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第八章 杆件的应力和强度计算§8–1 应力的概念§8–2 轴向拉压杆的应力和强度计算§8–3 材料的力学性质§ 8–4 平面弯曲的应力和强度计算§8–5 组合变形构件的强度计算1§8–1 应力的概念应力是反映截面上各点处分布内力的集度， 一、应力的概念如图 B点处的应力为： 将应力分解为垂直于截面和相 切于截面的两个分量垂直于 截面的应力分量称为正应力， 用 σ 表示，与截面相切的应 力分量称为剪应力，用τ 表 示 2应力的符号规定：正应力以拉为正，压为负当剪应力使 隔离体有绕隔离体内一点顺时针转动趋势时，该剪应力为 正；反之为负 量纲：力/长度2＝N/m2 ＝ Pa 通常用 MPa＝N/mm2 ＝ 10 6 Pa 有些材料 GPa＝ kN/mm2 ＝ 10 9 Pa 工程上用 kg/cm2 ＝ 0.1 MPa3§8–2轴向拉压杆 应力和强度计算一、横截面上的应力求应力，先要找到应力在横截面上的分布情况 应力是内力的集度，而内力与变形有关，所以可以由观察杆 件变形来确定应力在截面上的分布规律。

平面假设： 变形前为平面的横截面 ，变形后仍保持为平面 ，且垂直于杆轴线设想杆件由无数根平行于轴线的纵 向纤维组成观察到如下现象： 1）横向线缩短，但仍保持 为直线，且仍互相平行并垂 直于杆轴线 2）纵向线仍保持与杆轴线 平行 4平面假设各纤维伸长相同各点内力相等应力在横截面 上均匀分布作用在杆横截面上的内力为：正应力的计算公式为： 正应力的正负号与轴力FN相同，拉为正，压为负式中：FN ----轴力；A---杆件的横截面面积5例 图所示为一民用建筑砖柱，上段截面尺寸为240240mm ，承 受荷载FP1＝50kN；下段370370mm，承受荷载FP2＝100kN 试求各段轴力和应力 解：1)求轴力2)求应力6二、强度计算强度条件：式中： ---- 称为最大工作应力------ 称为材料的许用应力-----杆件横截面上的轴力； A――杆件的危险截面的横截面面积；对等直杆来讲，轴力最大的截面就是危险截面；对轴力不变 而截面变化的杆，则截面面积最小的截面是危险截面 7若拉压杆材料的容许拉应力[σ1]和容许压应力[σy]的大小不相 等，则杆件必须同时满足下列两个强度条件：根据上述强度条件，可以进行三种类型的强度计算：1)强度校核在已知荷载、杆件截面尺寸和材料的容许应力的情况 下，验算杆件是否满足强度要求。

若σ≤[σ] ，则杆件满足强度要求；否则说明杆件的强度不够82）截面选择 在已知荷载、材料的容许应力的情况下，由来确定杆件的最小横截面面积3）确定容许荷载在已知杆件的截面面积和材料容许应力的情况下，由来求出杆件的最大荷载值9例：一直径d=14mm的圆杆，许用应力[σ]=170MPa，受轴 向拉力FP=2.5kN作用，试校核此杆是否满足强度条件解：满足强度条件10例 钢木组合屋架的尺寸及计算简图如图所示，已知钢的容许应 力[σ] = 120MPa F = 16kN , 试选择钢拉杆DI的直径解：1）首先应求出钢拉杆的轴力，采用截面法 将桁架沿m-m截面截开，画出截面 以左部分受力图，见图b），列出 左边部分的平衡条件，即： ∑mA(F)=0 2）计算钢拉杆DI的直径 所以选D=10mm 11§8-3 材料的力学性质为了解决构件的强度和变形问题，必须了解材料的一些力学 性质，而这些力学性质都要通过材料实验来测定工程材料 的种类虽然很多，但依据其破坏时产生变形的情况可以分为脆性材料和塑性材料两大类脆性材料在拉断时的塑性变形 很小，如铸铁、混凝土和石料等，而塑性材料在拉断时能产 生较大的变形，如低碳钢等。

