第二章分子动理学理论的平衡态理论3.ppt

§2.4 麦克斯韦速度分布 所谓按速度分布，就是要找出在速度为 区间内的分子数占总分子数的比率，即： 表示一个分子处在 附近单位速度间隔内的几率 一个分子的速度处在 区间是指其速度分量分别处在 间隔内仅是 的表示式 则： §2.4.1 速度空间 一、速度空间的代表点 1. 速度空间： 以速度分量vx、vy、vz为坐标轴的直角坐标系（或以v、θ、φ 为坐标的球坐标系）所确定的空间 在速度空间中，任意一个从原点出发的矢径 就代表了一个确定的速度 2. 代表点 速度空间中速度矢量的端点称为分子代表点 N个不同速度的分子，就对应于速度空间中的N个代表点 3. 注意： ⑴ 速度空间是想象的空间，该空间仅只描述了速度的大小和方向 ⑴ 速度空间是想象的空间，该空间仅只描述了速度的大小和方 向。

速度空间中的矢径 实际上是将对应的分子的速度从其真实坐标空间平移后得到的 速度空间的代表点不描述分子的速度空间的代表点不描述分子的空间位置，仅只说明该点对应了一个速度为空间位置，仅只说明该点对应了一个速度为 的分子2) 结论： 有多少分子其速度在 间隔内 = 有多少分子的速度矢量的端点处在速度空间中以dvx、dvy、dvz为边长的一个小体积元内 = 有多少分子代表点处在速度空间中以dvx、dvy、dvz为边长的一个小体积元内 二、代表点在速度空间的分布： 1. 分布图： 若把某一瞬时所有分子所对应的 速度矢量代表点都标在速度空间中，就构 成代表点在速度空间中的一种分布图形 表示了体积元 内分子代表点的相对密集程度 2. 速度分布概率及概率密度： 一维： 考查点位于x~x+dx区间的概率： dx表示区间线度， f(x)表示考查点分布的概率密度 二维： 考查点位于x~x+dx, y~y+dy区间的概率： dxdy表示区域面积， f(x，y)表示考查点分布的概率密度 对于三维速度： 设考查区为vx~vx+dvx, vy~vy+dvy, vz~vz+dvz的微分元，其中的代表点数目为dN(vx,vy,vz)，则相应有： 即：概率密度 3. 分析 ： ⑴ 一维情况（如x方向）： a) 在速度空间vx轴等间距分若干微元，取其中之一：dvx 只要速度的x分量在vx~vx+dvx范围，则所有分子代表点均处于此薄薄的无穷大平板中b) 设此板内分子代表点数为dN(vx)，则分子速度x分量在vx~vx+dvx的概率为：其中f(vx)称气体分子在x方向速度分量的概率密度 分子速度x分量在vx~vx+dvx的概率为：其中f (vx)称气体分子在 x方向速度分量的概率密度 ⑴ 一维情况：同理可得一维情况在vy 、vz方向的结果： 根据分子混沌性假设，平衡态时分子速度没有择优取向，故： 速度三个分量的概率密度速度三个分量的概率密度f f ( (v vx x) )、、 f f ( (v vy y) ) 、、 f f ( (v vz z) ) 形式相同形式相同⑵ 二维情况（如x、y方向）： 类似地在速度空间vx、 vy轴等间距分若干微元，取其中 之一：dvxdvy ，为一根平行于vz，截面积为dvxdvy的无穷长方体。

速度分量介于vx~vx+dvx ， vy~vy+dvy的dN(vx ,vy)个分子代表点均处于此长方体中分子速度x分量在vx~vx+dvx的概率为f (vx)dvx，速度y分量在vy~vy+dvy的概率为f (vy)dvy 分子同时处于这两个区域即图中长方体中的概率为： ⑶ 三维情况：同理，应当在速度空间的一个体积元(dvx,dvy,dvz)中找到速度分量介于vx~vx+dvx , vy~vy+dvy , vz~vz+dvz的分子代表点数目为dN(vx,vy,vz)，则有：可见： 速度分布概率密度速度分布概率密度 f f ( (v vx x, ,v vy y, ,v vz z) )= =分子按速度分量分布的概率密度的乘积分子按速度分量分布的概率密度的乘积f f ( (v vx x) )∙ ∙ f f ( (v vy y)∙ )∙ f f ( (v vz z) ) 分子处于速度微元分子处于速度微元d dv vx xd dv vy yd dv vz z中的概率中的概率= = f f ( (v vx x, ,v vy y, ,v vz z)d)dv vx xd dv vy yd dv vz zvxvy dvydvx§2.4.2 麦克斯韦速度分布速率间隔在v~v+dv内的分子数，实际上就是处在速度空间内到坐标原点的距离为 v~v+dv区域内的分子代表点的数目。

