第六节电磁场的守恒定律.pdf

第第第六六六节节节电电电磁磁磁场场场的的的守守守恒恒恒定定定律律律电磁场是一种物质，同样有能量、动量、角动量电磁场和带电粒子可以相互交换能量（动量）§ ???电磁场和带电粒子间的能量守恒第第第六六六节节节电电电磁磁磁场场场的的的守守守恒恒恒定定定律律律电磁场是一种物质，同样有能量、动量、角动量电磁场和带电粒子可以相互交换能量（动量）§ ???电磁场和带电粒子间的能量守恒★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的；第第第六六六节节节电电电磁磁磁场场场的的的守守守恒恒恒定定定律律律电磁场是一种物质，同样有能量、动量、角动量电磁场和带电粒子可以相互交换能量（动量）§ ???电磁场和带电粒子间的能量守恒★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的；★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播）第第第六六六节节节电电电磁磁磁场场场的的的守守守恒恒恒定定定律律律电磁场是一种物质，同样有能量、动量、角动量电磁场和带电粒子可以相互交换能量（动量）§ ???电磁场和带电粒子间的能量守恒★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的；★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播）◆ 电磁场的能量密度ω = ω(x,t)：单位体积的能量第第第六六六节节节电电电磁磁磁场场场的的的守守守恒恒恒定定定律律律电磁场是一种物质，同样有能量、动量、角动量。

电磁场和带电粒子可以相互交换能量（动量）§ ???电磁场和带电粒子间的能量守恒★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的；★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播）◆ 电磁场的能量密度ω = ω(x,t)：单位体积的能量◆ 电磁场的能流密度S = S(x,t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量，方向为能量传输的方向第第第六六六节节节电电电磁磁磁场场场的的的守守守恒恒恒定定定律律律电磁场是一种物质，同样有能量、动量、角动量电磁场和带电粒子可以相互交换能量（动量）§ ???电磁场和带电粒子间的能量守恒★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的；★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播）◆ 电磁场的能量密度ω = ω(x,t)：单位体积的能量◆ 电磁场的能流密度S = S(x,t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量，方向为能量传输的方向★ 能量守恒定律的积分形式−IS · dσ =Zf · v dV +ddtZω dV第第第六六六节节节电电电磁磁磁场场场的的的守守守恒恒恒定定定律律律电磁场是一种物质，同样有能量、动量、角动量电磁场和带电粒子可以相互交换能量（动量）§ ???电磁场和带电粒子间的能量守恒★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的；★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播）◆ 电磁场的能量密度ω = ω(x,t)：单位体积的能量◆ 电磁场的能流密度S = S(x,t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量，方向为能量传输的方向★ 能量守恒定律的积分形式−IS · dσ =Zf · v dV +ddtZω dV◆ 其中场对带电粒子所作功率：Rf · v dV第第第六六六节节节电电电磁磁磁场场场的的的守守守恒恒恒定定定律律律电磁场是一种物质，同样有能量、动量、角动量。

