第五届大学生数学竞赛河南复赛试题(非数学类).docx

    第五届大学生数学竞赛河南复赛试题(非数学类)    第五届全国大学生数学竞赛河南赛区复赛试卷（非数学类，2013）考试形式： 闭 卷 考试时间：150分钟 满分： 100分注意：1.所有答题内容必须写在试卷密封线右边，写在演草纸上无效； 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记； 3.如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.一、填空题（本题共5小题，每题5分，共计25分）1. 设()f x 连续，且(1)1f =，则()1121d lim1x x f xt t x →=-?；2. 设3232x y f x -??= ?+??，且2()arctan f x x '=，则0d d x y x ==；3. 函数(ln u x =在点(1,0,1)P 处沿曲面222231x y z ++=在(0,1,0)处切平面的法向量方向（指向y 轴正向）的方向导数为 ； 4. 已知方程1011x y y y x x'''+-=--的两个特解12e ,x y y x ==，则该方程满足初值(0)1,(0)2y y '==的解y =；5. 设(),z x y 满足1sin ,1(1,)sin .zy xxy z y y ??=-+??-??=?则(),z x y = .二、（10分）设函数(),()f x g x 满足()(),()2e ()x f x g x g x f x ''==-，且(0)0f =，(0)2g =，求π20()()d 1(1)g x f x x x x ??-??++???.三、（10分）在椭圆2214y x +=绕其长轴旋转所成的椭 球体上，沿其长轴方向穿心打一圆孔，使剩下部分的体积恰好等于椭球体积的一半，试求该圆孔的直径.四、（10分）设函数u f=，满足22222222221d d 1s t x y u u s t x y s t +≤+??+=??++??，且0lim ()0x f x +→'=.（1）试求函数()f x '的表达式；（2）若(0)0f =，求2()lim 0x f x x +→=.10分）设()f x 在[]0,1可导，且21120(1)2e ()d x f f x x -=?,求证：(0,1)ξ?∈，使()2()f f ξξξ'=.六、（10分）求幂级数20(1)(1)!n nn n x n ∞=-+∑的收敛域及和函数.七、（10分）设()f t 是恒为正值的连续函数，L 是正方向的圆周22()()1x a y a -+-=，证明不等式()d d 2π()LyI xf y y x f x =-≥? 成立.八、（15分）设有一高度为()h t（t为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程222()()()x yz h th t+=-（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130（厘米）的雪堆全部融化需多少小时？  -全文完-。