第六讲微分中值定理及导数的应用.doc
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第六讲微分中值定理及导数的应用微分中值定理及导数应用的基本概念6.1一、微分中值定理1・罗尔定理 (1 )罗尔定理：函数/满足：①在［d,b］上连续；②在⑺")上可导；③f(a) = f(h),则,使得f@) = 0注：①定理的条件是充分而非必要的.② 儿何意义：在定理的条件下，在曲线上必存在一点，使过该点的切线平行于兀轴.例6.1设函数/具有n阶导数，若/(%) = 0有n+1个相异的实根，则方程/W(x) = 0 至少有一个实根.证明：不妨设/(x) = 0的n十1个相异的实根为：西 <兀2 <•••<£+】…在每一个区间 ［无,和］上，/满足罗尔定理条件，(形，兀•+) 使得f(£) = 0(心1,2,…力)，即 /(x) = 0至少有n个不同的实根v...v£.在每个区间国，黑］上，f⑴满足 罗尔定理条件，话2丘(皐黠)，使得/”(62)= 0(心1,2,…m —1),即f '\x) = 0至少有两 个不同的实根：金<空 <・・.<£_•类推下去，/(心)(兀)=0至少有两个不同的实根： f .在区间氐心,£异］上，/(-0(X)满足罗尔定理，北W (f T , )使得fM(^) = o ,即方程/(”)(x) = 0至少有一个实根.(2 )罗尔定理的推广：若/&)在有限开区间@,b)内可导，且f{ci + 0),f(b-0)存在且相等，则北 wG，b),使 fG)=o。
证明：记 /•(d + 0)= /©_0)= A,令 F(* 则 F 在k"］上满足罗尔\A.x = a,b定理条件，可w(d,b)，使得 壮)—02・拉格朗日中值定理函数/满足：(1 )在［o,b］上连续；(2 )在(Q,b)上可导，则使得/(力件血b-a注：①定理的条件是充分而非必要的.② 儿何意义：在定理的条件下，在曲线上必存在一点，使过该点的切线平行于连接(aj•⑷)，0,/⑹)两点的弦.③ 它是罗尔定理的推广，当/(«)=于⑹时，即为罗尔定理.④ 其他表达形式：f(b) -y(a)=f (g)(b-a)/⑹ - /(a) = f (a + 0(b 一 a^b-a^<0<\)例6.2证明：若%>0,贝I」(2)四张)斗舰恥)专证明：令/&) = (兀> 0),在区间［兀,兀+ 1］上，由拉格朗日中值定理，有/(兀+1)-/(兀)= /(*+&)显然0是兀的函数，记为0(0,且0<&(兀)<1,即yj X + 1 - y/~X =12 Jx + &(兀)解出如冷+坯奔而x S』x(x + 1) < — 故一< &(兀) < —,于是有lim&(兀)=limx->0 ' 7 x->01 Jx(x + l)-x4lim 0{x) =X->4OOlimA->4CO3・柯西中值定理函数/；g满足：(1)在［。
"］上连续；(2 )在(//?)上可导；(3) g (兀)工0,兀点仏5),g(b)-g(a) g (勺注：①定理的条件是充分而非必要的.②几何意义：在定理的条件下，用参数方程｛::黑XG ［⑦/?］表示的曲线上必存在一点，使过该点的切线平行于连接(g(a),f(a)),(g(b),f(b))的弦.③ 它是拉格朗日定理的推广，当g&) =兀时，就是拉格朗日定理.④ 若条件 ③ 改为f(x)H()，则只需将结论分子、分母互调即可.例6.3设函数f在［⑦切上连续，在@,方)内可导，a・b>0 .证明,使a-b分析：要证结论右边是函数-曲的导数的分子，左边是学-血的基本形式，要消x h a除多余的部分，只需令&(兀)=丄即可，注意到G・b〉O,即原点不在区I'可仏切内.可用 柯西中值定理证明：令：F(x)二虫怎⑴=丄，则因a・b>0,即原点不在区间(q“)内，故F,g在X X肚切上连续，在(G,b)内可导，且g (x) = —V