电磁场和带电粒子可以相互交换能量（动量）§ ???电磁场和带电粒子间的能量守恒★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的；★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播）◆ 电磁场的能量密度ω = ω(x,t)：单位体积的能量◆ 电磁场的能流密度S = S(x,t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量，方向为能量传输的方向★ 能量守恒定律的积分形式−IS · dσ =Zf · v dV +ddtZω dV◆ 其中场对带电粒子所作功率：Rf · v dV◆ 场的能量增加率：ddtRω dV第第第六六六节节节电电电磁磁磁场场场的的的守守守恒恒恒定定定律律律电磁场是一种物质，同样有能量、动量、角动量电磁场和带电粒子可以相互交换能量（动量）§ ???电磁场和带电粒子间的能量守恒★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的；★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播）◆ 电磁场的能量密度ω = ω(x,t)：单位体积的能量◆ 电磁场的能流密度S = S(x,t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量，方向为能量传输的方向★ 能量守恒定律的积分形式−IS · dσ =Zf · v dV +ddtZω dV◆ 其中场对带电粒子所作功率：Rf · v dV◆ 场的能量增加率：ddtRω dV◆ 通过界面S流入的能量：−HS · dσ（负号是由于dσ是向外的导致）★ 能量守恒定律的微分形式∂ω∂t+ ∇ · S = −f · v★ 能量守恒定律的微分形式∂ω∂t+ ∇ · S = −f · v★ 当积分区域包括整个空间（或S流入流出为零）时，总能量守恒：Z∞f · v dV = −ddtZ∞ω dV§ ???电磁场的能量密度与能流密度§ ???电磁场的能量密度与能流密度【【【已已已知知知】】】 洛仑兹力公式f = ρE + ρv × B 【【【求求求解解解】】】 形如∂ω∂t+ ∇ · S = −f · v方程中ω与S的场场场量量量表达式。

§ ???电磁场的能量密度与能流密度【【【已已已知知知】】】 洛仑兹力公式f = ρE + ρv × B 【【【求求求解解解】】】 形如∂ω∂t+ ∇ · S = −f · v方程中ω与S的场场场量量量表达式解解解】】】f · v = (ρE + ρv × B) · v = ρE · v = J · E§ ???电磁场的能量密度与能流密度【【【已已已知知知】】】 洛仑兹力公式f = ρE + ρv × B 【【【求求求解解解】】】 形如∂ω∂t+ ∇ · S = −f · v方程中ω与S的场场场量量量表达式解解解】】】f · v = (ρE + ρv × B) · v = ρE · v = J · E★ 利用麦克斯韦方程组将J写为J = ∇ × H −∂D∂t可得：J · E = (∇ × H −∂D∂t) · E = E · (∇ × H) − E ·∂D∂t= −∇ · (E × H) + H · (∇ × E) − E ·∂D∂t= −∇ · (E × H) − H ·∂B∂t− E ·∂D∂t经比较可得S = E × H∂ω∂t= H ·∂B∂t+ E ·∂D∂t经比较可得S = E × H∂ω∂t= H ·∂B∂t+ E ·∂D∂t★ 能流密度S又称之为坡坡坡印印印亭亭亭矢矢矢量量量?????????矢量?经比较可得S = E × H∂ω∂t= H ·∂B∂t+ E ·∂D∂t★ 能流密度S又称之为坡坡坡印印印亭亭亭矢矢矢量量量?????????矢量?★ 能量密度必须分不同情况讨论：经比较可得S = E × H∂ω∂t= H ·∂B∂t+ E ·∂D∂t★ 能流密度S又称之为坡坡坡印印印亭亭亭矢矢矢量量量?????????矢量?★ 能量密度必须分不同情况讨论：◆ 真空中D = ε0E,B = µ0Hω =12(ε0E2+1µ0B2)经比较可得S = E × H∂ω∂t= H ·∂B∂t+ E ·∂D∂t★ 能流密度S又称之为坡坡坡印印印亭亭亭矢矢矢量量量?????????矢量?★ 能量密度必须分不同情况讨论：◆ 真空中D = ε0E,B = µ0Hω =12(ε0E2+1µ0B2)◆ 把极化能和磁化能包括在介质的总电磁能量中，可给出一般介质中场能量的改变量：δω = E · δD + H · δB经比较可得S = E × H∂ω∂t= H ·∂B∂t+ E ·∂D∂t★ 能流密度S又称之为坡坡坡印印印亭亭亭矢矢矢量量量?????????矢量?★ 能量密度必须分不同情况讨论：◆ 真空中D = ε0E,B = µ0Hω =12(ε0E2+1µ0B2)◆ 把极化能和磁化能包括在介质的总电磁能量中，可给出一般介质中场能量的改变量：δω = E · δD + H · δB◆ 对于各向同性的线性介质D = εE,B = µHω =12(E · D + H · B)§ ???电磁场的动量密度与动量流密度§ ???电磁场的动量密度与动量流密度动（能）量的转化有两种途径：场与带电粒子相互作用；场在空间中的流动【【【已已已知知知】】】 洛仑兹力公式f = ρE + J × B 【【【求求求解解解】】】 形如∂g∂t+ ∇ ·←→T = −f方程中g与←→T 的场场场量量量表达式。

