高中数学校本课程(整理)（2022年整理）.pdf

江阴一中校本课程（数学） 1 竞赛讲座竞赛讲座一一 函数函数的性质的性质 第一讲第一讲 函数的的单调性 一学习目标 会判断较复杂的函数的单调区间，能利用函数的单调性解决最值问题及解不等式、解方程 二知识要点 单调性的定义，复合函数的单调性，抽象函数的单调性 三例题讲解 例 1.已知+=1)(x log) 1( 4) 13()(xxaxaxfa是(,) +上的减函数，那么a的取值范围是 （A）(0,1) （B）1(0, )3 （C）1 1 , )7 3 （D）1 ,1)7 【答案】C 【 解 析 】 由 题 意 知) 1(log)(=xxxfa在), 1 ( +上 为 减 函 数 ， 所 以10 a ，) 1(4) 13()(+=xaxaxf 在) 1 ,(上为减函数，所以013a ，且当1=x时，1log41) 13(aaa ，由得答案为 C. 例 2 已知函数xxxf+=1)(，判断该函数在区间),0+上的单调性，并说明理由 【讲解】用定义判断 设 01x2x,)()(21xfxf=11+x1x12+x+2x =112121+xxxx+1212xxxx+ =(1x2x)(11121+xx121xx +) 1121+xx12xx +0,11121+xx121xx + 又1x2x (1x2x)(11121+xx121xx +)0 )()(21xfxf 该函数在区间),0+上的单调递增。

例 3. 已知 f ( x )=x2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2x 2 )，求 g ( x )的单调增区间 【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数 t=x2+2 y = f ( t ) =t 2 + 2t + 8 对于f ( t ) =2) 1( t+9,可知当) 1 ,(t时是增函数，当), 1 ( +t时是减函数 对于由 t=x2+21 得11x ，当)0 , 1(x时是增函数，当) 1 , 0(x时是减函数 由 t=x2+21 得1x或1x，当) 1,(x时是增函数，当), 1 ( +x时是减函数 由复合函数的单调性可知，f ( x )的单调递增区间是) 1,(和(0,1) 例 4. 已知函数ayxx=+有如下性质：如果常数0a ，那么该函数在(0, a上是减函数，在江阴一中校本课程（数学） 2 ),a+上是增函数 （1）如果函数2(0)byxxx=+在(0,4上是减函数，在)4,+上是增函数，求b的值 （2）设常数1,4c，求函数( )(12)cf xxxx=+的最大值和最小值； （3）当n是正整数时，研究函数( )(0)nncg xxcx=+的单调性，并说明理由。

【讲解】 ： (1) 由已知得b2=4, b=4. (2) c1,4, c1,2, 于是,当 x=c时, 函数 f(x)=x+xc取得最小值 2c. f(1)f(2)=22c, 当 1c2 时, 函数 f(x)的最大值是 f(2)=2+2c； 当 2c4 时, 函数 f(x)的最大值是 f(1)=1+c. (3)设 0 x1x2,g(x2)g(x1)=)1)(21121122nnnnnnnnxxcxxxcxxcx=+. 当nc2x1g(x1), 函数 g(x)在nc2,+)上是增函数； 当 0 x1x2g(x1), 函数 g(x)在(0, nc2上是减函数. 当 n 是奇数时,g(x)是奇函数, 函数 g(x) 在(,na2上是增函数, 在na2,0)上是减函数. 当 n 是偶数时, g(x)是偶函数, 函数 g(x)在(,na2)上是减函数, 在na2,0上是增函数. 例 5 设 x, yR，且满足=+=+1) 1(1997) 1(1) 1(1997) 1(33yyxx，求 x+y. 【讲解】 设 f(t)=t3+1997t，先证 f(t)在（-，+）上递增事实上，若 a0，所以 f(t)递增。

由题设 f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x+y=2. 例 6 已知函数( )yf x=的定义域为 R， 且对任意12,x xR都有1212()( )()f xxf xf x+=+， 当0 x 时，( )0f x ，(1)fa=，试判断在区间3,3上( )f x是否有最大值或最小值，若有，求出其最大值或最小值，若没有，说明理由. 【讲解】 ： 设12,x xR 且12xx，则210 xx，所以21()0f xx. 212111()( )()( )f xf xfxxxf x=+2111()( )( )f xxf xf x+ 21()0f xx. 21()()f xf x 所以( )f x在 R 上为减函数，在3,3上，maxmin( 3),(3)yfyf=. 江阴一中校本课程（数学） 3 因为(3)(2 1)(2)(1)3 (1)3fffffa=+=+=，令120,xx=则(0)0f=， 令12,xx xx= ，则(0)( )()ff xfx=+，所以()( )fxf x=，所以( )f x为 奇函数，所以在区间3,3上，maxmin( 3)(3)3 ,(3)3yffa yfa= = =. 例 7 已知函数( )f x的定义域为0,1，且同时满足： （1）(1)3f=（2）( )0f x 恒成立（3）若12120,0,1xxxx+，则有1212()( )()f xxf xf x+. 求函数( )f x的最大值和最小值 . 【讲解】 ：设1201xx，2101xx，由（2）知21()0f xx. 则212111()( )()( )f xf xfxxxf x=+2111()( )( )f xxf xf x+ 21()0f xx，即21()( )f xf x，所以( )f x在0,1为增函数. 故函数( )f x在0,1的最大值和最小值分别为(1)f和(0)f. 在(3)中令120 xx=，得(0)2 (0)ff，(0)0f，根据（2）知(0)0f (0)0f=，所以函数( )f x的最大值和最小值分别为 3 和 0. 四课后练习 1.填空： （1）函数142=xxy的递增区间是_ _ _ （2）函数)34(log2+=xxya递减区间是_ _ 2.奇函数 f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又 f(1-a)+f(1-a2)-1，所以 cos0 ,2x， 所以 sin(cosx) 0,又 00， 所以 cos(sinx)sin(cosx). 若2, 0 x，则因为 sinx+cosx=2(sinxcos4+sin4cosx)=2sin(x+4)22， 所以 0sinx2-cosxcos(2-cosx)=sin(cosx). 综上，当 x(0,)时，总有 cos(sinx)0). 由 y=sinx 的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到 y=Asin(x+)的图象；也可以由 y=sinx 的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1，最后向左平移个单位，得到 y=Asin(x+)的图象。

