15年高考真题——理科数学(广东卷).doc

2015 年高考真题理科数学（解析版） 广东 卷1 / 62015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科） 一．选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的1．设集合，，则|410Mxxx|410Nxxx（ ） （A） （B） （C） （D）MN I1, 4  0 1,42．若复数(i是虚数单位)，则（ ）32ziiz （A）32i （B）32i （C）23i （D）23i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）（A）xexy （B）xxy1 （C）xxy212  （D）21xy4．袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球。

从袋中任 取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为（ ）（A）1 （B）2111（C）2110（D）2155．平行于直线012 yx且与圆522 yx相切的直线的方程是（ ）（A）052 yx或052 yx （B）052 yx或052 yx（C）052 yx或052 yx （D）052 yx或052 yx6．若变量满足约束条件 2031854yxyx，则yxz23 的最小值为（ ） , x y（A） （B）6 （C） （D）431 523 57．已知双曲线C：12222 by ax的离心率5 4e ，且其右焦点25,0F，则双曲线C的方程为（ ） （A）13422 yx（B）191622 yx（C）116922 yx（D）2015 年高考真题理科数学（解析版） 广东 卷2 / 614322 yx8．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ） （A）大于 5 （B）等于 5 （C）至多等于 4 （D）至多等于 3 二．填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分。

（一）必做题（9～13 题）9．在的展开式中，x的系数为 41x 10．在等差数列 na中，若2576543aaaaa，则82aa = 11．在ABC中，角CBA,,所对应的边分别为cba,,，若3a ，，，则b  1sin2B 6C12．某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共 写了 条毕业留言（用数字作答） 13．随机变量服从二项分布，若，，则p  X,B n p 30E X  20D X  （二）选做题（14～15 题，考生只能从中选做一题）14． （坐标系与参数方程选做题）已知直线l的极坐标方程为，2 sin24点A的极坐标为，则A到直线l的距离为________72 2,4A15． （几何证明选讲选做题）如图 1，已知AB是圆O的直径，4AB ，EC是圆 O的切线，切点为C，1BC ，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和 点P，则OD _____ 三．解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答需写出文字说明。

证明过程和演算步骤16． （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，已知向量，xOy22,22mu rsin ,cosnxxr ，⑴若mnu rr ，求的值；⑵若mu r 与nr 的夹角为，求0,2xtan x3x的值17． （本小题满分 13 分）某工厂 36 名工人的年龄数据如下表图 1PO ECDAB2015 年高考真题理科数学（解析版） 广东 卷3 / 6工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639⑴用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据；⑵计算⑴中样本的平均值和方差2s；⑶36 名工x人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到％）？xsxs0.0118． （本小题满分 13 分）如图 2，三角形所在的平面与长方形所在的平PDCABCD面垂直，，，。

点E是CD边的中点，点分别段4PDPC6AB 3BC ,F G上，且，⑴证明：；⑵求二面角,AB BC2AFFB2CGGBPEFG的正切值；⑶求直线与直线所成角的余弦值PADCPAFG19． （本小题满分 14 分）设1a ，函数⑴求的单调区 21xf xxea f x间；⑵证明：在, 上仅有一个零点；⑶若曲线在点P处的切线与 f x yf xx轴平行，且在点处的切线与直线OP平行（O是坐标原点） ，证明：,M m n123eam20． （本小题满分 14 分）已知过原点的动直线l与圆相交于不22 1:650Cxyx同的两点⑴求圆1C的圆心坐标；⑵求线段AB的中点M的轨迹C的方程；⑶是否,A B图 2ADCBHFGE2015 年高考真题理科数学（解析版） 广东 卷4 / 6存在实数k，使得直线与曲线C只有一个交点：若存在，求出k的取值范:4L yk x围；若不存在，说明理由21． （本小题满分 14 分）数列 na满足。

⑴求3a的值；1212242nnnaanaL⑵求数列 na前n项和nT；⑶令11ba，11111223n nnTbannn，证明：数列 nb的前n项和满足nSnln22nS2015 年普通高校招生全国统考数学试卷广东卷解答一． ADABD CBC二．9．6；10．10；11．1；12．1560；13．；14．；15．81 35 2 216．解：⑴由题，因，故220sincossin224m nxxxu r r0,2x，从而，即所以；,44 4x  04x4xtantan14x⑵由⑴知，故又cossin34|| ||m nxmnu r r u rr1sin42x，故，得44 4x  46x5 12x17．解：⑴由题可知所抽样本编号是一个首项为 2，公差为 4 的等差数列，故其所有 样本编号依次为，对应样本的年龄数据依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34；44,40,36,43,36,37,44,43,37⑵由⑴可得其样本的均值为，方444036433637444337409x差为；  2222222222110040434343399s    ⑶由⑵知，故，。

因此年龄在与之间共有10 3s 2363xs1433xsxsxs23 人，所占百分比为％2363.893618．解：⑴因PDPC且E为CD的中点，故PEDC又平面PDC 平面 ABCD，且平面PDC I平面ABCDCD，PE 平面PDC，故PE 平面ABCD又 FG 平面ABCD，故PEFG；2015 年高考真题理科数学（解析版） 广东 卷5 / 6⑵因ABCD是矩形，故ADDC又平面PDC 平面ABCD，且平面PDC I平 面ABCDCD，AD 平面ABCD，故AD 平面PCD 又CD、PD 平面PDC，故 ADDC，ADPD，因 此PDC即为二面角PADC的平面角在Rt PDE中，4PD ，132DEAB，227PEPDDE，故7tan3PEPDCDE，即二面角PADC的正切值为7 3；⑶连AC，因2AFFB，2CGGB，故2AFCG FBGB，从而/ /ACFG，所以PAC为直线PA与直线FG所成角或其补角。

在PAC中，225PAPDAD，223 5ACADCD，故22222253 549 5cos2252 5 3 5PAACPCPACPA AC 因此直线PA与直线FG所成角的余弦值为9 5 2519．解：⑴依题  222'1'1'10xxxfxxexexe，故 f x在 , 上是单调递增函数；⑵因，故且，知1a  010fa  22110af aaeaaa   f x在有零点又由⑴知 f x在, 单调递增，故 f x在, 仅有一0,a个零点；⑶令得，因，故，知 0fx1x   210fae21,Pae2OPkae又，故令，则  21mfmme221mmeae 1mg mem由得，由得，故函数在 1mgme 0gm0m  0gm0m  g m单调递减，在单调递增，从而，即恒成立,00,  min00gmg 0g m 因此，所以，解得，得证。

1mem321ame321mae20．解：⑴由22650xyx得2234xy，故圆1C的圆心坐标为3,0；⑵设,M x y，则因点M为弦AB中点，故1C MAB，知 11C MABkk ，即13yy xx 因此线段AB的中点M的轨迹的方程为2 239 5324 3xyx；⑶由⑵知M的轨迹是以3,02C为圆心，为半径的部分圆弧EF（如右上图，不包3 2yxDFECO2015 年高考真题理科数学（解析版） 广东 卷6 / 6括两端点） ，且5 2 5,33E ，52 5,33F又直线L：4yk x过定点4,0D，当L与圆C相切时，有 2234023 21kk 得3 4k  ，又2 5032 5 5743DEDFkk     ，结合上图知3 32。