§ ???电磁场的动量密度与动量流密度动（能）量的转化有两种途径：场与带电粒子相互作用；场在空间中的流动【【【已已已知知知】】】 洛仑兹力公式f = ρE + J × B 【【【求求求解解解】】】 形如∂g∂t+ ∇ ·←→T = −f方程中g与←→T 的场场场量量量表达式解解解】】】 利用麦克斯韦方程组，将ρ、J的表达式代入洛仑兹力公式：ρ = ε0∇ · E,J =1µ0∇ × B − ε0∂E∂t,f = ρE + J × Bf = (ε0∇ · E)E + (1µ0∇ × B − ε0∂E∂t) × B= (ε0∇ · E)E +1µ0(∇ × B) × B − ε0∂∂t(E × B) + ε0(E ×∂B∂t)= −ε0∂∂t(E × B) + ε0(∇ · E)E + ε0(∇ × E) × E+1µ0(∇ × B) × B +1µ0(∇ · B)B由于：(∇ × E) × E = (E · ∇)E −12∇E2故：(∇ · E)E + (∇ × E) × E = (∇ · E)E + (E · ∇)E −12∇E2= ∇ · (EE) −12∇ · (←→I E2)= ∇ · (EE −12←→I E2)由于：(∇ × E) × E = (E · ∇)E −12∇E2故：(∇ · E)E + (∇ × E) × E = (∇ · E)E + (E · ∇)E −12∇E2= ∇ · (EE) −12∇ · (←→I E2)= ∇ · (EE −12←→I E2)其中用到张量计算公式：∇ · (fg) = g(∇ · f) + (f · ∇)g∇ · (←→I E2) =←→I · ∇E2= ∇E2其中←→I 为单位张量具有性质←→I · v = v ·←→I = v同理：(∇ · B)B + (∇ × B) × B = ∇ · (BB −12←→I B2)同理：(∇ · B)B + (∇ × B) × B = ∇ · (BB −12←→I B2)★ 故此可得：ε0∂∂t(E × B) + ∇ · [−ε0EE −1µ0BB +12←→I (ε0E2+1µ0B2)] = −f同理：(∇ · B)B + (∇ × B) × B = ∇ · (BB −12←→I B2)★ 故此可得：ε0∂∂t(E × B) + ∇ · [−ε0EE −1µ0BB +12←→I (ε0E2+1µ0B2)] = −f★ 其中：电磁场动动动量量量密密密度度度g为g = ε0E × B同理：(∇ · B)B + (∇ × B) × B = ∇ · (BB −12←→I B2)★ 故此可得：ε0∂∂t(E × B) + ∇ · [−ε0EE −1µ0BB +12←→I (ε0E2+1µ0B2)] = −f★ 其中：电磁场动动动量量量密密密度度度g为g = ε0E × B★ 电磁场动量密度与能流密度间的关系：g = ε0E × B = ε0µ0E × H =1c2S★ 电磁场动动动量量量流流流密密密度度度←→T 为←→T = −ε0EE −1µ0BB +12←→I (ε0E2+1µ0B2)★ 电磁场动动动量量量流流流密密密度度度←→T 为←→T = −ε0EE −1µ0BB +12←→I (ε0E2+1µ0B2)◆ 电磁场动量流密度张量又称为麦麦麦克克克斯斯斯韦韦韦应应应力力力张张张量量量或张张张力力力张张张量量量★ 电磁场动动动量量量流流流密密密度度度←→T 为←→T = −ε0EE −1µ0BB +12←→I (ε0E2+1µ0B2)◆ 电磁场动量流密度张量又称为麦麦麦克克克斯斯斯韦韦韦应应应力力力张张张量量量或张张张力力力张张张量量量◆ 张量←→T 的分量Tij的意义是通过垂直于i轴的单位面积流过的动量j分量。

