高等数学多元函数微分重点难点.doc

1多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用一.基本要求(1)理解多元函数的概念2)了解二元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数的性质3)理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件及全微分在近似计算中的应用4)理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算法5)掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法6)会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数7)了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它的方程8)了解二元函数的二阶泰勒公式9)理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会用最小二乘法求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的实际问题2二.主要内容多元 函数 微分 学及 其应 用基本概念及其 联系重要结论微分法几何应用极值、最值 及其应用(1) 多元函数极限. (2) 连续. (3) 偏导数. (4) 全微分. (5) 方向导数. (6) 梯度. (7) 基本概念之间的联 系.见后面的七个重要 定理.(1) 多元复合函数偏导. (2) 隐函数求偏导. (3) 方向导数及梯度的计 算.(1) 曲线的切线与法平面 方程. (2) 曲线的切平面与法线 方程.(1) 极值存在的必要 条件. (2) 极值存在的充分 条件. (3) 条件极值、最值 最小二乘法.3重要概念重要概念 名 称定义说明极 限设函数在开区域(或闭区域)( , )f x y内有定义，是的内点D000(,)P xyD或边界点，若对于任意给定的正数 ，总存在正数，使得对适合不 等式2 02 00)()(0yyxxPP的一切点，都有DyxP),(成立，则称常数为( , )f x yAA函数当时的极( , )f x y00,xxyy限，记作0 0lim( , ) xx yyf x yA  类似可定义元函数.n 二元函数的极限，也叫二重极限注意：任意方式当以不同方式( , )P x y趋于，函数趋于不同值，则函000(,)P xy数极限不存在.可用语言用来证明 极限存在.连 续设函数在开区域(或闭区域)( , )f x y内有定义，是的内点D000(,)P xyD或边界点，且，若0PD，则称函数0 000lim( , )(,) xx yyf x yf xy  在连续( , )f x y000(,)P xy可用语言定义连续. 利用初等函数连续性求极限.偏 导 数如果极限存在，00000(,)(,)lim xf xx yf xy x  则称此极限为在点( , )zf x y处对的偏导数记作，00(,)xyx0 0x x y yz x  ，，0 0x x y yf x  ' 00(,)xzxy' 00(,)xfxy类似定义关于的偏导数( , )zf x yy00(,)yfxy00000(,)(,)lim yf xyyf xy y  求偏导数法则同一元函数求导法则.全 微如果在点的全增量( , )zf x y( , )x y若记，有,xdxydy  4分可表(,)( , )zf xx yyf x y 示为，其中( )zA xB yo   不依赖于，,A B, xy，则称22()()xy 在点可微，而( , )zf x y( , )x y称为在点A xB y ( , )zf x y的全微分，记作，即( , )x ydz.dzA xB y .dzAdxBdy在可微的前提下,有( , )( , )xydzfx y dxfx y dy方 向 导 数设在包含,( , )zf x y( , )P x y的邻域内有定义，'(,)P xx yy射线 :则在处l, xy 'PP( , )f x y处沿方向 的方向导数定义( , )P x yl为),(),(limyxfyyxxf lf其中.22()()xy 类似定义空间 方向上的方向导数为l f l0(,,)( , , )limf xx yy zzf x y z其中.222()()()xyz  多元函数某些概念之间关系的比较1. 一元函数在( )f x0xxˆ ˆ ˆ ˆ †‡ ˆ ˆ ˆ ˆ不成立ˆ ˆ ˆ ˆ †‡ ˆ ˆ ˆ ˆ不成立ƒ连续可导可微分极限存在52. 二元函数在点( , )f x y),(000yxPˆ ˆ ˆ ˆ †‡ ˆ ˆ ˆ ˆ不成立ˆ ˆ ˆ ˆ †‡ ˆ ˆ ˆ ˆ不成立ˆ ˆ ˆ ˆ †‡ ˆ ˆ ˆ ˆ不成立名称梯度极值定义设在点的某一邻域内具有连),(yxfz ),(yxP续一阶偏导数，则在点处的),(yxfz ),(yxP梯度定义：jyfixfyxgradfvv),(说明梯度是一个向量，梯度的方向与取 得最大方向导数的方向一致，梯度 的模为方向导数的最大值。

