根轨迹绘制的基本法则(3)课件.ppt

4-2 4-2 根轨迹法的基本法则根轨迹法的基本法则法则法则1 1 根轨迹的起点、终点根轨迹的起点、终点法则法则2 2 根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数、对称性和连续性法则法则3 3 根轨迹在实轴上的分布根轨迹在实轴上的分布法则法则4 4 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线法则法则5 5 根轨迹的分离点和分离角根轨迹的分离点和分离角法则法则6 6 根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角法则法则7 7 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点算例算例法则法则8 8 根之和根之和根轨迹绘制的基本法则(3)根轨迹终点在K= ∞ 处根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点P Pi i根轨迹终止在开环零点根轨迹终止在开环零点Z Zj j法则一法则一 根轨迹的起点、终点根轨迹的起点、终点根轨迹绘制的基本法则(3)n n条轨迹从开环极点出发，只能有条轨迹从开环极点出发，只能有m m条终止在开环零点条终止在开环零点, , 另另外外n-mn-m条应终止何处？条应终止何处？余下余下n-mn-m条根轨迹将终止在无穷远处条根轨迹将终止在无穷远处把无穷远处看作有限零点，开环零点数和开环极点数相等把无穷远处看作有限零点，开环零点数和开环极点数相等根轨迹绘制的基本法则(3)根轨迹的分支数等于开环有限极点数根轨迹的分支数等于开环有限极点数n和有限零点数和有限零点数m中中较大者，即根轨迹的分支数＝闭环特征根数，它们是连较大者，即根轨迹的分支数＝闭环特征根数，它们是连续的且对称于实轴。

续的且对称于实轴 根轨迹是上述方程的根随某参数变化而生成的运动轨迹根轨迹是上述方程的根随某参数变化而生成的运动轨迹得到下述结论法则二法则二 根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹绘制的基本法则(3)当系统当系统n>mn>m时，有时，有(n(n－－m)m)条根轨迹分支终止于无限远零点条根轨迹分支终止于无限远零点沿着渐近线渐近线趋于无限远处s很大时的根轨迹）渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）渐近线与实轴的交角渐近线与实轴的交角渐近线与实轴的交点渐近线与实轴的交点法则三法则三 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线根轨迹绘制的基本法则(3)说明说明根轨迹绘制的基本法则(3)已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4一个开环零点：-1共有四条根轨迹，渐近线与实轴交点：渐近线与实轴正方向的夹角：根轨迹的渐近线例一根轨迹的渐近线例一实轴上的根轨迹为实轴上的根轨迹为0→0→－－1 , 1 , －－4→4→－－∞∞根轨迹绘制的基本法则(3)规则三规则三 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹规则二规则二 根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点规则四、五规则四、五 渐进线与实轴的夹角、交点渐进线与实轴的夹角、交点0→0→－－1 , 1 , －－2→2→－－∞∞解：根据规则解：根据规则6060o o- -6060o o- -180180o os s∞∞s∞s s∞∞ 三条三条渐进线渐进线如图如图根轨迹的渐近线例二根轨迹的渐近线例二根轨迹绘制的基本法则(3)例如，某系统开环零极点分布例如，某系统开环零极点分布 如图。

现在要判断实轴上的某如图现在要判断实轴上的某点点SaSa是不是根轨迹上的点是不是根轨迹上的点. .由幅角条件很容易得到实轴上的根轨迹：由幅角条件很容易得到实轴上的根轨迹： 各开环零、极点的幅角： 实轴上试验点实轴上试验点右边右边的零、极点的零、极点其幅角为其幅角为180°180° 零、极点在实轴上试验点左边其零、极点在实轴上试验点左边其幅角为零；幅角为零；共轭零、极点的幅角共轭零、极点的幅角其和为零；其和为零； 观察左边等式有如下结论：观察左边等式有如下结论：要判断实轴上的要判断实轴上的 某点某点SaSa是不是根轨迹上的点，只要计算是不是根轨迹上的点，只要计算一下它右边的实轴上零极点的幅角和是否符合幅角条件一下它右边的实轴上零极点的幅角和是否符合幅角条件如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点、极点个数之和为如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点、极点个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹奇数，则该区段实轴必是根轨迹法则四法则四 根轨迹在实轴上的分布根轨迹在实轴上的分布根轨迹绘制的基本法则(3)已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹[-1，-2] 右侧实零、极点数=3。

