意得XX (io--x)=154整理得 x2-8x+12=0解得x=2或x=6当 x=2 时 EG=2 EF=7. 5当 x=6 时 EG=6 EF=2. 5•••这个矩形的长和宽为7.5、2或6、2. 5.解法三设AD交EF于M,•••四边形EFGH是矩形A ZEGH=ZFHG=90° EF〃GHTAD丄BC •••EG〃AD〃FH /.EG=DM=FH 设 EG=x 则 DM=x/.AM=AD-DM=AD-XVEF // GH ••• Z AEFs ABC •••竺 二凹BC ADVBC=10 AD=8• EF 8-X• • = 10 8•••EF二巴(8-X)4由题意得XX-(8-X)=154整理得 x2-8x+12=0解得x=2或x=6当 x=2 时 EG=2 EF=7. 5当 x=6 时 EG=6 EF=2. 5•••这个矩形的长和宽为7.5、2或6、2. 5.解法四•••四边形EFGH是矩形••• ZEGH=ZFHG=90° , EF/ZGHTAD丄BC •••EG〃AD〃FH A JCFH^ ZlCADZBEGs/BAD/AEFs/ABCEF)2 S、beg -(EG 2^AABC BC ^SABD AQ设 EG=FH=x 则 EF=-X• S mefFH~ADVBC=10 AD=890smef=Smbc X (^y)2=40 X (上 x2 yr 2EG + S 乂FHS 'BEG _ S'CFH s 沁一 S^CD2S'BEG + S\cfH+ ^^ADC由题意得90 5X2戸+〒+ 15 = 40整理得 X4-40X2 + 144 = 0 (X2-36) (X2-4)=0VX > 0解得x=2或x=6当 x=2 时 EG=2 EF=7. 5当 x=6 时 EG=6 EF=2. 5•••这个矩形的长和宽为7.5、2或6、2. 5.另外用相似三角形理论可以不用作辅助线完成三角形中位线定理证明。
已知：DE是/ABC的中位线求证：DE〃BC 且 DE=-BC2证明：V DE是/ABC的中位线•••AD 二丄 AB AE 二丄 AC2 2：. — = — =丄又 I ZDAE=ZBACAB AC 2••• Z ADEsABC — = — = ! ZADE=ZBBC AB 2•••DE〃BC 且 DE=-BC2。
