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第五讲 最大公约数与最小公倍数【知识导引】一、约数的概念与最大公约数 约数又叫因数(在正整数范围内〕整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数最大公约数:如果一个数既是数a的约数，又是数b的约数，称为[a,b]的约数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数1. 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来例如：，，所以；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘例如：，所以；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)例如，求600和1515的最大公约数：；；；；；所以1515和600的最大公约数是152. 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以。

3. 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；即为所求二、倍数的概念与最小公倍数对于整数m，能被n整除〔n/m〕,那么m就是n的倍数如15能够被3或5整除，我们就说15是3的倍数，也是5的倍数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数1. 求最小公倍数的方法①分解质因数法求最小公倍数例如：，，所以；②短除法求最小公倍数例如： ，所以；③公式法：2. 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积③两个数具有倍数关系，那么它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数；求出各个分数分母的最大公约数；即为所求例如： 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数例如：三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质如果为、的最大公约数，且，，那么互质，所以、的最小公倍数为，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些根本关系：①，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数。

2. 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积，即3. 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为：①奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数，例如：，210就是567的最小公倍数②偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍，例如：，而6,7,8的最小公倍数为③几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大例题解析】【A组——根底夯实】例1 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？解：由ab=[a，b]×〔a，b〕可得：另一个数为，252×4÷28=36答：另一个数是36例2 求437与323最大公约数是多少？解：运用辗转相除法：437÷323=1…114；323÷114=2…95；114÷95=1…19,95÷19=5， 那么〔437,323〕=19答：437与323的最大公约数是19例3 两个数的最大公约数是20，最小公倍数560，符合条件的两个数中差最小的两个数各是多少？解：由题意可得：560÷20=28=1×28=4×7，显然4与7之间差最小，20×7=140,20×4=80答：符合条件的两个数中差最小的数是80和140。

例4 有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？ 解：最多可以分成〔份〕 每份中有苹果336÷42=8〔个〕 每份中有桔子252÷42=6〔个〕 每份中有梨210÷42=5〔个〕答：最多可以分成42份，每份中有苹果8个，有桔子6个，有梨5个B组——能力提升】例1 两个自然数的差为2，它们的最小公倍数与最大公约数之间差为142，求这两个自然数解：由题意可得：两个自然数的差为2的自然数的最大公约数只有两种可能：一个为1，一个为2 〔1〕当两个数互质时，1×〔1+142〕=1×143=11×13； 〔2〕当两个自然数最大公约数为2时，2×〔142+2〕=2×144=16×18， 所以这两个自然数是11和13或者16和18例2 两个自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求这两个自然数 例3 把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？解：要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数。

由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数，1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，正方形的边长为，长方形纸块的面积为 (平方厘米)，正方形纸块的面积为 (平方厘米)，共可裁成正方形纸块 〔块〕答：正方形的边长是15厘米，一共可以裁成63块例4 两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差解：设这两个自然数为：，其中与互质，那么有，，所以a=9，b=1或a=7，b=3，所以这两个两个自然数为5×9=45，5×1=5或5×7=35，5×3=15它们的差分别是：45－5＝40，35－15＝20答：所求这两个数的差是40或者20例5 大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印，求圆形花圃的周长 解：两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数，为厘米，在216厘米里，两人留下的脚印数分别是： (个)， (个),由于两人有1个脚印重合，所以实际上只有 (个)脚印。

即走完全程共重合10次，因此，花圃周长为： (厘米)答：花圃周长是2160厘米习题精选】【A组——根底夯实】1. ①用短除法求120、48和56的最小公倍数； ②用分解质因数法求35、98、112的最大公约数和最小公倍数2. a=44，b=12，c=82，求〔a，b，c〕和[a，b，c]3. 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是504，如果其中一个数是42，那么另一个数是 4. 8路车每隔8分钟发一次车，12路每隔6分钟发一次车，在某一时刻这两路车同时从一个车站发车，至少再过________分钟这两路车才又同时发车5. 甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是________6. 四个连续自然数的和等于54，那么这四个连续自然数的最小公倍数是 7. 一个房间长450厘米，宽330厘米现方案用方砖铺地，需要用边长最大为________厘米的方砖 块(整块)，才能正好把房间地面铺满8. 教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成________份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)。

在每份礼物中，苹果有________个，桔子有________个，鸭梨有________个9. 三个质数的和是62，这三个质数的积是________10. 一包糖，平均分给2人，3人，4人，或5人，正好都余一块，这包糖至少有________块 【B组——能力提升】1. 有三根绳子，第一根长12米，第二根长18米，第三根长24米，现在要把它们剪成同样长的小段，每段最长________米2. 有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵，这批树苗在150－200之间共有________棵树苗3. 同学们训练播送操，每行8人、10人、15人，都能正好排成整行，并且没有多余的学生，至少有________人参加了播送操训练4. 两个自然数的积为240，最小公倍数为60，这两个数为_____________5. 两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，这两个数的和是__________ 6. 一个长方形的周长是40厘米，它的长和宽的厘米数是由一个质数与一个合数组成，它的面积最大是___________，最小是___________ 7. 幼儿园一个班节约图书，如借35本，平均发给每个小朋友后还差1本；如借56本，平均分发给每个小朋友；如借69本，平均分发给每个小朋友后那么差3本，问这个班的小朋友最多有________人。

8. 一个数分别被2、4、5除都余1，这个数在100-130之间，这个数是_________。