狄拉克场与费米子.docx

狄拉克场与费米子1.经典场狄拉克场的拉格朗日密度为：L =V (x) (丫祯 - m 方(x) (1)日正则坐标为W (x)，相应的正则动量为：，、泌•，、兀(x) = = iW +(x) (2)8W由于L中不含有矿的导数，所以旷不是正则坐标狄拉克场的能量，动量，守恒荷H = Jw + (x)Qioc -V + PmW (x)d3x (3)p = -i Jw + (x )VW (x) d 3 x (4)Q = JW + (x)W (x) d3 x (5)2.量子化把W (x)与丸(x) = iW+( x)看作算符，满足一定的对易关系与克莱因-戈登场不同，克莱因-戈登场描述的是自旋为零的玻色子，而狄拉克场描述的 是自旋为1的费米子，遵从泡利不相容原理，即同一个量子态只允许有一个粒子如果将W (x)与兀(x)的对易关系取成与克莱因-戈登场相同的形式，即(6)Wo⑴气(x'」="G -x舟p则将有态a+n(k)0；存在，即n个具有相同能量与动量的费米子处于同一量子态，这是不允 许的因此狄拉克场的量子化不能按照(6)式进行，而应另想办法该办法就是将W (x)与兀(x)取成如下对易关系W G,t)w+G', t)^=s s 3 G - x')o P op(7)W G,t)wp&,t)}=o，W+G,t)w+&/)}= 0与(6)式的差别仅在于将对易子",b\= AB - BA换成反对易子!a,箫=AB + BA。

这差别是唯一的，也是基本的和十分重要的由此引出的值次是大不相同的由于(3)式的场能量算符包含两个3费米算符的乘积，相当于一个玻色算符，故算符运动方程保持不变，即:W = iln,wl W += ik,W + ] (8)将H的表达式(3)代入上式得：W G,t)= ijd3x' W + (x')Q ioc -V'+PmW (x')，W (x)]t'=t利用公式：\aB, C ]= ABC - CAB + ACB - ACB=a^b, c }- A c}b则上式可以写成：W G, t )= ij d3x'W + (x ')(-派-V'+Pm) W (x '),W + (x'),W (x)Lio -V'+Pm) W (x'))-ijd3x'5 53(x-x,)Cioc-V'+Pm) W (x')|因此得：i —W (x, t )=(- ioc-V + Pm，G, t) dt亦即：(9)V"W= 0这就是人们熟知的狄拉克方程，它现在是算符运动方程3.一般解由第一章的讨论我们知道，狄拉克方程(9)有正能解与负能解(10)(11)e+iP-x， P - X = Et 一 p - x， E =、; p 2 + m 2其一般解由其叠加而成，即W (x)= £ '—C(p, s\(p, s)e-iP-x + d+(p, s > (p, s)eipx ) WE —* p ,sW + (x)= £ - m C +(p, s\ +(p, s)eiPx + d (p, s > + (p, s )e -ipx) VVE、 p s式中，u(p,s)是能量为E，动量为p，自旋为s的旋量波函数，v(p,s)是能量为-E，动量 为-p，自旋为s的波函数。

C(p,s)，c+(p,s)，d(p,s)，d +(p,s)是展开系数，是算符利用u(p, s)，v(p, s)的正交归一化关系ssssu+(p, s》(p, s ')= — 6 . v + (p, s>(p, s ')= — 5v+(— p, s \ (p, e)= u+(p, s >C p, e)= 0(12)以及平面波的正交归一化关系:1—J ei(p—p')xd 3x = 5V V p，p'由(11)式可以推出c(p,s)= 5 Jeipx"+(p,s， (x)d 3 x \VEc &s)=荒」e -卿 + (x \ (p, s )d 3 xd (p, s )= '-^ J eipx^ + (x )/(p, s )d 3 x \VEd+(p,s)= . ：~^- Je—ipN + (p, s 认)d 3x \,VE例如，将W (x)的展开式(11)代入(13)式第一式得:.m}VEJ d 3 xeipxu+(p, s )^yVE(c(p，s 以(p ', s ' )e—沪.x p ',s'+ d+(p', s' ) (p', s' )eip'x)(13)=X m(c(p，, s' \ +(p, s》(p', s'》EE' p,p,p ',s'+ d+(p ', s4+(p, s\(p，, s%2oi5 )—* —*p，一 p=X m((p, s' \+(p, s\(p, s。

d+(- p, s' \+(p, s> (- p, s' ^ei2^t E=X c(p, s ' 3 = c(p, s)ss' s'4.动量、自旋函数算符由此可见，量子化的狄拉克场，既可以用时空函数算符W (x), W + (x)描述，亦可用动自旋函数算符c(p,s)，c +(p,s)，d(p,s)及d +(p,s)描述它们之间由(11)与(13)式相联系时空函数算符W (x)，W + (x)满足对易关系(7)式，由该对易关系，我们可以得到动量函数算符c(p,s)， c+(p,s)，d(p,s)，d +(p,s)满足如下对易关系:E\p,s),c+\p\s' ・(p,s)d+(p', e)}=8 8汉万’ss'8 5p,p' ss'其余算符都反对易例如由(13)式得:{(〃,s)c+(//,s)}=］巴VVEJ*0PW+(〃,S>(14)| m\VE'e-ip'x\\i +G',/(p',s》3W—— f d^xd3x'e^px-p'x'}u+ (»,s) tt(p',s') 1/ +W*V