的取值与h有关，即o = e{h).② 要证明结论，需写出& = &（〃）的表达式.证明：由已知f（a + A）= /（a）+/'（a> + ...+ /叫hn + 严血）力曲,0 < 0 < 1 nl \n +1/严 Q(d)因为f在a点带皮亚诺型余项的泰勒公式为/(a + A)=/(a)+/'(a> + ...+h" + 严晋評 hn+1将上两式相减并化简得严）（° + 创）-严）（d） =严）（a）斤+ 2h + o{h)运用拉格朗日中值定理，有f（n+]\a +弘）一/（e）（g） = /佃2）@ + 砂闵,o<2<1.代人（*）并同吋消去h得（** ）严2)@ + 砌” =•八""(d) +])n + 2由已知严2）（兀）在幺点连续,iim/（rt+2）（6z + ^）= f（n+2｝（a）,注意到严切工对式（和）关令/ztO取极限得=d n + 2二、导数的应用1・利用导数判定函数的单调性及证明不等式定理：若函数f在区间I上可导，贝9 f在I单调增（减）of （x）no（so）.例6・5试比较T与沪的大小.证明：令/（x）=丄In兀（尤〉0）, / （兀）=-―竺 贝I」（1）当0 <兀<£时，f（x）>0 ,f在（0,£）上严格增;（2 ）当x>e时,/ （x）<0 ”在@,+8）上严格减所以f在x = 极大值，也是最大值：f（e）=-e2・利用一阶导数求极值（1）极值的必要条件（费马定理）：若函数f在兀°点可导，且在X。
点取得极值，则f （兀o） = O 注:① 称使/ （xo） = O的点为函数f的稳定点（也叫驻点）•② 驻点与极值点的关系：a .互不蕴含：例如/'（%） = ]习,兀=0点是极小值点，但不是驻点；而/（x） = x3,a： = 0点 是驻点而非极值点.b .有关系：可导的极值点必是驻点（费马定理）；凸（凹）函数的驻点必是极值点.（2）极值的充分条件极值的第一充分条件：若f在点兀（）连续，当xwg—5,兀时，/'（^）＜0（＞0）,当 XG（X0,X0 +^）Bt， /（X）＞O（＜O）,则 f 在兀0 取极小（大）值.极值的第二充分条件：若f在兀点二阶可导，/'（无0,/”（心）工0,则兀0必为极值点• /”（兀〉0时，为极小值点；/”（兀＜0时，为极大值点.极值的第三充分条件：若f在点兀有直到n阶导数，且f严）（兀伙=12…岸-1）,严）（兀工0则① 当n为偶数时，兀必为极值点，/W（x0）＞0时，为极小值点；/（”）（勺）＜0时，为极大值占② 当n为奇数时，X必不是极值点.下面仅证明第三充分条件.证明：将f在兀点展成带皮亚诺余项的泰勒公式，即/（x） = /（勺）+ f GoX*-*0） + …+ [”—第）（X-Xo）"T + / （X-X。
" + o（（x-X"）由已知，/⑷（兀0） = 0（/: = 1,2,…,〃一1）,所以有/（兀）一 fM = / 卜）（X -兀0 ）" +兀一兀0 ）"） rv.因为等式右边笫二项为高阶无穷小量，符号由笫一项而定，所以当n为偶数时,>0,xgU（x0）o 从而,当/叫兀＞0吋,/（x）-/（x0）＞0, xgU（x0）-即/（“（））为极小值；当/叫兀0）＜0吋，/（x）-/（x0）＜0, xeU（x0）,即/（X为极大值.当 n为奇数时，（兀一兀0）"（ a:gU（x0））符号不定，因而/（兀）一/（兀0）, xgU（x0）的符号不定，故兀0不是极值点.3・利用二阶导数判断函数凹凸性及拐点(1 )凸(凹)函数定义：设函数f定义在区间I上，若对任意"，x2 e 7,0 < ^ < 1,有/(站 +(1- A)x2) < (>)4/^ + (1 - 兄)/区))则称f为区间I上的凸(凹)函数.(2 )若f在区间I上二阶可导，则f为凸(凹)函数O是/'”(尢)'()(<()).(3 )曲线上凸凹部分分界点叫曲线的拐点.(4 )曲线的渐近线.水平渐近线：若lim/(x)= A (常数)，则称直线，y = A为f的水平渐近线. Too垂直渐近线：若lim/(%) = oo,则称直线x = 为f的垂直渐近线.斜渐近线：若lim/q = kH0 ,贝9 f必有斜渐近线y = kx^b,其中b由极限Z? = lim[/(x)-Ax]所确定.y Z I 1例6.8求曲线f(x) = 的渐近线.x-2解：因lim匚巴= 00,所以直线x = 2为f的垂直渐进线・义因 心2 X-2v /(x) r X2 +1 [八= lim— = 1 H 0・*一＞8 兀 龙一＞2兀・一 2x2 y I 1所以f必有斜渐近线，由于b = hm[f(x)-x] = Um-— = 2,因此斜渐近线为直线,"TOO XT8 JQ — 2。