★ 电磁场动动动量量量流流流密密密度度度←→T 为←→T = −ε0EE −1µ0BB +12←→I (ε0E2+1µ0B2)◆ 电磁场动量流密度张量又称为麦麦麦克克克斯斯斯韦韦韦应应应力力力张张张量量量或张张张力力力张张张量量量◆ 张量←→T 的分量Tij的意义是通过垂直于i轴的单位面积流过的动量j分量★ 电磁场动量守恒的积分形式ddtZZZgdV = −ZZZfdV −Idσ ·←→T例一同轴传输线内导体半径为a，外导线半径为b，两导线间为均匀绝缘介质导线载有电流I，两导线间的电压为U 忽略导线的电阻，计算介质中的能流S和传输功率；（?） 计及内导线的有限电导率，计算通过内导线表面进入导线内的能流，证明它等于导线的损耗功率例一同轴传输线内导体半径为a，外导线半径为b，两导线间为均匀绝缘介质导线载有电流I，两导线间的电压为U 忽略导线的电阻，计算介质中的能流S和传输功率；（?） 计及内导线的有限电导率，计算通过内导线表面进入导线内的能流，证明它等于导线的损耗功率解解解】】】 （?）由安培环路定律可知，a < r < b处的磁场强度：H =I2πreθ例一同轴传输线内导体半径为a，外导线半径为b，两导线间为均匀绝缘介质。

导线载有电流I，两导线间的电压为U 忽略导线的电阻，计算介质中的能流S和传输功率；（?） 计及内导线的有限电导率，计算通过内导线表面进入导线内的能流，证明它等于导线的损耗功率解解解】】】 （?）由安培环路定律可知，a < r < b处的磁场强度：H =I2πreθ设导线上线电荷密度为τ，由高斯定理可知，a < r < b处的电场强度：E =τ2πεrer例一同轴传输线内导体半径为a，外导线半径为b，两导线间为均匀绝缘介质导线载有电流I，两导线间的电压为U 忽略导线的电阻，计算介质中的能流S和传输功率；（?） 计及内导线的有限电导率，计算通过内导线表面进入导线内的能流，证明它等于导线的损耗功率解解解】】】 （?）由安培环路定律可知，a < r < b处的磁场强度：H =I2πreθ设导线上线电荷密度为τ，由高斯定理可知，a < r < b处的电场强度：E =τ2πεrer由导线间电压：U =ZbaE · dr =τ2πεlnba⇒τ =2πεUlnba故坡印亭矢量为：S = E × H =UI2π lnba·1r2ez故坡印亭矢量为：S = E × H =UI2π lnba·1r2ez总传输功率为P =ZbaS 2πrdr =ZbaUI2π lnbar22πrdr =UIlnbaZba1rdr = UI故坡印亭矢量为：S = E × H =UI2π lnba·1r2ez总传输功率为P =ZbaS 2πrdr =ZbaUI2π lnbar22πrdr =UIlnbaZba1rdr = UI（?）导体内部电场强度：E =Jσ=Iπa2σez故坡印亭矢量为：S = E × H =UI2π lnba·1r2ez总传输功率为P =ZbaS 2πrdr =ZbaUI2π lnbar22πrdr =UIlnbaZba1rdr = UI（?）导体内部电场强度：E =Jσ=Iπa2σez由电场强度切向分量连续可知，a < r < b处的电场强度既有r分量又有z分量，其z分量为Ez|r=a=Iπa2σez故坡印亭矢量为：S = E × H =UI2π lnba·1r2ez总传输功率为P =ZbaS 2πrdr =ZbaUI2π lnbar22πrdr =UIlnbaZba1rdr = UI（?）导体内部电场强度：E =Jσ=Iπa2σez由电场强度切向分量连续可知，a < r < b处的电场强度既有r分量又有z分量，其z分量为Ez|r=a=Iπa2σez故此能流S除了如前所述z方向分量外，还增加有ez× eθ= −er方向分量：Sr= EzHθ|r=a=I22π2a3σ流进单位长度δl导线内部的功率为Sr· 2πaδl =I2· 2πaδl2π2a3σ= I2δlπa2σ= I2R流进单位长度δl导线内部的功率为Sr· 2πaδl =I2· 2πaδl2π2a3σ= I2δlπa2σ= I2R★ 流进导体内部的能流转化为欧姆加热；流进单位长度δl导线内部的功率为Sr· 2πaδl =I2· 2πaδl2π2a3σ= I2δlπa2σ= I2R★ 流进导体内部的能流转化为欧姆加热；★ 能量传输不是从导体中通过，而是在导线周围的介质中传输。