8 SsQ-x')V(EE‘ a p 弗——m f d 3X0(P-P')x〃 + (〃，s》(〃'，s')Vy)'EE'=6 6p,p' ss又:(?G，s)d(//,s)}= eipxu+ (p, s\f G,t)di m\Weipx\\j +(x' ,s'^)d x' , J d 3xd 3%f g'(px+ p'x'M+(p,s> S，s，B &Gt)V V EE' a P 郎——m f d3*(p+p见〃 + (〃, s) (//, s)V 7 EE'=亮"+板思广伽f "将(11)式代入狄拉克场的能量，动量，守恒荷表达式(3), (4), (5)表达式得:(15)(睥皈 s)+M0G,s)-i) p = 刀(+(〃,s)?(p,s)+d+(p,s)dG，s)) Q = £(+(p,s)cG，s)-d+(〃,s)dG，s))P，S例如:H = j W + 3)(-. V + Pm)|/ (x)d 3%+ d+=J— — {+(p,s>(//,e》+(p,sLS,e)0(八 p_p')xV\ Eps p',s'一c+(p,s》+(p',s'》+(p,s) (p\s)e-i(p+p)x ++ d(p,s、S，s，) + (p,s\t(p； s)e-i(p+-d(p,s)d+(p',s由 + (p,s>S,s农Xp-M }p，)x阜{+ (p,s)c(R,sd+(p,5X(79',e* I(p, s)d+ (p', 5'X+ (/?, 5^ (p', S^i^EtdP~P'p-p'—d^p, s)d+(p', 5'^ + (p, 5^ (p', 5'^ }p,p'c+(〃,s》G,s "+ 板 5O—5m= TZmJP，S p',s'-c+海,s'一c +(p, s)d +C p, s4 +(p, s) C p, s\i2Et+ d(p, s)?(- p, s，) +(p, s》(-p, s\-i2Et一d (p, s )d+(p, s，> + (p, s > (p, s)}=£ E (+(p, s Xp, s )- d (p, s)d+(p, s ))= £'e (c +(p, s l(p, s )+ d+(p, s )d (p, s )-1)ps将算符(-记-V + pm)换成动量算符-i，亦即在上述计算中，将E换成p，其结果就是场的动量算符表达式。

在上面的计算中，去掉算符-ia-V+pm，即在最后结果中去掉E，并将第二项的“-” 号变成“+”，就可以得到守恒荷的动量算符表达式注意£1是对所有正，反粒子的电荷—*p,s求和，应为零)5.粒子性在场的能量，动量，守恒荷的表达式中，描述场的基本算符c(p,s)，c+(p,s)，d(p,s)，d+(p, s)以组合N (p, s)= c +(p, s Xp, s )(16)(17)N (p, s)= d+(p, s )d(p, s )「 的形式出现，根据对易关系(14)可以证明N, c+J= c +, N, c〕= -cN, d+」=d+, N, d L—d例如:N, c + ]= c+cc + — c+c+c = c + C — c+c) = c+N, c ]= c+cc — cc+c = -c ( — cc +)= -cN 2 = c+cc+c = c + ( - c+d = c+c = N在N和N的对角表象中，令N\n=nn， n n=n n则 N2n = N|n，故 n2 = n n n =0，1N2 \n — N|n：，故 n2 — n n n =0，1即N或N的本征值只有两个，一个为0,另一个为1.又]n). = (n + 1)c + \n-Nc n') = ( c + cN)«\ = (n -丽n}同理：Nd+n；=(n+i)d+n，Nd n—G -i》n由此可见，c(p, S)，c +(p,s)，N(p,s)是粒子的消灭算符，产生算符及粒子数算符。

而d(p,s)， d +(p,s)， N(p, s )是反粒子的消灭算符，产生算符与粒子数算符等正，反粒子的差别仅在于它们的守恒荷差了一个符号库仑规范的电磁场和光子用电磁势A u描述的电磁场，要在一定的规范条件下才会有意义，但规范条件却带来了量子化的困难，因此，电磁场的量子化是比较困难的这里，我们先讨论库仑规范条件下电磁场的量子化1.经典场电磁场的拉格朗日密度为L = -4( A -d A 舄Av -dvAu) (1)在库仑规范条件Ao = 0，V - A = 0 (2)的条件下，该拉格朗日密度可以写成(§2.3, 14’式)c 1 1。