江苏省高三数学 全真模拟卷卷13 试题.doc

江苏省2012届高三全真模拟卷数学卷13一.填空题（每题5分，共70分）1. 复数的虚部是 2．如,则实数的值等于 3. 若函数，则 4．等比数列中，表示前顶和，，则公比为 5．在集合中先后随机地取两个数，若把这两个数按照取的先后顺序组成一个二位数，则“个位数与十位数不相同”的概率是 . 6．设为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若；②若∥∥，则∥；③若；④若，其中所有正确命题的序号是 ．7．已知，则的最小值为 8．已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则给出如下四个判断：正确的有 ① ② ③ ④9．已知角A、B、C是的内角，分别是其对边长，向量，，，且则 10．直线通过点,则的取值范围为 11．已知，且在区间有最小值，无最大值，则__________．12. 在区间上满足不等式的解有且只有一个，则实数 13． 在△中，，H在BC边上，则过点B以A、H为两焦点的双曲线的离心率为 14. 已知数列满足：（为正整数），，若，则所有可能的取值为 二.解答题（请给出完整的推理和运算过程，否则不得分）15.（14分）设函数的最大值为，最小值为，其中．（1）求、的值（用表示）；（2）已知角的顶点与平面直角坐标系中的原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点．求的值． 16. （14分）在直角梯形PBCD中，，A为PD的中点，如下左图。

将沿AB折到的位置，使，点E在SD上，且，分别是线段的中点，如右图． （1）求证：平面ABCD； （2）求证：平面∥平面．17. （14分）如图，在一条笔直的高速公路的同旁有两个城镇，它们与的距离分别是与，在上的射影之间距离为，现计划修普通公路把这两个城镇与高速公路相连接，若普通公路造价为万元/；而每个与高速公路连接的立交出入口修建费用为万元．设计部门提交了以下三种修路方案：方案①：两城镇各修一条普通公路到高速公路，并各修一个立交出入口；方案②：两城镇各修一条普通公路到高速公路上某一点，并在点修一个公共立交出入口；方案③：从修一条普通公路到，再从修一条普通公路到高速公路，也只修一个立交出入口． 请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案．18. （16分）已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为． （1）（ⅰ）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的值； （ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围；（2）设直线与轴、轴分别交于点，问当点P在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论．19. （16分）对于数列，定义数列为的“差数列”. （I）若的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出的一个通项公式； （II）若的“差数列”的通项为，求数列的前n项和； （III）对于（II）中的数列，若数列满足且，求：①数列的通项公式；②当数列前n项的积最大时n的值．20. （16分）已知函数的图像在[a,b]上连续不断，定义：，，其中表示函数在D上的最小值，表示函数在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数为上的“k阶收缩函数”（1）若，试写出，的表达式；（2）已知函数试判断是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由；（3） 已知，函数是[0,b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围 附加题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21.（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．22．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段长度.23．某中学选派名同学参加青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．(Ⅰ)从“青志队”中任意选名学生，求这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率；(Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．活动次数参加人数24．用四个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同. 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是，……， 如图所示.记这含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的种数为.（1）试用数学归纳法证明：；（2）现从四个字母组成的含个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是的概率为，求证：.参考答案一.填空题（每题5分，共70分）1. 2．-1 3. 3 4．3 5． 6．①③ 7． 8．.④ 9．10．11． 12. 13． 14. 56和9 二.解答题（请给出完整的推理和运算过程，否则不得分）15. 解（１） 由题可得而．．．．．．３分所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．６分（２）角终边经过点，则．．．．．．．．．．１０分　　所以，．．．．．．．．１４分16. （14分）（1）证明：由题意可知，为正方形，所以在图中，， 四边形ABCD是边长为2的正方形， 因为，ABBC， 所以BC平面SAB， ………………………………3分 又平面SAB，所以BCSA，又SAAB， 所以SA平面ABCD，………………………………6分（2）证明：连接BD，设， 连接，正方形中，因为分别是线段的中点，所以， 且，……………………9分又，所以：，所以所以平面平面。

……………………………12分17. （14分）解：方案①：共修普通公路和两个立交出入口，所需资金为万元； 方案②：取关于的对称点，连与交于，在修一个出入口，则路程最短，共需资金：万元； 方案③：连接沿修路，在修一个出入口，共需资金：万元 由于，比较大小有，（12分）故选择方案（3）．18. （16分）解：（1）（ⅰ）∵ 圆过椭圆的焦点，圆： ，∴ ，∴ ， ，∴． （ⅱ）由及圆的性质，可得，∴∴∴，． （2）设0，则, 整理得 ∴方程为：，方程为：．从而直线AB的方程为：．令，得，令，得，∴，∴为定值，定值是.19. （16分）（1）解：如（答案不惟一，结果应为的形式，其中）（2）解：依题意所以从面是公比数为2的等比数列，所以（3）①解：由，两式相除得所以数列分别是公比为的等比数列由令所以数列的通项为②记数列前n项的积为Tn.令即所以当n是奇数时，从而当n是偶数时，从而注意到所以当数列前n项的积Tn最大时20. 解：（1）由题意可得：， （2），， 当时， 当时， 当时，综上所述，。

即存在，使得是[-1,4]上的“4阶收缩函数”3），令得或函数的变化情况如下： x02-0+0-04令得或i）当时，在上单调递增，因此，，因为是上的“二阶收缩函数”，所以，①对恒成立；②存在，使得成立①即：对恒成立，由解得或要使对恒成立，需且只需②即：存在，使得成立由解得或所以，只需综合①②可得i i）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，显然当时，不成立i i i）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，显然当时，不成立综合（i）（i i）（i i i）可得：附加题21．解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝可得， ＝6，即c＋d＝6； ………………………………………3分由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得 ＝，即3c－2d＝－2， …………………………………………6分解得即A＝， …………………………8分A逆矩阵是22．解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，即，它表示以为圆心，2为半径的圆，…………………………4分直线方程的普通方程为，………………………………6分圆C的圆心到直线l的距离，…………………………………………………8分故直线被曲线截得的线段长度为． …………………10分23、(Ⅰ)这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率为 …………………………………………4分 …………………………………………5分(Ⅱ)由题意知……………………………………6分……………………………………7分……………………………………8分　的分布列：012…………………………………………10分的数学期望: …………12分24．解（1）：证明：（ⅰ）当时，因为，，所以等式正确.（ⅱ）假设时，等式正确，即，那么，时，因为，这说明时等式仍正确.据（ⅰ），（ⅱ）可知，正确.（2）易知，①当为奇数（）时，，因为，所以，又，所以；②当为偶数（）时，，因为，所以，又，所以.综上所述，.。