2004年电子科技大学高等数学竞赛试题和参考答案.doc

学院 班号 学号 姓名 ………密………封………线………以………内………答………题………无………效……电子科技大学2004年高等数学竞赛试题参考解答 （ 180 分钟） 考试日期 2004 年 9月 11 日一二三四五六七八九十总分评卷教师一、选择题（40分）1. 下列命题中正确的命题有几个？ ……………………………………………………………………………（ A ）（1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；（3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.(A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个. 2. 设 ， 则是间断点的函数是 ……………………………………（ B ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) ..3. 设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 …………………（ C ）(A) 1； (B) ； (C) ； (D) .4. 设连续，当时，与为等价无穷小，令，, 则当时，的 ……………………………………………… （ D ）(A) 高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷小.5. 设在点的某邻域内连续，且满足 则在点处 ………………………………………………………………………………… （ A ）(A) 取极大值； (B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值.6. 设在连续，且导函数的图形如图所示，则有…………………………… （ D ）(A) 1个极小值点与2个极大值点，无拐点；(B) 2个极小值点与1个极大值点，1个拐点； (C) 2个极小值点与2个极大值点, 无拐点；(D) 2个极小值点与2个极大值点，1个拐点.7. 设有连续的一阶导数，则 …… …………………………………… （ B ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) 0 .8. 设任意项级数 条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为, 将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为，则与 ………… …………………………………………（ B ） (A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散； (D) 以上三种情况都可能发生.9. 设 阶矩阵A的伴随矩阵 ，且非齐次线性方程组 有两个不同的解向量，则下列命题正确的是 ……………………………………………………………………………………………………（ D ）(A) 也是的解； (B) 的通鲜为 （）；(C) 满足的数必不为零； (D) 是的基础解系.10. 设则三个平面 两两相交成三条平行直线的充要条件是 …………………………………………………………………（ C ）(A) 秩; (B) 秩; (C) 中任意两个均线性无关，且不能由线性表出; (D) 线性相关，且不能由线性表出.二、(10分）设在区间连续，, 试解答下列问题：（1）用表示；（2）求；（3）求证：；（4）设在内的最大值和最小值分别是,求证：. 解（1）（2）（3）（4）三、（10分）求曲线 所围成的平面图形的面积.[解1]去掉绝对值曲线为：[解2]令..四、（10分）设曲面为曲线 () 绕轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分 [解1]S的方程为补两平面 ；[解2]五、（10分）设n阶矩阵 的前 个列向量线性相关, 后 个列向量线性无关, ; （1）证明线性方程组有无穷多解；（2）求方程组的通解.解（1）相关，相关；无关，的秩为，且可以由表出；又由已知可由表出，故与等价，从而的秩为，，增广矩阵的秩与A的秩相等，即，故有无穷多解.（2）相关，不全为0的数，使，即，又 的基础解系只含一个解向量的基础解系；又 的解，故的通解为x = C六、（10分）设 阶矩阵的4个不同特征值为, 其对应的特征向量依次为，记, 求证： 线性无关.[解1]，从而.无关，，，故的秩为4，故线性无关.[解2]设存在一组数使 （1）由题设，利用特征向量的性质可得 （2）将（2）式一并代入（1）式可有整理得因分属不同的特征值，故线性无关，从而有视为未知数，此为4个未知量，4个方程组成的齐次线性方程组，其系数行式为范德蒙德行列的转置. 因互异，所以. 这表明只有零解，即=0，从而线性无关.七、（10分）设幂级数 , 当时，且;（1）求幂级数的和函数；（2）求和函数的极值..解（1）令，，求得（2）由.八、（10分）设函数可微，, 且满足 求 . 解 ，对y积分得代入，，，九、（10分）如图所示，设河宽为，一条船从岸边一点出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点相对的一点。

假设在静水中船速为常数 ，河流中水的流速为常数 ，试求船过河所走的路线(曲线方程)；并讨论在什么条件下（1）船能到达对岸；（2）船能到达点.解 如图所示，设为船在要时刻的位置 此时两个分速度为，消去t得 ，又,代入得，则有讨论：①当②③5第 页 共 4 页。