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中山大学 硕士学位论文 与算子有关的Besov，Triebel-Lizorkin空间及其在PDE中的应 用 姓名：苏庆堂 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：颜立新 20100530 与算子有关的B e s o v ，T r i e b e l ．L i z o r k i n 空间 及其在P D f i 中的应用 专业：应用数学 硕士生：苏庆堂 指导教师：颜立新教授 摘要 经典的B e s o v 空间和T r i e b e l ．L i z o r k i n 空间在偏微分方程的研究中起了非常 重要的作用J ．B o u r g a i n , T ．T a o ，C ．E ．K c n i g ，T ．K a t o 等人将它们运用到非线性发 展方程的研究中，获得了令人瞩目的结果当前，带非光滑系数的非线性发展方 程边值问题或者边界非光滑的偏微分方程边值问题的研究引起了广泛关注，而这 时经典的B e s o v , T r i e b e l ．L i z o r k i n 空间可能不再是研究这些问题的合适空间因此 有必要对经典的函数空间理论进行推广AA u s c h e r , 八M c I n t o s h , X ．T ．D u o n g ， L i x i nY a h ，S ．H o f m a n n 等人研究了与算子有关的H a r d y 空间，B M O 空间，B e s o v 空间，将经典的函数空间理论进行了拓广。

本文研究了一类与算子有关的B e s o v 空间与T r i e b e l ．L i z o r k i n 空间假设三生 成厶2 ( R ”) 上的一个解析半群{ e - t L ) t 2 0 ，并且有P o i s s o n 热核界，则我们可以定义 与算子三关联的B e s o v 空间与T r i e b e l ．L i z o r k i n 空间，并且证明这些空间具备很多 与经典空间类似的良好性质 本文分四章在第一章我们简要介绍了函数空间的发展历史以及与算子有关 的函数空间的驱动力和发展，列举了本文需要用到的预备知识，例如B o c h n e r 积 分，算子半群等 在第二章，我们定义了与算子三有关的B e s o v 空间 嫒乒( R n ) = { f ∈L p ( R 付) ：( J ≯o —n I I ( t L ) 七e —L ，I I p ) q 譬) 1 ／q 0 ，k a 是整数，l 口是整数，l O ，k 口i s 孤i n t e g e r ，1 ai si n t e g e r ，1 s 是整数，1 ≤P ，q ≤o 定义 A ；' 口( Ⅳ) = s 是整数。

从这个观察，我们说经 典的B e s o v 空间或者T r i e b e l - L i z o r k i n 空间是与讴或者△有关的空间它们作为经 4中山大学硕士学位论文 典热方程或者波方程研究的底空间是自然而卓有成效的然而当我们考虑带非光 滑系数的微分算子时，与标准的L a p l a c i a n 算子有关的函数空间未必是合适的空 间( 【2 1 ] ) 基于上述考虑，人们对与算子有关的函数空间进行了研究D u o n g ，X ．T ．， L i x i n ，Y a n ( [ 2 2 ，2 3 1 在2 0 0 5 年研究了与具热核界的算子有关的B M O 和H a r d y 空 间，D z i u b a i } s k i ，J ．( f 2 4 】) 等人研究了与S c h r S d i n g e r 算子( 带满足逆H 5 1 d e r 不等式的 位势) 有关的B M O 空间H o f m a n n ，S ．( [ 2 5 】) 等人在2 0 0 9 年研究了与一类散度形椭 圆算子有关的B M O 空间与H a r d y 空间最近，H u y - Q u yB u i ，X u a nT h i n hD u o n g ， Y a nL i x i n ( [ 2 1 ] ) 等人研究了与算子有关的齐次B e s 0 V 空间霹乒，其中- 1 o A X ．h 的算子半群，如果z ∈x 使得T ( t ) x 在t = o 处强可 微，即极限 1 i m —T ( t ) x —- x t - + O + t 在x 中存在，其极限记为A z ，则算子A 称为半群T ( 亡) 的无穷小生成元，简称为生 成元。

