数学实验课件Matlab第5章MATLAB数值计算.ppt

第5章 MATLAB数值计算,,目录,,在科学和工程应用中，往往要进行大量的数学计算这些运算一般来说难以用手工精确和快捷地进行，而要借助计算机编制相应的程序做近似计算并不断更新和扩充MATLAB的数值分析功能十分强大中，本章主要讲述MAYLAB在函数、插值和曲线似合分析、微积分和线性方程系统方面的应用5.1 特殊矩阵 5.2 矩阵分析 5.3 矩阵分解与线性方程组求解 5.4 数据处理与多项式计算 5.5 傅立叶分析 5.6 数值微积分 5.7 常微分方程的数值求解 5.8 非线性方程的数值求解 5.9 稀疏矩阵,5.1 特殊矩阵,5.1.1对角阵与三角阵 1. 矩阵的对角元素 (1)提取矩阵的对角线元素 设A为m×n矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线元素产生一个具有min(m,n)个元素的列向量 diag(A)函数还有更进一步的形式diag(A,k)，其功能是提取第k条对角线的元素目录,,A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19] A = 17 0 1 0 15 23 5 7 14 16 4 0 13 0 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 19 diag(A) ans = 17 5 13 21 19, diag(A,3) ans = 0 16,(2)构造对角矩阵 设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个m×m对角矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素。

diag(V)函数也有更进一步的形式diag(V,k)，其功能是产生一个n×n(n=m+)对角阵，其第k条对角线的元素即为向量V的元素 V=[1 2 3 4 5]; diag(V) ans = 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 5,diag(V,2) ans = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,,例5.1 先建立5×5矩阵A，然后将A的第1行元素乘以1，第2行乘以2，…，第5行乘以5目录,,ans = 17 0 1 0 15 46 10 14 28 32 12 0 39 0 66 40 48 76 84 12 55 90 125 10 95,命令如下： A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19]; D=diag([1,2,3,4,5]); D*A,,2. 矩阵的三角阵 (1)下三角矩阵 求矩阵A的下三角阵的MATLAB函数是tril(A) tril(A)函数也有更进一步的一种形式tril(A,k)，其功能是求矩阵A的第k条对角线以下的元素。

(2)上三角矩阵 在MATLAB中，提取矩阵A的上三角矩阵的函数是triu(A)和triu(A,k)，其用法与提取下三角矩阵的函数tril(A)和tril(A,k)完全相同目录,, tril(A) ans = 17 0 0 0 0 23 5 0 0 0 4 0 13 0 0 10 12 19 21 0 11 18 25 2 19 triu(A) ans = 17 0 1 0 15 0 5 7 14 16 0 0 13 0 22 0 0 0 21 3 0 0 0 0 19,A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19] A = 17 0 1 0 15 23 5 7 14 16 4 0 13 0 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 19, tril(A,1) ans = 17 0 0 0 0 23 5 7 0 0 4 0 13 0 0 10 12 19 21 3 11 18 25 2 19,,5.1.2 特殊矩阵的生成 1. 魔方矩阵 魔方矩阵是n*n元素所构成的方阵，其每个元素由不同的1~n2的整数所组成，它的每行、每列以及对角线元素之和均相等，并等于n(1+n2)/2.函数格式为 magic(n),例5.2 将101~125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。

命令如下： B=100+magic(5), B=100+magic(5) B = 117 124 101 108 115 123 105 107 114 116 104 106 113 120 122 110 112 119 121 103 111 118 125 102 109, sum(B(1,:)) ans = 565 sum(B(2,:)) ans = 565 sum(B(:,4)) ans = 565 B(1,1)+B(2,2)+B(3,3)+B(4,4)+B(5,5) ans = 565,2. 范得蒙矩阵 函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵VANDER Vandermonde matrix. A = VANDER(V) returns the Vandermonde matrix whose columns are powers of the vector V, that is A(i,j) = v(i)^(n-j)., p=[1 2 3 4 5] p = 1 2 3 4 5 A = VANDER(p),A = 1 1 1 1 1 16 8 4 2 1 81 27 9 3 1 256 64 16 4 1 625 125 25 5 1,,3. 希尔伯特矩阵 Hilbert矩阵的每个元素的值，由行数i和列数j决定，等于1/(i+j-1)，生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。

MATLAB中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n)，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵 hilb(4) ans = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429, I=invhilb(4) I = 16 -120 240 -140 -120 1200 -2700 1680 240 -2700 6480 -4200 -140 1680 -4200 2800,4. 托普利兹矩阵 生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它生成一个以x为第1列，y为第1行的托普利兹矩阵这里x, y均为向量，二者不必等长当x和y的第一个元素不同时，系统将给出提示信息并以x中的元素为准．,, c=[1 2 3 4 5]; r=[1.5 2.5 3.5 4.5 5.5]; toeplitz(c,r) Warning: First element of input column does not match first element of input row. Column wins diagonal conflict. (Type “warning off MATLAB:toeplitz:DiagonalConflict“ to suppress this warning.) In E:\matlabanzhuang\toolbox\matlab\elmat\toeplitz.m at line 18 ans = 1.0000 2.5000 3.5000 4.5000 5.5000 2.0000 1.0000 2.5000 3.5000 4.5000 3.0000 2.0000 1.0000 2.5000 3.5000 4.0000 3.0000 2.0000 1.0000 2.5000 5.0000 4.0000 3.0000 2.0000 1.0000,5. 友矩阵 Compan矩阵生成多项式系数向量P的伴随矩阵，其中（A(1,:)=-P(2:n)/P(1)）,友矩阵的函数是：compan(P) 。

P是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后例5.3求x3-7x+6的根 u=[1 0 -7 6] u = 1 0 -7 6 A=compan(u) A = 0 7 -6 1 0 0 0 1 0 eig(compan(u)) ans = -3.0000 2.0000 1.0000 该多项式的根是-3,2,1,友矩阵的特征根正好是多项式的根,6. 帕斯卡矩阵 Pascal矩阵是一个实对称的正定矩阵，它由Pascal三角形组成， Pascal三角形是由0到2n-1阶的二项式系数组成，把二项式系数依次填写在矩阵的左侧对角线上，提取左侧的n行n 列即为Pascal矩阵 函数pascal(n)生成一个n阶的帕斯卡矩阵例5.4求(x+y)5的展开式 在MATLAB命令窗口，输入命令： pascal(6),ans = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 252 其次对角线上的元素1，5，10，10，5，1即为展开式的系数。

5.2 矩阵分析,5.2.1 矩阵结构变换 1. 矩阵的转置 转置运算符是单撇号(') 2. 矩阵的旋转 矩阵的旋转利用函数rot90(A,k)，功能是将矩阵A旋转90º的k倍，当k为1时可省略 3. 矩阵的左右翻转 对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A) 4. 矩阵的上下翻转 对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)目录,,A=magic(3) A = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 fliplr(A) %将矩阵的列左右翻转 ans = 6 1 8 7 5 3 2 9 4, flipud(A) %将矩阵A的行上、 下翻转 ans = 4 9 2 3 5 7 8 1 6 rot90(A) %将矩阵A逆时针旋转90度 ans = 6 7 2 1 5 9 8 3 4,,5.2.2 矩阵的逆与伪逆 1. 矩阵的逆 求一个矩阵的逆非常容易求方阵A的逆可调用函数inv(A) 例5.4 用求逆矩阵的方法解线性方程组 命令如下： 一般情况下，用左除比求矩阵的逆的方法更有效，即x=A\b。

目录,, A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27]; b=[5,-2,6]'; x。