这两类材料的力学性质具有明 显不同的特点，通常以低碳钢和铸铁作为代表进行讨论 试验条件及试验仪器：1、试验条件：常温(20℃)；静载（及其缓慢地加载）；标准试件2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）1213一、拉伸时材料的力学性质1．应力-应变曲线 讨论低碳钢（Q235钢）试件的拉伸图如图a) 为了消除试件的横截面尺寸和长度的影响，将拉伸图改为 σ- ε 曲线，下面根据σ- ε 曲线来介绍低碳钢拉伸时的力学性质低碳钢拉伸试件从加载开始到最后破坏的整个过程 ，大致可以分为四个阶段： 1）弹性阶段（ Ob段） b点所对应的应力称为材料的弹性极限（ ）a点所对应的应力叫做比例 极限（ ） 142）屈服阶段（cd段） 当应力超过弹性极限之后，应变增加很快，而应力保持 在一个微小的范围内波动，这种现象称为材料的屈服，在 曲线上表现为一段近于水平的线段 c点所对应的应力称为屈服极限（或流动极限），用σs 来表示 3）强化阶段（de段） 材料经过屈服阶段后，其内部的组织结构有了调整，使其 又增加了抵抗变形的能力，在曲线上表现为应力随着应变的 增加，这种现象称为材料的硬化。

最高点e所对应的应力称 为材料的强度极限，用σb来表示 4）颈缩阶段（ef段） 应力超过σb 之后，试件开始出现非均匀变形，可以看到 在试件的某一截面开始明显的局部收缩，即形成颈缩现象 （如图）曲线开始下降，最后至f点，试件被拉断 15颈缩现象2.材料的延伸率和截面收缩率延伸率 % 截面收缩率 % 工程上常把δ≥5%的材料称为塑性材料 而把δ<5%的材料称为脆性材料 δ和ψ是衡量材料塑性性能的两个主 要指标，δ和ψ值越大，说明材料的 塑性越好 163．弹性模量和泊松比弹性材料在受力和变形过程中，其应力和应变成正比关系， 这就是虎克定律 弹性模量：应力和应变的比值，叫做弹性模量，用E来表示 泊松比：横向线应变与纵向线应变的比值称为泊松比，用 来表示 4．冷作硬化若使材料应力超过屈服阶段并在进入强化阶段后卸载，则当 再度加载时，材料的比例极限和屈服极限都将有所提高，同 时，其塑性变形能力却有所降低，这种现象称为材料的冷作 硬化工程中常用冷作硬化的方法来提高钢筋和钢丝的屈服 强度，并把它们称为冷拉钢筋和冷拔钢丝 17二、压缩时材料的力学性质---铸铁压缩强度极限；（4 — 6）18§8-4 平面弯曲梁的应力与强度计算梁在垂直于杆轴线的外荷载作用下，在横截面上一般要产生两种内力：弯矩和剪力，从而，在横截面上将存在两种应力：正应 力和剪应力。

一、梁的正应力与强度计算为了使研究问题简单，下面以矩形截面梁为例，先研究纯弯梁 横截面上的正应力 纯弯梁：是指受力弯曲后，横截面 上只有弯矩而没有剪力的梁，如图 所示AB梁的CD段 191.梁的弯曲变形现象及应力计算假设观察到以下变形现象: 1）变形前互相平行的纵 向线在变形后都变成了弧 线且靠上部的纵向线缩短了，靠下部的纵向线伸长 了2）变形前垂直于纵向线的 横向线 ，变形后仍为直线 ，且它们相对转动了一个 角度后仍与弯曲了的纵向 线正交20根据上述现象，作如下假设：梁变形前的截面在变形后仍为一平面，只是绕截面内的某一 轴旋转了一个角度，并且依然与弯曲后的杆件轴线垂直梁在纯弯曲时的平面假设：单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压于是各纵向纤维均处于单 向受拉或受压的状态梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短 ,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层 中性层与横截面的交线称为中性轴见下图）推论：21中性轴将横截面分为受 压和受拉两个区域 2.梁的正应力计算公式 式中 M－截面的弯矩；Iz－截面对中性轴的惯性矩；y－欲求应力的点到中性轴的距离。