记 叫) = 沁x ：船掣! 捌咖) 一个自然的问题是什么算子会生成一致连续半群，强连续半群首先，对一致连 续半群，有如下定理， 定理1 ．2 ．1 5 半群{ 互) t ≥o 是一致连续半群的充要条件是其生成元A ∈L ( x ) 下面的性质经常用到，因此我们也罗列在这里 第一章：绪论 9 命题1 ．2 ．1 6 设．[ 互) t ≥o 是以A 为生成元的G 半群，则 ( ／) l i m ，I _ o 丢丘枘T ( s ) x d s = T ( t ) x ，z ∈X ( 2 ) f oT ( s ) x d s ∈D ( A ) ，并且 A ( ／e T ( s ) z d s ) = T ( 亡) z —z ，z ∈x 俐若z ∈D ( A ) ，则对t ≥0 ，T ( t ) x ∈D ( A ) ，并且 面dT ( 亡) z = A T ( t ) z = T ( 亡) 血 “夕丁( t ) z —T ( s ) z = f ：T ( a ) A x d a = f ：A T ( a ) x d a ，z ∈D ( A ) 0 0 倒A 是x 中稠定闭算子，且nD ( 小) 在x 中稠密． n = l 下面的H i l l e —Y o s i d a 定理表述了能生成G 半群的线性算子的特征。

定理1 ．2 ．1 7 线性算子A 为某岛半群 o 和叫，当入 u 时入∈户( A ) ，并且 I I R ( 枷) n I l ≤d ％，n = 1 ' 2 ，．．． §1 ．2 ．3 ．2 解析半群 在很多具体问题中常常要求某些G 算子半群的定义域是复平面上包含非负 实轴的某个区域，因此我们简要介绍解析半群 定义1 ．2 ．1 8 设D 6 = { 入∈C ：I a r g A I o ) 是复平面c 中某个区域，当入∈ D 6Uo 时，T ( I ) ∈L ( x ) ，如果T ( 入) 是D 6 上的算子解析函数，并且满足 ( 1 ) T ( O ●= I ； f 砂T ( A 1 + 入2 ) = T ( 入1 ) 丁( A 2 ) ，A 1 ，A 2 ∈D 6 j ( 3 ) l i m A 一+ 0 ，A ∈D ST ( A ) x = z ，z ∈X 则称算子族T ( 入) 是D 6 上的算子半群．若{ 互) t ≥o 是G 半群，当它可以延拓成 复平面上巢包含非负实轴的某个区域中的解析半群时，就称T ( ￡) 是解析半群． 下面定理回答了一致有界G 半群在什么条件下可以延拓成解析半群，对一般的G 半 群丁( 亡) ，考虑e 叫。

T ( 亡) 即可 1 0 中山大学硕士学位论文 定理1 ．2 ．1 9 设．[ 正) t ≥o 是X 上一致有界的G 半群，A 是其生成元，则下面的命题 是等价的 p ◆{ 正] - t ≥o 可以延拓成D 6 q ' 的解析半群，并且T C A ) 在D ( 6 ) 的每个闭子扇形反= { A ：l a r g A l ≤6 1 } ( 6 1 0 ，使得对每个矿 0 ，r ／≠0 都有 门 懈仃+ ‘7 7 ，A ) 1 1 ≤葫 俐存在0 口是整数，l Q 是整数，1 0 ，z ∈R n ． 注记2 ．1 ．1 满足条件( S ) ，( K ) 的算亍是很多讷( 1 2 1 1 ．} 2 8 { ) ． 门) R “ _ h 的L a p l a c i a n 算子△以及沤i 俐船上的s c ^ 帕班叼e r 算子一△+ V ，其中o ≤V ∈L k ； 阳) Ⅱp 上具有界实系数的散度型椭圆算子． 我们指出一个在后面多次用到的性质，详细证明可见[ 2 9 】的T h e o r e m6 ．1 7 命题2 ．1 ．2 若L 满足例，倒，k ∈N ，P k ，t ( z ，y ) 是( 圮) 七e - t L 的核，则V0 o 是整数，t 0 。

