三角函数的最值.doc

第 1 页 共 8 页三角函数的最值三角函数的最值 知识要点梳理知识要点梳理1.1.正弦函数、余弦函数的值域正弦函数、余弦函数的值域：都是1,12.2.正弦函数、余弦函数的最值：正弦函数、余弦函数的最值：对，当时，取最大值 1；当sinyx22xkkZy时，取最小值－1；对，当时，取最大值 1，当322xkkZy2xkkZy时，取最小值－12xkkZy注意：正切函数 y=tanx 在 R 上的值域为 R，因此正切函数 y=tanx 在 R 上既没有最大值，也没 有最小值 3.求三角函数最值的常用方法有：求三角函数最值的常用方法有：（1）配方法；（2）化为一个角的三角函数形式，如 等，利用三角函数的有界性求解；（3）数形结合法；（4）换元法；（5）基sin()yAxk 本不等式法等. 疑难点、易错点剖析疑难点、易错点剖析 三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的角的范围，还要注 意正、余弦函数的有界性. 特别提醒特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，要深入挖掘正、余弦函数的有界性一、可转化为关于一、可转化为关于 x 的正弦或余弦的二次函数的三角函数的最值的正弦或余弦的二次函数的三角函数的最值例例 1 求函数的最值，并求取得最值时的值。

2cos3cos2xxyx 思路分析：思路分析：函数式中既含有角 x 的余弦的平方，又含有 x 的余弦的一次项，适宜用同角公式中的平 方关系将函数化为关于角 x 的余弦的二次函数在闭区间[-1，1]上的最值问题解：45)23(cos2cos3cos22xxxy，31cos1,1,12x  Q且-∴当时，即时，23cosx23xk min5 4y133xm ax当cos，即 x=2k 时，y变式：变式：求函数的最值，并求取得最值时的值2sin3cos2yxxx 思路分析：思路分析：函数式中既含有角 x 的正弦的平方，又含有 x 的余弦的项，适宜用同角公式中的平方关 系将函数化为关于角 x 的余弦的二次函数在闭区间[-1，1]上的最值问题2222sin3cos21 cos3cos2315cos3cos3(cos)24yxxxxxxx   ，31cos1,1,12x  Q且315 24xk m ax当si n，即 x=k +(-1)时，y3 123x m i n当si n，即 x=k 时，y锦囊妙计：当锦囊妙计：当函数式中既含有角 x 的正弦（余弦）的平方，又含有正弦或余弦的项，则适宜用同角 公式中的平方关系将函数化为关于角 x 的正弦或余弦的二次函数在某闭区间上的最值问题。

随堂练习：随堂练习：1、函数在区间上的最小值是2( )cossinf xxx[,]4 4 12 2第 2 页 共 8 页二、可化为一个角（可是复角）的一种三角函数的三角函数的最值二、可化为一个角（可是复角）的一种三角函数的三角函数的最值例例 2、、求函数的最值，并求取得最值时的值的集合.2sin3sin cos1yxxxx 思路分析：根据函数式的结构特点需逆用二倍角公式、辅助角公式，将函数化为一个角（可是 复角）的一种三角函数，而后求最值21 cos23sin2sin3sin cos1122 1(2)62xxyxxxsinx 当时，，当时，()3xkkZmax1 2y()6xkkZmin3 2y 锦囊妙计：锦囊妙计：当函数式的项中既含有角 x 的正弦（余弦）的平方，又含有正弦、余弦的积的形式，则 适宜逆用二倍角公式、辅助角公式将函数化为一个角（可是复角）的一种三角函数，而后求最值随堂练习：随堂练习：2.已知函数，.求:22( )sin2sin cos3cosf xxxxxxR(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；( )f xx(II) 函数的单调增区间.( )f x【解析】(I) 解法一: 1cos23(1cos2 )( )sin21sin2cos222sin(2)224xxf xxxxx 当,即时, 取得最大值.2242xk()8xkkZ( )f x22函数的取得最大值的自变量的集合为.( )f xx{ /,()}8x xR xkkZ解法二: 2222( )(sincos)2sin cos2cos2sin cos12cossin2cos22f xxxxxxxxxxx 22sin(2)4x当,即时, 取得最大值.2242xk()8xkkZ( )f x22函数的取得最大值的自变量的集合为.( )f xx{ /,()}8x xR xkkZ(II)解: 由题意得: ( )22sin(2)4f xx222()242kxkkZ即: 因此函数的单调增区间为.3()88kxkkZ( )f x3[,]()88kkkZ三、含有三、含有““sinxcosx””与与 ““ sinx+cosx””或或““sinx—cosx””的函数的最值的函数的最值考例考例 3、、求函数的最值.(sin)(cos)(02)yxaxaa 思路分析：思路分析：经展开后函数式含有“sinxcosx”与 “sinx+cosx”的函数，常令 sinx+cosx=t,将问题转化 为求关于 t 的二次函数在某闭区间上的最值。