[-4，-6] 右侧实零、极点数=7根轨迹绘制的基本法则(3)分离点(或会合点)：根轨迹在s平面某一点相遇后又立即分开分离点必然是为闭环特征方程的重根点分离点的特性：分离点必然是位于实轴，或共轭形式出现在复平面实轴上，两相邻极点或零点之间至少存在一个分离点（包括无限零点或极点）法则五法则五 根轨迹的分离点与分离角根轨迹的分离点与分离角根轨迹绘制的基本法则(3)2 2、分离点（或会合点）、分离点（或会合点）处的根轨迹的会合角（或分离角）处的根轨迹的会合角（或分离角）1 1、分离点、分离点 b b坐标值由分式方程解出坐标值由分式方程解出根轨迹绘制的基本法则(3)解：解：原式化为零极点形式原式化为零极点形式1 1、根轨迹起点、根轨迹起点：：0 0 ，，-2.73 -2.73 ，，-1 -1   j j2 2、实轴上根轨迹、实轴上根轨迹：：0 0  -2.73 -2.73由特征方程为：由特征方程为：4 4、分离点、分离点：：求出重根为：求出重根为： s s1 1、、2 2 = = - 2.07- 2.07分离点分离点- -2.072.073 3、渐进线、渐进线：：手算可用试探法，由上图，手算可用试探法，由上图，分离点在分离点在 -1.18 -1.18 和和 -2.73 -2.73之间找；若求出的重根点在之间找；若求出的重根点在实轴上但不符合实轴上但不符合““实轴上根实轴上根轨迹轨迹””的判断规则就要舍去的判断规则就要舍去- -1.181.18根轨迹绘制的基本法则(3)复数极点附近根轨迹形态怎样复数极点附近根轨迹形态怎样？在复数极点附近取一个试验点在复数极点附近取一个试验点SaSa，各零、极点到试验，各零、极点到试验点点SaSa的矢量幅角和应满足幅角条件，当的矢量幅角和应满足幅角条件，当SaSa点无限趋近点无限趋近该复数极点时，可求出根轨迹从该点出射方向。

该复数极点时，可求出根轨迹从该点出射方向为求根轨迹从为求根轨迹从P P3 3点处的出射角，在其附点处的出射角，在其附近找一个实验点近找一个实验点SaSa，并认为该点在根轨，并认为该点在根轨迹上，则它应满足幅角条件：迹上，则它应满足幅角条件：前提：前提：SaSa无限靠近无限靠近P P3 3法则六法则六 根轨迹的起始角与终止角根轨迹的起始角与终止角根轨迹绘制的基本法则(3)起始角p :从开环复数极点出发的一支根轨迹，在该极点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角根轨迹起始角的一般计算式(0～360°)终止角z:进入开环复数零点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角根轨迹终止角一般计算式(0～360°) 根轨迹绘制的基本法则(3)四条分支起始点p1＝0、p2、3＝-0.5±j1.5 、p4＝―2.5终止点z1＝－1.5、z2，3＝－2±j、－∞实轴上0～－1.5和－2.5～－∞两区段是根轨迹取k＝0p3和p2为共轭复数，根轨迹起始角对称或根轨迹绘制的基本法则(3)取k＝-1z2和z3为共轭复数，根轨迹终止角对称根轨迹绘制的基本法则(3)根轨迹与虚轴相交闭环特征方程有纯虚根、系统处于临界稳定状态。

2）代数法法则七法则七 根轨迹与虚轴的交根轨迹与虚轴的交点点根轨迹绘制的基本法则(3)例：系统的开环传递函数 ，求根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程阵列中s2行元素构成辅助方程根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根轨迹绘制的基本法则(3)系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点代入系统闭环特征方程闭环特征方程根轨迹绘制的基本法则(3)系统闭环特征多项式闭环特征方程的根（即闭环极点）与特征方程的系数关系：法则八 闭环特征方程根之和与根之积根轨迹绘制的基本法则(3)（1）根轨迹分支数据开环分母最高阶，闭环根轨迹有四个分支（2）根轨迹的起点和终点开环极点这些开环极点是闭环根轨迹各分支的起始，各分支的终点在无穷远处3）与实轴的交点确定实轴上的根轨迹，本题为 例 概略绘出下列开环传递函数的闭环系统根轨迹图根轨迹绘制的基本法则(3)（4）渐近线与实轴的交点与实轴的交角本题中有n=4，m=0,故有4条渐进线 根轨迹绘制的基本法则(3)（5）根轨迹分离点求得d=-2, -2.0000 + 2.4495i, -2.0000 - 2.4495i（6）根轨迹分离角根轨迹绘制的基本法则(3)（7）根轨迹起始角对于极点（-2+j4）而言，起始角为 对于极点（-2-j4）而言，起始角为根轨迹绘制的基本法则(3)(8)根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为 应用劳斯判据， 13688026根据 行的系数，得如下辅助方程求出交点坐标根轨迹绘制的基本法则(3)根轨迹绘制的基本法则(3)Ø根轨迹增益K’=3K。

Ø根轨迹对称于实轴，有四条根轨迹分支分别起始于开环极点0，－3，－1±j，终止于零点－2和另外三个无限远零点Ø实轴上区段0～－2和－3～－∞为根轨迹Ø根轨迹有三条渐近线（n-m＝3），与实轴的倾角为取k＝0、1＋60°、－60°、＋180°Ø渐近线与实轴交点坐标为例 概略绘出下列开环传递函数的闭环系统根轨迹图根轨迹绘制的基本法则(3)Ø两条根轨迹分支起始于共轭复数极点－1±jØ系统特征方程根轨迹与虚轴的交点'2'34'50'6) '6(51851KKKKK--++-根轨迹绘制的基本法则(3)Ø各闭环极点之和为－5 当实轴上根轨迹分支向左趋向于无限零点时，两个从复数极点出发的根轨迹分支趋向于右边无限零点根轨迹绘制的基本法则(3)作业作业§4－－3§4－－5（（1））§4－－6（（2）（）（3））§4－－8根轨迹绘制的基本法则(3)。