§2 ．2 与算子有关白{ J B e s o v 空间的定义 定义2 ．2 ．1 假设工满足俐，倒，．厂∈p ( 舯) ，1 Q 是整数，定义与算子L 有关的B e s D 口空间如下： 鹾乒( R 竹) = { ，∈驴( 舯) ：I I 川罢手 Q 的选取无关． 定理2 ．2 ．3 假设L 满足俐，例，1 口是整 数，则存在常数C 1 ，Q 0 ． 刚川戮≤I l f l l q％u p , q ≤驯，l | 龆 u p ，一p ，叮 我们先引入一个表示定理( 【2 1 】) 定理2 ．2 ．4 设L 是厶2 ( R n ) 上的稠定算子，且满足俐和倒．设，∈汐( R n ) ，1 P V q ≤c { ／o ∞( 亡一口I I ( 亡Lk + l e - 2 t L f l l p ) 口譬) V q - - C { ／o ∞( 芒一a I I ( 亡L ) 七e —t L f l l p ) 口譬) 1 7 q 反过来，注意到；胪e 吖L ，= 一L 七+ 1 e 叫L f ，从而有 a s u - - L k + l e - J Lla 8 = L k e - ' l Ll _ L k e - t L { 1 4中山大学硕士学位论文 断言：I I L 詹e —u L f l l B ；, 乒_ 0 ( u 一∞) 这是因为 L k e - u L 川鹾于- ．] l L k e - u L 川p + = I + I I 显然，- ÷0 ，( u _ O 。

) 因此我们有 ：仳^ f L Q 是整数， 则v s 0 ，Y ∈Ⅱp ， №m ( ·，训酸于 其中‰，m ( z ，可) 是( s L ) m e 一8 L 的核． o 且工是m 阶 微分算子，仇∈N ，有表达式 L = ∑口口( z ) 素o ⋯n K l a l V 口警 §2 ．3 基本性质 下面叙述露乒的一些性质 命题2 ．3 ．1 假设L 满足俐，俐，1 0 ，3 N ∈N ，使得V 似，仇≥N ，有 I I 厶一厶I I p + f ，∞( 知e一儿(厶一厶)II／t-aIJ ( t L )p ) 口譬t , b ( ／) V g 0 ，1 0 ． 证明( 1 ) 设q 1 0 ／p ) 吼半= ，Vo 而在t o ／2 ≤t ≤t o 内有I I ( t o L ) 七e _ 汕f l l p ≤C [ 1 ( t L ) k e 叫L 川p ，从而有 ／' t o 0 + I I ( t o L ) 七e 一幻L ，I I p ／@ 一a ) 口，半≤A q - = 争t i a q lI I ( t o L ) 七e 一‘L ，I I 寄≤c ( Q ，q 1 ) A q - 因此 s u pt _ a II ( t L ) 七e q L 川p ≤C A 这意味着B 蒜( R n ) qB 黯( 渺) q 2 Q ) r 厂／伫 ∞∑一 ∞∑问 有厂1 比刚 中山大学硕士学位论文 定理 有 2 ．4 ．4L 满足俐，口砂，1 O l ，则 ∥a I I ( ㈣k e - t L 川扩警广一 o 时，实际上一个函数．厂∈妒是否属于磁乒取决于t = o 的一个 任意小领域内是否可积。

先证明一些引理． 引理2 ．4 ．6 三满足例，口砂，1 1 ／g ≤c 昕旷僦1 1 ( 严I - - e - t L 帅f 1 1 ) 口秽口 引理2 ．4 ．7 己满足例，似砂。