初中数学一题多解题.docx

初中数学一题多解题解方程得：x1=17,x2=-19所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法二、设 x 为任意整数，则这两个连续奇数分别为：2x-1,2x+1(2x-1)(2x+1)=3232x1-1=17,2x1+1=192x2-1=-19,2x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法四、设两个连续奇数为 x-1,x+1则有 x^2-1=323x^2=324=4*81x1=18,x2=-18x1-1=17,x1+1=19x2-1=-19,x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19例题二、某人买 13 个鸡蛋、5 个鸭蛋、9 个鹌鹑蛋，共用去 9.25 元；如果买 2 个鸡蛋，4个鸭蛋，3 个鹌鹑蛋，则共用去 3.20 元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？ 解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z 元，则根据题意，得13x + 5y + 9z = 9.25< 1 >< 2 >ìí2x + 4y + 3z = 3.2 0î分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z 的值是不可能的，但注意到所求的是的代数和，因此，我们可通过变形变换x+ y + z得到多种解法。

1. 凑整法< 1 > + < 2 >，得5x + 3y + 4z = 4.15< 3 >解 1：3< 2 > + < 3 >，得7(x + y + z) = 7.35\ x + y + z = 1.0 5答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05 元（下面解法后的答均省略）解 2：原方程组可变形为13(x + y + z) - 4(2y + z) = 9.25ìíî2(x + y + z) + (2y + z) = 3.2 0解之得：x+ y + z = 1.0 52. 主元法解 3：视 x、y 为主元，视 z 为常数，解<1>、<2>得，x= 0 .5 - 0.5z y = 0.55 - 0.5z\ x + y + z = 0.55 + 0 .5 - z + z = 1.0 5解 4：视 y、z 为主元，视 x 为常数，解<1>、<2>得y= 0.05 + x，z = 1- 2x\ x + y + z = 1.0 5 + x - 2x + x = 1.0 5解 5：视 z、x 为主元，视 y 为常数，解<1>、<2>x = y - 0.05，z = 1.1- 2y得\ x + y + z = y - 0.05+ y +1.1- 2y = 1.0 53. “消元”法解 6：令= 0，则原方程组可化为x5y + 9z = 9.25y = 0.05z = 1ììíîÞí4y + 3z = 3.2î\ x + y + z = 1.0 5解 7：令= 0，则原方程组可化为y13x + 9z = 9.25x = -0.05z = 1.1ìíìíîÞ2x + 3z = 3.2 0î\ x + y + z = 1.0 5解 8：令= 0，则原方程组可化为z 13x + 5y = 9.25x = 0 .5ìíìíîÞ2x + 4y = 3.2 0y = 0.55î\ x + y + z = 1.0 54. 参数法+ y + z = k解 9：设 x，则13x + 5y + 9z = 9.25< 1 >< 2 >< 3 >ìï2x + 4y + 3z = 3.2 0x + y + z = kíïî\<1> - < 2 > ´3，得 x - y = -0.05 < 4 >< 3 > ´3- < 2 > x - y = 3k - 3.2，得< 5 >\ 由<4>、<5>得3k - 3.2 = -0.0 5\k = 1.0 5+ y + z = 1.0 5即 x5. 待定系数法解 10. 设x + y + z = a(13x + 5y + 9z) + b(2x + 4y + 3z)= (13a + 2b)x + (5a + 4b)y + (9a + 3b)z< 1 >则比较两边对应项系数，得1ìï13a + 2b = 1ìïa =ï2145a + 4b = 1 Þííïîï9a + 3b = 1b =îï21将其代入<1>中，得141x + y + z = ´ 9.25 + ´ 3.2 = ´ 22.05 = 1.0 5212121附练习题1. 有大小两种货车，2 辆大车与 3 辆小车一次可以运货 15.5 吨 ；5 辆大车与 6 辆小车一次可以运货 35 吨。