例 5 已知 f(x)=sin(x+)(0, 0)是 R 上的偶函数， 其图象关于点0 ,43M对称， 且在区江阴一中校本课程（数学） 13 间2, 0上是单调函数，求和的值 【解】 由 f(x)是偶函数， 所以 f(-x)=f(x)， 所以 sin(+)=sin(-x+)， 所以 cossinx=0， 对任意 xR成立 又 0，解得=2， 因为 f(x)图象关于0 ,43M对称，所以)43()43(xfxf+=0 取 x=0，得)43(f=0，所以 sin. 0243=+ 所以243+= k(kZ)，即=32(2k+1) (kZ). 又0，取 k=0 时，此时 f(x)=sin(2x+2)在0，2上是减函数； 取 k=1 时，=2，此时 f(x)=sin(2x+2)在0，2上是减函数； 取 k=2 时，310，此时 f(x)=sin(x+2)在0，2上不是单调函数， 综上，=32或 2. 5三角公式的应用 例 6 已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，且BCAcos2cos1cos1=+，试求2cosCA的值 【解】 因为 A=1200-C，所以 cos2CA=cos(600-C)， 又由于)120cos(coscos)120cos(cos1)120cos(1cos1cos1000CCCCCCCA+=+=+ =2221)2120cos()60cos(2)2120cos(120cos21)60cos(60cos2000000=+CCCC， 所以232cos22cos242+CACA=0。

江阴一中校本课程（数学） 14 解得222cos=CA或8232cos=CA 又2cosCA0，所以222cos=CA 三、三、课外练习课外练习 已 知3sin)2sin(=+， 且),(2,21Zknnk+ 则tan)tan(+的 值 是_. 2. 若动直线xa=与函数( )sinf xx=和( )cosg xx=的图像分别交于MN，两点， 则MN的最大值为_. 3. 若02 ,sin3cos，则的取值范围是_. 4. 把函数sinyx=（xR）的图象上所有点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是_. 5. 函数f(x)=sin132cos2sinxxx(02x) 的值域是_. 6. 已知( )sin(0)363f xxff=+=，且( )f x在区间6 3 ，有最小值，无最大值，则_ 7. 已知函数 f(x)0,0)(cos()sin(3+xx为偶函数， 且函数 yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.2 （）求 f（8）的值； （）将函数 yf(x)的图象向右平移6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的 4倍，纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象，求 g(x)的单调递减区间. 8. 若117( ), ( )cos(sin )sin(cos ),( ,).112tf tg xx fxx fx xt=+ （）将函数( )g x化简成sin()AxB+（0A，0，0,2 )）的形式； （）求函数( )g x的值域. 9. 设函数232( )cos4 sincos43422xxf xxtttt= +，xR， 江阴一中校本课程（数学） 15 其中1t ，将( )f x的最小值记为( )g t （I）求( )g t的表达式； （II）讨论( )g t在区间( 11) ，内的单调性并求极值 10. 已知函数2( )2sin3cos24f xxx=+， 4 2x， （I）求( )f x的最大值和最小值； （II）若不等式( )2f xm在 4 2x，上恒成立，求实数m的取值范围 11. 已知函数2( )cos12f xx=+，1( )1sin22g xx= + （I）设0 xx=是函数( )yf x=图象的一条对称轴，求0()g x的值 （II）求函数( )( )( )h xf xg x=+的单调递增区间 12. 如图，函数2cos()(0)2yxx=+R，的图象与y轴交于点(03)，且在该点处切线的斜率为2 （1）求和的值； （2） 已知点02A， 点P是该函数图象上一点， 点00()Q xy，是PA的中点，当032y =，02x，时，求0 x的值 第五讲第五讲 解三角形解三角形 一、知识一、知识要点要点 1正弦定理：CcBbAasinsinsin=2R（R 为ABC 外接圆半径） 。

2余弦定理：a2=b2+c2-2bccosAbcacbA2cos222+= 面积公式：SABC=21absinC=21bcsinA=21acsinB； y x 3 O A P 江阴一中校本课程（数学） 16 海伦公式：SABC=)()(cpbpapp，这里.2cbap+= 斯特瓦特定理：在ABC 。