注：kzfjyfixfzyxgradfvvv),,(设函数在点的某个邻域内),(yxfz ),(00yx有定义，对于异于的点，如果都),(00yx),(yx适合不等式),(),(00yxfyxf)),(),((00yxfyxf则称函数在有极大(小)值),(00yx),(00yxf(1) 极值分为无条件极值和条件极 值 (2) 极大值与极小值统称为极值 (3) 使函数取得极值的点称为极值 点两个偏导数存在连续可微分两个偏导数连续沿任何方向的方向导数存在极限存在6 重要定理重要定理定理定理 1 在有界闭区域上的多元连续函数，在上一定有最大值和DD最小值.定理定理 2 在有界闭区域上的多元连续函数，如果在上取得两个不DD同的函数值，则它在上必取得介于两个值之间的任何值.D定理定理 3 如果的两个二阶混合偏导数及在区域内),(yxfz xyz 2yxz 2 D连续，那么在该区域内，必有=.xyz 2yxz 2定理定理 4 如果函数在点可微，则该函数在点的偏),(yxfz ),(yx),(yx导数必定存在，且函数在点的全微分为),(yxfz ),(yxdyyzdxxzdz定理定理 5 如果函数的偏导数，在点连续，则函数),(yxfz xz  yz ),(yx在该点可微.定理定理 6 设函数在点具有偏导数，且在点处有),(yxfz ),(00yx),(00yx极值，则它在该点的偏导数必为零，即，.0),(00'yxfx0),(00'yxfy定理定理 7 设函数在点的某邻域内连续且存在二阶连),(yxfz ),(00yx续偏导数，且，0),(00'yxfx0),(00'yxfy记7，，),(00yxfAxx),(00yxfBxy),(00yxfCyy2BACCBBA则(1)当时，在处具有极值，且当时，0),(yxf),(00yx0A是极大值，当时，是极小值；),(00yxf0A),(00yxf(2) 当时，不是极值；0),(00yxf(3) 当时，在处是否有极值不能确定.0),(yxf),(00yx 重要公式重要公式多元复合函数求导法则内容说明如果，在点),(yxuu ),(yxvv 处有偏导数，在),(yx),(vufz 点处有连续偏导数，则复),(vu合函数在点)],(),,([yxvyxufz 处有关于 或 的偏导数，),(yxxy且xv vz xu uz xz   yv vz yu uz yz   复合关系树形图xuyzxvy(1)公式个数与自变量个数相同;(2)每个公式项数与中间变量个数相同;(3)函数有几层复合，每项就是几个因子的乘积.8若，，),,(wvufz ),(yxuu ， ，则),(yxvv ),(yxww ，xw wz xv vz xu uz xz    yw wz yv vz yu uz yz    复合关系树形图：若，，则),,(yxufz ),(yxuu xf xu uf xz  yf yu uf yz  复合关系树形图：注：这里与含义不同xz  xf 若，，),,(wvufz )(tuu ，，则)(tvv )(tww dtdw wz dtdv vz dtdu uz dtdz 复合关系树形图：隐函数的求导公式由方程确定隐函数，且有连续的偏导数,( , )0F x y ( )yf x( , )F x y则, 0),(yxFy( , ) ( , )xyF x ydy dxF x y 由方程确定隐函数，且有连续的偏导数，( , , )0F x y z ( , )zf x y( , , )F x y z则，., 0),,(zyxFz( , , ) ( , , )xzF x y zz xF x y z ( , , )( , , )yzF x y zz yF x y z 方向导数的计算公式 内容说明(或)在可微点处( , )zf x y( , , )uf x y z沿任何方向 的方向导数都存在，且l可微是方向导数存在的充分条件，反 之uvwx zyzxyuzuvwt9coscosfff lxy(或)coscoscosffff lxyz其中为 与轴正向的夹角lx(为方向 的方向角),,  l不一定成立.空间曲面的切平面与法线方程曲面在点处的切平面与法线方程分别为0),,(zyxF),,(0000zyxM，0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx.),,(),,(),,(000000000000 zyxFzz zyxFyy zyxFxxzyx曲面在点的切平面与法线方程分别为),(yxfz ),,(0000zyxM，))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx.1),(),(0000000 zz yxfyy yxfxxyx空间曲线的切线与法平面方程曲线在点处切线与法平面方程分别为( ) ( ) ( )xt yt zt    0000(,,,)P xyz，000 ''' 000( )( )( )xxyyzz ttt.''' 000000( )( )( )0txxtyytzz曲线在点处的切线方向向量为( , , )0 ( , , )0F x y z G x y z 0M10. 000000(),(),()(),(),()xyzxyzF MF MF MG MGMG Ms多元函数极值的求法多元函数极值的求法无条件极值(1)求驻点：求的一切实数解.  0),(0),(yxfyxfyx(2)判定：由定理 7 判定所求驻点是否为极值点.(3)求极值：求出极值点相应的极值.条件极值说明11求在条件),(yxfz 下的极值. (1)作0),(yx辅助函数(拉格朗日函数)，其),(),(),(yxyxfyxL中 (称拉格朗日常数)是待定常数.(2)求可能极值点，解方程组)0,(0),(),(0),(),(yxyxyxfLyxyxfLyyyxxx消去 ，解出.yx,(3)判定上述点是否为极值点.用拉格朗日乘数法求条件极值，可推广到 元函数的情形.例如求n在约束条件，),,(zyxfu 0)。