求 3 辆大车与 5 辆小车一次可以运货多少吨？（答案：24.5 吨）2. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲 3 件、乙 7 件、丙 1 件共需 3.15 元；若购甲 4 件、乙10 件、丙 1 件共需 4.20 元问若购甲、乙、丙各 1 件共需多少元？（答案：1.05 元）平面几何 13647 求证： CE：BC=CF：AC（注意本题和 16 题有无联系）求证： EF 是⊙O1 和⊙O2 的一条外公切线求证：点 A 到圆 O2 的切线长和 AC 相等（AT=AC） 24、已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，E 为 ACD 的中点，连 ED 并延长交 CB 的延长线于 F，求证：DF：CF=BC：ACBC^2=BD·AB =1/AD·BD=1/CD^215 题解答：因为 M 为 AB 的中点，所以 AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DMAC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB=(AD-DB)AB=2DM*AB26、（在 19 题基础上增加一条平行线）于 F，FG‖AB 交 BC 于点 G，求证：CE=BG27、（在 19 题基础上增加一条平行线）28、（对 19 题增加一个结论） （沪科版八年级数学第 117 页第 3 题）32、（在 18 题基础上增加一条直线）又∠BCE=∠BCD∴QM/MN=CQ/CN（三角形内角平分线性质定理）∠BCE+∠NCS=∠BCD +∠ACDNS‖CD，∴∠NSC=∠ACD∴∠NSC=∠NCS ∴PQ/PN=QM/MN 题 35（在题 19 中增加点 F） 题 37题 38已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，PC 为⊙ABC 的切线求证：PA/AD=PB/BD题 39题 40： 题 41题 42求证：S⊙O1：S⊙O2=AD：DB 题 45、∠ACB 交⊙ABC 与 E，交 AB 与 D ，求 CD·CE 的值 题 47在题 46 中，求 sin∠PCA题 48（由题 19 而变）（2）、AG^2= AD·AB（3）、G 在∠DCB 的平分线上（4）、FG‖BC（5）、四边形 CEFG 是菱形题 49 题目 50（题 33 再变）求证： AF= 2FE又 DB：EM=1：2所以，AD：EM=2：1△ADF∽△EMF ∴CG=EF∴四边形 CGFE 为等腰梯形∴CG=EF又∠GPB=∠FPB， 题 51 解法 4（原题图）由题 50 得，AF=2EF∴AF：EF=AC：BE=2又∠CAF=∠BEF=45 度∴△ACF∽△EBF∴∠ACF=∠EBF又∠ACF=∠CBA作 ME⊥CE 交 CD 的延长线于 M，证△ABC≌△CME（ASA）∴∠ABC=∠M再证△MEF≌△BEF（SAS）∴∠EBM=∠M又∠ABC=∠N（对称点） ∴M 为 AB 的中点∴∠MCB=∠MBC又∠EBM=∠MCB∴∠ABC=∠EBF题目 52（题 50、51 结论的引伸）已知，△ABE 中，AC=EC，∠ACE=90 度，CD⊥AB 交斜边 AB 于 F，D 为垂足，B 为 CE 的中点，连结 FB，求证：（1）、AF=2EF（2）、∠ABC=∠EBF （5）、AB：BF=AE：EF（6）、CD：DF=AE：AF（7）、AD：DB=2AF：EF（8）、CD/DF·FA/AE·EB/BC=1题目 53 （题 52 的一部分）已知如图，①、AC=CE②、AC⊥CE③、CB=BE④、CF⊥AB求证：⑤、AF=2EF⑥、∠ABC=∠EBF（题 53 的 14 个逆命题中，是真命题的请给出证明）题目 54（题 53 的逆命题 1）已知如图，⑥、∠ABC=∠EBF平面几何一题多变题目 55（题 53 的逆命题 2）已知如图，⑤、AF=2EF④、CF⊥AB求证：②、AC⊥CE⑥、∠ABC=∠EBF 题目 56（题 53 的逆命题 3）已知如图，①、AC=CE②、AC⊥CE⑤、AF=2EF④、CF⊥AB求证：③、CB=BE⑥、∠ABC=∠EBF题目 57（题 53 的逆命题 4）已知如图，①、AC=CE②、AC⊥CE⑤、AF=2EF③、CB=BE求证：④、CF⊥AB⑥、∠ABC=∠EBF题目 58（题 53 的逆命题 5）已知如图，③、CB=BE⑥、∠ABC=∠EBF②、AC⊥CE④、CF⊥AB求证：⑤、AF=2EF①、AC=CE题目 59（题 53 的逆命题 6）已知如图，①、AC=CE④、CF⊥AB③、CB=BE⑥、∠ABC=∠EBF求证：⑤、AF=2EF②、AC⊥CE题目 60（题 53 的逆命题 7）已知如图， ①、AC=CE②、AC⊥CE⑥、∠ABC=∠EBF④、CF⊥AB求证：⑤、AF=2EF③、CB=BE题目 61（题 53 的逆命题 8）已知如图，①、AC=CE②、AC⊥CE③、CB=BE⑥、∠ABC=∠EBF求证：⑤、AF=2EF④、CF⊥AB题目 62（题 53 的逆命题 9）已知如图，⑤、AF=2EF④、CF⊥AB③、CB=BE⑥、∠ABC=∠EBF求证：①、AC=CE②、AC⊥CE题目 63（题 53 的逆命题 10）已知如图，②、AC⊥CE⑤、AF=2EF④、CF⊥AB⑥、∠ABC=∠EBF求证：①、AC=CE③、CB=BE题目 64（题 53 的逆命题 11）已知如图，③、CB=BE ⑥、∠ABC=∠EBF②、AC⊥CE⑤、AF=2EF求证：①。