正应力与M和y成正比，与 Iz成反比正应力沿截面高度呈直线分布，如图所示，距 中性轴愈远就愈大，在中性轴上正应力等于 零221)对于梁的某一横截面来说，最大正应力发生在距中性轴 最远的地方，其值为：2)对于等截面梁，最大正应力发生在弯矩最大的截面上，其 值为：Wz－－抗弯截面系数， Wz与梁的截面形状有关，Wz愈大，梁中的正应力愈小 矩形截面: 圆形截面： 233.强度条件1）当梁材料的抗拉和抗压的能力相同时，其正应力强度条件： 2）当梁材料的抗拉抗压能力不同时，应分别对拉应力和压 应力建立强度条件： 24根据强度条件，可解决下列工程中常见的三类问题：①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度；②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸；③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷25例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比FP1／FP2＝？26解：27例 外伸梁受力作用及其截面如图所示已知材料的容许拉应力 [σL]=30MPa ，容许压应力[σy]=70MPa ,试校核梁的正应力强度 解 1) 画弯矩图B截面有最大负弯 矩，C截面有最大正 弯矩。

2) 确定中性轴位置及 计算截面对中性轴的 惯性矩 283）强度校核 B截面强度校核：该截面弯矩为负值，最大拉应力发生在截 面的上边缘；最大压应力发生在截面的下边缘29C截面强度校核：该截面的弯矩为正值，最大压应力发生在截面 的上边缘；最大拉应力发生在截面的下边缘所以梁的强度不够C截面的弯矩绝对值虽不是最大，但因截面受拉边缘距中性轴较远，而求得的最大拉应力较B截面大所以当截面不对称于中性轴时，对梁的最大正弯矩与最大负弯矩截面都要进行强度校核，确保梁的强度足够30二、矩形截面梁的剪应力计算及剪应力强度条件 1．矩形截面梁的剪应力计算公式假设： 1）截面上各点剪应力的方向都平行于截面上剪力的方向 2）剪应力沿截面宽度均匀分布，即距中性轴等距离各点处的剪应力相等梁上任一截面中cc线上的 剪应力计算公式为： 31式中 ： FQ――为截面的剪力；Sz―― 为面积A* 对中性轴的面积矩；A*――是过欲求应力点的水平线与截面边缘间的面 积；b――为截面的宽度；Iz ――为截面对中性轴的惯性矩剪力和面积矩均为代数量，在计算剪应力时，可用绝对值代 入，剪应力的方向可由剪力的方向来确定，即τ与FQ方向一致。

进一步的分析表明，矩形截面梁中的剪应力沿截面高度按二次抛 物线规律分布，在截面上下边缘处，剪应力为零，在中性轴处， 剪应力最大，为截面平均剪应力的1.5倍 322．梁的剪应力强度条件在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力和剪应力强度条件，但在一般情况下，梁的强度计算大多是由正应力强度 条件控制的因此，在选择截面时，一般都是先按正应力强 度条件来计算，然后再用剪应力强度条件进行校核矩形截面的最大剪应力圆截面的最大剪应力对于工字形和T形截面，剪应力主要集中在腹板上，翼缘处的剪 应力很小，最大剪应力也发生在中性轴上 33例：圆形截面梁受力如图所示已知材料的许用应力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，试求最小直径dmin解：1)求内力2）由正应力强度条件 ：3）由剪应力强度条件：34§8-5 组合变形构件的强度计算在实际工程结构中，杆件的受力情况是比较复杂的，往往不是发生单一的基本变形，而是同时发生两种或两种以上的 基本变形，这类变形称为组合变形 本节将介绍组合变形 下杆件的应力 和强度的计算 方法，主要介 绍偏心弯曲和 斜弯曲情形 偏心弯曲 斜弯曲 35一、斜弯曲 1.正应力的计算梁发生斜弯曲时，梁上将同时存在有正应力和剪应力。

由于剪应力一般都很小通常多不考虑下面介绍梁斜弯曲 时正应力的计算方法 如图所示为一斜弯曲梁，在FP作用 下，k点处的正应力为： 应力的正负号可采用直观法来断 定首先根据FPy 和FPz 单独作 用下判断出σ' 和σ'' 的正负号， 然后就可判断出σ的正负号 362.正应力强度条件若材料的抗拉抗压强度相等，梁斜弯曲。