此区域是一个半径为v厚度为dv的球壳， 其内的分子代表点数目为： 根据分子混沌性假设，此球壳内的代表点均匀分布，则其体密度为： 则在速度 附近，体积元 内的分子代表点数目为： 则：速度在 区间的分子数占总分子数的百分比， 即麦克斯韦速度分布为麦克斯韦速度分布为： 则在速度 附近，体积元 内的分子代表点数目为： 2. 速度分量的分布函数： ⑴ 表达式： 对任意一个速度分量 i (i=x,y,z)，分子的概率分布为： 则速度分量在vx~vx+dvx的分子数dN(vx)占总分子数的比率为： 速度分量在vy~vy+dvy的分子数dN(vy)占总分子数的比率为： 速度分量在vz~vz+dvz的分子数dN(vz)占总分子数的比率为： ⑵ 概率分布曲线： f (vx)vx可见： ① 速度分量的概率密度函数f (vi)是偶函数，对称于纵轴分布② 任一区间dvx的分子分布概率即为曲线下对应部分的面积 dvx速度分量在vi~vi+dvi的分子数dN(vi)占总分子数的比率为： 面积 3 说明：⑴ 上面是简单说明性推导，严格的理论推导最早由麦克斯韦用概率统计的方法导出⑵ 历史上先推得麦氏速度分布，而后由速度分布推得速率分布 ⑶ 在推导麦氏速度分布时没有考虑分子间的作用力，因而只适用于平衡态理想气体⑷ 意义: 首次用概率统计的方法讨论微观过程，为统计物理学的诞生奠定了重要基础。

§2.4.3 相对于vp的麦克斯韦速度分量分布与速率分布∙误差函数 一、 相对于vp的麦克斯韦速度分量分布1. 分布： 例如:讨论速度的x分量在0~vx范围的分子数 其中 为最概然速率 —— 相对速度分量，约化速度分量 则： 速度的x分量在vx ~vx+dvx范围的分子数所占比率 速度的x分量在vx ~vx+dvx范围的分子数所占比率 （概率）： 可见，速度的x分量在某一数值 vx 以内的概率（比率）： 速度的x分量在 0~ux （或0~vx）范围的分子数为： 速度分量在( vx ， ) 内的分子所占比率为： 2. 误差函数： ⑴ 定义： ⑵ 误差函数表见课本70页表2.1，当x大于表中数值时，erf(x)可按幂级数展开计算，即： 例1 试求在标准状态下氮气分子速度的x 分量小于800 m·s-1的分子数占全部分子数的百分比查表得erf (2)=0.9953解： 即求T=273K时，0< vx < 800 m·s-1的二、 相对于vp的麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布：（（A A））（（B B））则 ① 可得0~v 速率范围的分子数所占比率： 则 ① 0~v 速率范围的分子数占总分子数的比率： ② 0~v 速率范围的分子数： ③ 速率在( v, ) 范围内的分子数占总分子数的比率： ④ 速率在( v, ) 范围内的分子数： 说明： 称为约化速率。

在理论分析式总结实验数据规律时，常采用约化量，它们能更好地反映共性，有利于揭示现象的本质例2 试求在标准状态下氮气分子速率介于200~205 m·s-1 的分子数占全部分子数的百分比 解：标况下N2分子有： §2.4.4 从麦克斯韦速度分布导出速率分布 对于麦克斯韦速率分布速率分布，在速度空间中，所有速率介于 v~v+dv 区间内的分子的代表点应该都落在以原点为球心，v 半径，厚度为dv的一薄层球壳中所谓速率分布是指速率处于任一区间v~v+dv内的分子数占总分子数的比率根据分子混沌性假设，气体分子速度没有择优取向，在各个方向上应该是等概率的，对薄球壳，dv  0，则在球壳内的代表点数 dNv 是 : 麦克斯韦速度分布由此可知：在速度空间中，在速度分量vx、vy、vz附近的代表点的数密度D(v) 为：说明分子代表点的数密度分子代表点的数密度 D D 是球对称的，D 仅是离开原点的距离v 的函数，即D(v) 可认为它内部各分子代表点的数密度D 都相等，都为D(v) 由此可知：在速度空间中，在速度分量vx、vy、vz附近的代表点的数密度D(v) 为：由麦克斯韦速度分布这就是麦克斯韦速率分布。

在球壳内的代表点数 dNv 是 : §2.4.5 绝对零度时金属中自由电子的 速度分布与速率分布 费米球 金属自由电子模型指出，金属中的价电子是无相互作用的自由电子在T=0 K时，自由电子的速度分布可表示为在速度空间中的一个费米球其球心位于速度空间的原点，球的半径为vF（称为费米速率，是一个仅与金属种类有关的常数）具体说来，电子状态位于速度空间中费米球外的概率密度为零，位于球内的概率密度为常数，设为De由归一化条件知电子的速率分布可表示为 电子的速率分布可表示为 由此可求： 不同金属，EF 值不同，一般它取eV的量级 费米能：费米球表面的能量这说明即使在T=0 K时，金属中自由电子还在以106m·s-1的数量级的平均速率在运动着，这是经典理论无法解释的（按照麦克斯韦分布，T=0 K时的自由电子平均速率为零）这种运动称为零点运动零点运动 ●例如，铜的EF =1.1×10-18J，而me=9.1×10-31kg，由此知T=0 K时铜中自由电子的平均速率为：⑴ 具有N个分子的气体处于平衡态(P,V,T)时，以容器为参考系的速率分布函数为： ⑵ N个分子的气体处于平衡态时，以容器为参考系，速率在 v ~ v+dv间的平均分子数等于：⑶ N个分子的气体处于平衡态，以容器为参考系速率在v ~ v+dv 间的分子占总分子数N的百分比（概率）麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布概率密度概率密度 概率概率 即分子处于速率即分子处于速率 v v 附近单位速附近单位速 率区间内的概率率区间内的概率麦氏速率分布： 打靶实验： 一维情况 : ，靶点在 的数目 ，靶点在 的。