(sin)(cos)(02)yxaxaa 2sin cos(sincos )xxaxxa第 3 页 共 8 页令则sincos,xxt21sin cos2txx，，sincos,2sin(),224xxttxt   Q2 221sin cos(sincos )(22)2tyxxaxxaatat 2 211()22ata，当02,aQ当x=-a时，2min1 2ay2 max1222xyaa 锦囊妙计：锦囊妙计：当函数式中含有“sinxcosx”与 “sinxcosx”的函数，常令 sinxcosx=t,将问题转化为 求关于 t 的二次函数在某闭区间上的最值 随堂练习：随堂练习：3.求的最值1ysinxcos xsinxcos x 答案：32 202maxminy,y四、与向量等其它知识综合的三角函数的最值四、与向量等其它知识综合的三角函数的最值例例 4、、已知向量，向量与向量的夹角为，且，1 , 1mnm431nm（1）求向量；n（2）若向量与向量的夹角为，向量，其中为n0, 1q22cos2,cos2CApCBA、、的内角，且依次成等差数列，求的取值范围。

ABCCBA、、pn 思路分析：思路分析：本题的特色是将向量与三角知识综合，体现了知识的交汇性，这是高考命题的一个创新， 也是高考命题的新趋势，关联三角形的三角解答题是高考命题又一个热点解答本题应先翻译向量 语言，脱去向量语言的外衣，这时问题（1）就转化为解方程组问题了，而问题（2）就化归为三角 形中的三角函数问题了解：（1）设，由，有 ①yxn,1nm1 yx向量与向量的夹角为，有，Qnm43143cosnmnm，则 ②1 n122 yx由①、②解得：    10 01 yx yx或1,00, 1nn或（2）由与垂直知，nq1,0 n由,320,32,3,2ACABCAB知第 4 页 共 8 页若，则，1,0 nCACApncos,cos12cos2,cos2 22cos1 22cos1coscos222CACApn＝，  32cos211234cos2cos211AAA，35 323,320AAQ21 32cos1 A      25,22,45,21,45 32cos211212 pnpnA即随堂练习：随堂练习：4.已知向量.baxfxxbxxa)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos2(令求函数 f(x)的最大值，最小正周期，并写出 f(x)在[0，]上的单调区间.2解：( )2 2cossin()tan()tan()2242424xxxxf xa br r21tantan122222 2cos(sincos)222221tan1tan222sincos2cos1222xx xxx xxxxx  xxcossin=.)4sin(2x所以，最小正周期为上单调递增，上单调递减.2)( 的最大值为xf,2]4, 0[)(在xf[,]4 2 五、已知含参三角函数的最值，求参数的值。

五、已知含参三角函数的最值，求参数的值例例 5.若函数的最大值为 2，试确定常数 a 的值.)2cos(2sin )2sin(42cos1)(xxa xxxf 第 5 页 共 8 页.15,.444111sin),sin(441sin2cos212cos2sincos4cos2)(:2222aaaxaxaxxxaxxxf解之得由已知有满足其中角解举一反三：已知函数 f(x)=2sinx(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于34A. B. C.2 D.3 32 23解：函数在区间上的最小值是，则 ωx 的取值范围是( )2sin(0)f xx,3 4 2， ∴ 或，∴ 的最小值等于，选 B34 32≤3 42≥3 2例例 6.求的最大值和最小值.2sin 2cosxyx 分析一 联想到直线的斜率公式，y 可看作点（2，2）与点（cosx，sinx）确定的直线的斜率， 而 sin2x+cos2x=1,因此点（cosx，sinx）是单位圆 x’2+y’2=1 上的任意一点，因此问题转化为求定 点（2，2）与单位圆 x’2+y’2=1 上的点所确定的直线的斜率的最大值与最小值。

解：y 可看作点（2，2）与点（cosx，sinx）确定的直线的斜率，而 sin2x+cos2x=1,因此点 （cosx，sinx）是单位圆 x’2+y’2=1 上的任意一点，因此问题转化为求定点（2，2）与单位圆 x’ 2+y’2=1 上的点所确定的直线的斜率的最大值与最小值即是过点（2，2）切与圆相切的直线的斜率设切线的方程为：y—2=k(x—x)即 kx—y+2—2k=0,则圆心（0，0）到切线的距离，解得 2221 1kk 47 3kmaxmin4747,33yy分析二 利用正弦函数的有界性来求解法二：由得2sin 2cosxyx2sincos22 ,1sin()22 ,xyxyyxy222222sin(),tan,1sin()1,11, 1147.33yyxyx yyy     Q其中4-7解得紧扣考纲大演练紧扣考纲大演练 一一 单项选择题单项选择题1、函数的值域为 （ ）|sin| 2sinyxxA、 。