第22练 椭圆一、选择题1.若椭圆C:x28+y24=1的右焦点为F,且椭圆与直线l:x-3y+2=0交于P,Q两点,则△PQF的周长为 ( ) A.62 B.82 C.6 D.8答案 B 设椭圆的左焦点为F′,则F′(-2,0),易知直线l过椭圆C的左焦点F′(-2,0),∴△PQF的周长为|PQ|+|PF|+|QF|=|PF′|+|PF|+|QF′|+|QF|=4a=82.2.(多选题)如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则下列式子正确的是 ( )A.a1+c1=a2+c2B.a1-c1=a2-c2C.a2c1>a1c2D.c1a1a2,c1>c2,∴a1+c1>a2+c2,故A不正确;∵|PF|=a1-c1,|PF|=a2-c2,∴a1-c1=a2-c2,故B正确;由a1-c1=a2-c2得(a1+c2)2=(a2+c1)2,即a12−c12+2a1c2=a22−c22+2a2c1,即b12+2a1c2=b22+2a2c1,∵b1>b2,∴a2c1>a1c2,∴c1a1>c2a2,故C正确,D不正确.3.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若在x轴上方的C上存在两个不同的点M,满足[∠F1MF2]max=2π3,则椭圆C的离心率的取值范围是 ( )A.0,32 B.12,1C.32,1 D.22,32答案 C 如图,当点M在y轴上时,∠F1MF2最大,若满足∠F1MF2=∠F1NF2=2π3,只需ca>sin π3=32,即e>32,又0n,则有m+n=2a=6,m2+n2=(2c)2=20, 解得m=4,n=2,所以kPF1=tan∠PF1F2=nm=12.5.已知两定点A(0,-2),B(0,2),点P在椭圆x212+y216=1上,且满足|AP|−|BP|=2,则AP·BP=( )A.-12 B.12 C.-9 D.9答案 D 设P(x,y).由|AP|−|BP|=2可得点P在以两定点A、B为焦点的双曲线的上支上,其中2a=2,c=2,∴b=3.∴点P(x,y)满足方程y2-x23=1(y≥1).由x212+y216=1,y2-x23=1解得x2=9,y2=4,∴AP·BP=(x,y+2)·(x,y-2)=x2+y2-4=9+4-4=9,故选D.6.(多选题)设椭圆C:x22+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的动点,则下列结论正确的是 ( )A.|PF1|+|PF2|=22B.离心率e=62C.△PF1F2面积的最大值为2D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-2=0相切答案 AD 由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=22,所以A正确.依题意,a=2,b=1,所以c=1,所以e=ca=12=22,所以B不正确.|F1F2|=2c=2,当P为椭圆短轴端点时,△PF1F2的面积取得最大值12·2c·b=c·b=1,所以C错误.以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为c=1,圆心到直线x+y-2=0的距离为22=1,即圆心到直线的距离等于半径,所以以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-2=0相切,所以D正确.故选AD.7.已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为 ( )A.x22+y2=1 B.x23+y22=1C.x24+y23=1 D.x25+y24=1答案 B 设|F2B|=x(x>0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|F2B|2+|F1F2|2-2|F2B|·|F1F2|·cos∠BF2F1,即9x2=x2+22-4xcos∠BF2F1①,在△AF1F2中,由余弦定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|·cos∠AF2F1,即4x2=4x2+22-8xcos∠AF2F1②,由①②得x=32(负值舍去),所以2a=4x=23,解得a=3,所以b2=a2-c2=2.故椭圆的方程为x23+y22=1.故选B.8.已知点P是椭圆x216+y28=1上非顶点的动点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的平分线上一点,且F1M·MP=0,则|OM|的取值范围是 ( )A.[0,3) B.(0,22)C.[22,3) D.(0,4]答案 B 如图,延长F1M交PF2的延长线于点G,连接OM,∵F1M·MP=0,∴F1M⊥MP.又MP为∠F1PF2的平分线,∴|PF1|=|PG|,且M为F1G的中点.∵O为F1F2的中点,∴|OM|=12|F2G|.∵|F2G|=||PG|−|PF2||=||PF1|−|PF2||,∴|OM|=12|2a−2|PF2||=|4−|PF2||,∵4-22<|PF2|<4+22,且|PF2|≠4,∴|OM|∈(0,22).二、填空题9.若椭圆C:x2m+y2m2-1=1的一个焦点的坐标为(0,1),则C的长轴长为 . 答案 23解析 因为椭圆C的一个焦点的坐标为(0,1),所以m2-1-m=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.又x2+y2m2-1=1表示的是椭圆,则m>0,所以m=2,则椭圆方程为y23+x22=1,所以a=3,即2a=23.10.已知A为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,它关于原点的对称点为B,点F为椭圆的右焦点,且以AB为直径的圆过点F,当∠ABF=π6时,该椭圆的离心率是 . 答案 3-1解析 由题意知,以AB为直径的圆过点F,点F为椭圆的右焦点,则∠AFB=90°,且AB=2c,∠ABF=π6,∴AF=c,BF=3c,记椭圆的左焦点为E,连接AE,BE,如图所示,由椭圆的对称性可得AE=BF,由椭圆的定义得AF+BF=AE+AF=2a,则c+3c=2a,即ca=21+3=3-1,∴e=3-1.11.已知椭圆E:x24+y23=1的一个顶点为H(2,0),对于x轴上的点P(t,0),椭圆E上存在点M,使得MP⊥MH,则实数t的取值范围是 . 答案 (-2,-1)解析 设M(x0,y0)(-2
