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第四讲 函数的有关概念【函数的概念】：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．【定义域】：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。

)【构成函数的三要素】：定义域、对应关系和值域注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关 相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 (两点必须同时具备)【值域】(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础 函数图象】(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

2) 画法：A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换；Ⅰ、对称变换:（1）将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象；（2） y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称如；（3） y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称Ⅱ、平移变换: 由f(x)得到f(xa){左加右减}； 由f(x)得到f(x)a{上加下减}3)作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误区间】（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．【映射】定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记作“f：AB”；给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象注意：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

例如】abceabcefabcefgabcefabefg1、下列是映射的是（ ）(A)1、2、3 (B)1、2、5 (C)1、3、5 (D)1、2、3、52．设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是（ ）A、2 B、3 C、4 D、53．M={3，4，5}，N={－1，0，1},从M到N的映射f满足x＋f（x）是偶数,这样的映射有（ ）(A)3 (B) 4 (C)5 (D) 94.已知映射f:A→B，其中集合A={－9，－3，－1，1，3，9}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且对于任意x∈A，在B中和它对应的元素是log3|x|,则集合B为（ ）A.{1，2，3} B.{0，1，2} C.{－2，－1，0，1，2} D.{1，2}5.与函数表示相同函数的函数是（ ）A、 B、 C、 D 、 6．设f:A→B是集合A到B的映射，下列命题中真命题是：（ ）A．A中不同元素必有不同的象 B．B中每一个元素在A中必有原象C．A中每一个元素在B中必有象 D．B中每一个元素在A中的原象唯一【函数的表示法】：常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。

2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．注意：解析法：便于算出函数值列表法：便于查出函数值图象法：便于量出函数值【分段函数】在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．【例如】1．求函数的定义域、值域. 2．已知函数求. 3．求函数的最大值. 4．在同一平面直角坐标系中, 函数和的图象关于直线对称, 现将的图象沿轴向左平移2个单位, 再沿轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数的表达式为（ ） 【例】1.求下列函数的定义域：⑴ ⑵ 2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ 3.若函数的定义域为，则函数的定义域是 4.函数 ，若，则= 5.求下列函数的值域：⑴ ⑵ (3) (4)6.已知函数，求函数，的解析式7.已知函数满足，则= 。

练A】1、下列四个图像中，是函数图像的是（ ）1）（2）（3）（4）A．（1） B．（1）、（3）、（4） C．（1）、（2）、（3） D．（3）（4）2．下列图象中不能作为函数图象的是（ ）3、求下列函数的定义域：⑴ ⑵ ⑶ 4．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴， ； ⑵ ， ； ⑶， ； ⑷， ；⑸， A、⑴、⑵ B、 ⑵、⑶ C、 ⑷ D、 ⑶、⑸5．下列各组函数中表示同一函数的是 ( )（A）与 （B）与（C）与 （D）与6、已知函数的定义域为，的定义域为，则 A. B. 　C. D. 7．设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ _；函数的定义域为________； 8．知函数的定义域为，且函数的定义域存在，求实数的取值范围9、函数的图象与直线y = a 的交点个数 （ ）A. 至少有一个 　　B. 至多有两个 　　C. 必有两个 　　D. 有一个或两个10、若函数的定义域为，则函数的定义域是 ；函数的定义域为 。

11、若函数= 的定义域为,则实数的取值范围是 （ ） A、(－∞,+∞) B、(0, C、(,+∞) D、[0, 12、若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）(A)　　 (B) 　 　(C) 　 　(D) 13、函数的定义域是（ ）A、 B、 C、 D、14、函数的定义域是_____________ .15、已知函数的定义域是，则的定义域为 16、已知函数满足，求的解析式17．已知函数，求函数，的解析式18.已知是二次函数，且，求的解析式练B】一、选择题1、已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）A． B． C． D．2、函数的最大值是（ ）A． B． C． D．3、函数的值域为（ ）A． B． C． D．4、函数的定义域为（ ）A． B． C． D．5、函数的值域为（ ）A． B．C． D．6、下列函数表示同一函数的是（ ）A． B．C． D．7、函数的定义域是（ ）A． B． C． D．8、函数，满足，且对任意，均有则有（ ）A． B． C． D．二、填空题9、函数的值域是_______________________。

10、函数的值域是______________________11、若为一个正的常数，且，则的值为_______12、已知函数，则______________三、解答题13、已知的值14、求函数的值域15、已知函数，且方程有两个实数根，求函数的解析式16、对任何实数，函数满足：，试求的值。