奥数规律变化 (2) - 副本.doc

小学数学奥数基础教程(四年级)本教程共 30 讲加法原理（一）例 1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船一天中火车有 4 班，汽车有 3 班，轮船有 2 班问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？分析与解：一天中乘坐火车有 4 种走法，乘坐汽车有 3 种走法，乘坐轮船有 2 种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法例 2 旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？分析与解：根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类第一类是只挂一面信号旗，有红、黄、蓝 3 种；第二类是挂两面信号旗，有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄 6 种所以一共可以表示出不同的信号3＋6=9 （种）以上两例利用的数学思想就是加法原理加法原理：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 m1种不同方法，在第二类方法中有 m2种不同方法 ……在第 n 类方法中有 mn种不同方法，那么完成这件任务共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一定要注意它们的区别。

乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积；加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和例 3 两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？分析与解：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者两数都是偶数　　因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有 3×3=9（种）情况；同理，两数都是偶数的也有 9 种情况根据加法原理，两次出现的数字之和为偶数的情况有 9＋9＝18（种）例 4 用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色问：共有多少种不同的染色方法？分析与解：本题与上一讲的例 4 表面上十分相似，但解法上却不相同因为上一讲例 4 中，区域 A 与其它区域都相邻，所以区域 A 与其它区域的颜色都不相同本例中没有一个区域与其它所有区域都相邻，如果从区域 A 开始讨论，那么就要分区域 A 与区域 E 的颜色相同与不同两种情况当区域 A 与区域 E 颜色相同时，A 有 5 种颜色可选；B 有 4 种颜色可选；C 有 3 种颜色可选；D 也有 3 种颜色可选。

根据乘法原理，此时不同的染色方法有5×4×3×3＝180（种）当区域 A 与区域 E 颜色不同时，A 有 5 种颜色可选；E 有 4 种颜色可选；B 有 3 种颜色可选；C 有 2 种颜色可选；D 有 2 种颜色可选根据乘法原理，此时不同的染色方法有5×4×3×2×2＝240（种）再根据加法原理，不同的染色方法共有180＋240=420 （种）例 5 用 1，2，3，4 这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是 1 的五位数有多少个？分析与解：将至少有连续三位数是 1 的五位数分成三类：连续五位是1、恰有连续四位是 1、恰有连续三位是 1连续五位是 1，只有 11111 一种；　　中任一个，所以有 3＋3＝6（种）；3×4＋4×3＋3×3＝33（种）由加法原理，这样的五位数共有1＋6＋33＝40（种）在例 5 中，我们先将这种五位数分为三类，以后在某些类中又分了若干种情况，其中使用的都是加法原理例 6 右图中每个小方格的边长都是 1一只小虫从直线 AB 上的 O 点出发，沿着横线与竖线爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到 AB上（不一定回到 O 点）如果小虫爬行的总长是 3，那么小虫有多少条不同的爬行路线？分析与解：如果小虫爬行的总长是 2，那么小虫从 AB 上出发，回到 AB上，其不同路线有 6 条（见左下图）；小虫从与 AB 相邻的直线上出发，回到 AB 上，其不同路线有 4 条（见右下图）。

实际上，小虫爬行的总长是 3小虫爬行的第一步有四种情况：　　向左，此时小虫还在 AB 上，由上面的分析，后两步有 6 条路线；同理，向右也有 6 条路线；向上，此时小虫在与 AB 相邻的直线上，由上面的分析，后两步有4 条路线；同理，向下也有 4 条路线根据加法原理，共有不同的爬行路线6＋6＋4＋4＝20（条）练习 201.南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船如果每天有20 班火车、6 班飞机、8 班汽车和 4 班轮船，那么共有多少种不同的走法？2.光明小学四、五、六年级共订 300 份报纸，每个年级至少订 99 份报纸问：共有多少种不同的订法？3.将 10 颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法？4.在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？5.用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色问：共有多少种不同的染色方法？6.用 1，2，3 这三种数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续两位是 2 的有多少个？7.下图中每个小方格的边长都是 1有一只小虫从 O 点出发，沿图中格线爬行，如果它爬行的总长度是 3，那么它最终停在直线 AB 上的不同爬行路线有多少条？答案与提示练习1.38 种。

2.10 种提示：没有年级订 99 份时，只有三个年级各订 100 份一种订法；只有一个年级订 99 份时，另外两个年级分别订 100 份和 101 份，有 6 种订法；有两个年级订 99 份时，另外一个年级订 102 份，有 3 种订法3.8 种4.45 个提示：两个数码都是奇数的有 5×5（个），两个数码都是偶数的有 4×5（个）5.420 种解：如右图所示，按 A，B，C，D，E 顺序染色若 B，D 颜色相同，则有5×4×3×1×3=180（种）；若 B，D 颜色不同，则有5×4×3×2×2=240（种）共有不同的染色方法 180+240=420（种）6.21 个提示：与例 5 类似，连续四位都是 2 的只有 1 种，恰有连续三位是2 的有 4 种，恰有连续两位是 2 的有 16 种7.10 条提示：第一步向下有 5 条，第一步向上有 1 条，第一步向左或向右各有 2 条。