例二一平行板电容器由两个相距为d、半径为a的圆形板组成，该电容器由无电阻的长直导线供电，已知两板间电压为V = V0cosωt，并假定d ¿ a ¿cω，即电场的边缘效应和推迟效应均可以忽略，试求解：??? 两板间的电磁场；??? 两板间的能量密度、能流密度；??? 长直导线中的电流以及板上的电流密度；例二一平行板电容器由两个相距为d、半径为a的圆形板组成，该电容器由无电阻的长直导线供电，已知两板间电压为V = V0cosωt，并假定d ¿ a ¿cω，即电场的边缘效应和推迟效应均可以忽略，试求解：??? 两板间的电磁场；??? 两板间的能量密度、能流密度；??? 长直导线中的电流以及板上的电流密度；【【【解解解】】】??? 板间的电场为：E =Vdez=V0dcosωtez例二一平行板电容器由两个相距为d、半径为a的圆形板组成，该电容器由无电阻的长直导线供电，已知两板间电压为V = V0cosωt，并假定d ¿ a ¿cω，即电场的边缘效应和推迟效应均可以忽略，试求解：??? 两板间的电磁场；??? 两板间的能量密度、能流密度；??? 长直导线中的电流以及板上的电流密度；【【【解解解】】】??? 板间的电场为：E =Vdez=V0dcosωtez由???????方程组∇ × B = µ0J + µ0ε0∂E∂t= µ0ε0∂E∂t= −µ0ε0V0dω sinωtez利用位型的对称性进行积分：IB · dl =ZZ−µ0ε0V0dω sinωtez· dSB 2πr = −?µ0ε0V0dω sinωt¶· πr2⇒B = −µ0ε0V02dωr sinωteφ??? 两板间电磁能量密度：ω =12ε0E2+12B2µ0=12ε0?V0d¶2cos2ωt +121µ0?µ0ε0V02dωr sinωt¶2=ε02?V0d¶2•cos2ωt +‡ωr2csinωt·2‚’ε02?V0d¶2cos2ωt??? 两板间电磁能量密度：ω =12ε0E2+12B2µ0=12ε0?V0d¶2cos2ωt +121µ0?µ0ε0V02dωr sinωt¶2=ε02?V0d¶2•cos2ωt +‡ωr2csinωt·2‚’ε02?V0d¶2cos2ωt能流密度：S = E × H=V0dcosωt · ε0V02dωr sinωt (eφ× ez)= −ωr4ε0?V0d¶2sin2ωter??? 下平行板上的面电荷密度：σ = n · (D2− D1) = ε0E = ε0V0dcosωt单个板上的总电荷：Q =ZZσ dS = ε0V0dπa2cosωt长直导线中的电流：I =dQdt= −ε0V0dπa2ω sinωt??? 下平行板上的面电荷密度：σ = n · (D2− D1) = ε0E = ε0V0dcosωt单个板上的总电荷：Q =ZZσ dS = ε0V0dπa2cosωt长直导线中的电流：I =dQdt= −ε0V0dπa2ω sinωt由电荷守恒定律可知：∇ · J +∂ρ∂t= 0用柱坐标表述的板上的电流密度：1r∂∂r(rJr) +1r∂Jθ∂θ+∂Jz∂z+∂ρ∂t= 0?1r∂∂r(rJr) +∂ρ∂t¶· dh = 0由于σ为电荷面密度，Kr为电流面密度，即：σ = ρ · dh,Kr= Jr· dh1r∂∂r(rKr) +∂σ∂t= 01r∂∂r(rKr) = ε0V0dω sinωt可得：Kr= ε0V02dω sinωt?r +br¶由于σ为电荷面密度，Kr为电流面密度，即：σ = ρ · dh,Kr= Jr· dh1r∂∂r(rKr) +∂σ∂t= 01r∂∂r(rKr) = ε0V0dω sinωt可得：Kr= ε0V02dω sinωt?r +br¶由于边界条件：当r = a时Kr= 0，即可待定出常数b，由此可得板上的面电流密度为：Kr= ε0V02dω sinωt?r −a2r¶§ ???小结§ ???小结★ 电磁场和带电物质间满足能量守恒、动量守恒定律；§ ???小结★ 电磁场和带电物质间满足能量守恒、动量守恒定律；★ 能流密度（坡印亭矢量）S = E × H；§ ???小结★ 电磁场和带电物质间满足能量守恒、动量守恒定律；★ 能流密度（坡印亭矢量）S = E × H；★ 各向同性线性介质中电磁场能量密度ω =12(E · D + H · B)；§ ???小结★ 电磁场和带电物质间满足能量守恒、动量守恒定律；★ 能流密度（坡印亭矢量）S = E × H；★ 各向同性线性介质中电磁场能量密度ω =12(E · D + H · B)；★ 电磁场动量密度g = ε0E × B；§ ???小结★ 电磁场和带电物质间满足能量守恒、动量守恒定律；★ 能流密度（坡印亭矢量）S = E × H；★ 各向同性线性介质中电磁场能量密度ω =12(E · D + H · B)；★ 电磁场动量密度g = ε0E × B；★ 电磁场动量流密度张量§ ???小结★ 电磁场和带电物质间满足能量守恒、动量守恒定律；★ 能流密度（坡印亭矢量）S = E × H；★ 各向同性线性介质中电磁场能量密度ω =12(E · D + H · B)；★ 电磁场动量密度g = ε0E × B；★ 电磁场动量流密度张量←→T = −ε0EE −1µ0BB +12←→I (ε0E2+1µ0B2)【【【习习习题题题】】】 ???? ??：?????。