高等数学：2.2 导数的运算.ppt

导数的运算导数的运算一、导数的四则运算法则　一、导数的四则运算法则　二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则四、隐函数的求导法则四、隐函数的求导法则五、由参数方程确定的函数的求导法则五、由参数方程确定的函数的求导法则六、对数求导法六、对数求导法一、导数的四则运算法则定理 设u=u(x),v=v(x)可导，则　　 可导，且有证 设自变量在x取得增量 时，函数u，v分别取得增量于是此定理可以推广到有限个函数相加减的情况.例如，若u,v,w分别可导，则因此定理 设u=u(x),v=v(x)可导，则　 可导，且有证 设自变量在x取得增量 时，函数u，v分别取得增量 ，则 此定理可以推广到有限个函数相乘的情况，例如u，v，w分别可导，则由定理3.3容易得到一个重要的结论：若u可导，c为常数，则 .即求导时，常数因子可以提出来.定理 设u=u(x),v=v(x)可导，且　　 　，则 可导，且有证　 设自变量在x取得增量 时，函数u，v分别取得增量 ，则因此例1解例2解例3 用四则运算法则证明基本初等求导公式：解同样可以得到另外两个基本公式：二、反函数的求导法则定理3.5 设函数 在某区间内严格单调、可导，且 ，则其反函数y=f(x)在相应区间内也严格单调且可导，且有证 因为 在某区间内严格单调、连续，而严格单调连续的反函数也是严格单调连续的.所以当例 证明：证 内严格单调、连续，且所以其反函数y=f(x)=arcsin x在(－1,1)内严格单调、连续、可导，且有同样可得　例 证明：所以其反函数y=f(x)=arctan x在 内严格单调，连续，可导，且有同样也可得证 在内 严格单调、连续，且 ， 基本的初等函数的求导公式三、三、复合函数的求导法则定理3.6 设u=g(x)在x可导，y=f(u)在相应点u=g(x)可导，则复合函数y=f(g(x))在x可导，且有复合函数的求导法则一般称为链式法则，它也适用于多层复合的情况.比如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，则只要满足相应的条件，复合函数y=f(g(h(x)))就可导，且有例8 设y=sin3 x，求 .解 令例9 设y=lncos x，求 .解 令例10 设解 令例11 设解例12 设y=ln(x+tan x)，求 .解例13解四、四、隐函数的求导法则自变量x和因变量y是通过一个方程建立起函数关系.比如 建立了x和y之间的关系，此时对应规则是对x在允许范围内的每一个值，y将以方程的解与之对应，这种函数称为隐函数.隐函数一般可用F(x,y)=0表示.现在的问题是通过方程F(x,y)=0确定了y是x的函数，如何来求 .容易看出：“先将形式隐函数显化，然后再求导”不是一个好的办法，因为将隐函数显化，即将其变成显函数形式一般是非常困难的，甚至是不可能的.对于隐函数求导，可以采用这样的方法：首先在等式两边对x求导,遇到y时将其认作中间变量，利用复合函数的求导法则，得到含 的方程，解出 即可.例14 设y=y(x)由 确定，求 .解 两边对x求导，得解方程得例15 求隐函数 的导数解五、五、由参数方程确定的函数的求导法则若将由参数方程 所确定的函数看成复合函数： ，则由复合函数的求导法则，有注意到反函数的求导法则，有 ，所以这就是由参数方程所确定的函数的求导法则.例16 设解例17 设解六、六、对数求导法在求导运算中，常会遇到下列两类函数的求导问题，一类是幂指函数，即形如 的函数，一类是一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数. 所谓对数求导法，就是在y=f(x)的两边分别取对数，然后用隐函数求导法求导的方法.解用对数求导法，则两边分别取对数所以两边对x求导，得例18解例19所以高阶导数高阶导数一般地，若y=f(x)的导数 仍可导，则称 的导数为y=f(x)的二阶导数，记为等，即类似地，称二阶导数的导数为三阶导数，三阶导数的导数为四阶导数， ，(n－1)阶导数的导数为n阶导数.分别为或或或二阶或二阶以上的导数称为高阶导数.相应地，称 为一阶导数.若y=f(x)的n阶导数 存在，则称y=f(x)n阶可导，此时意味着 都存在.例1 设解例2 设解例4 设解。