自动控制理论第三章课件.ppt

第3章——时域分析法 w3．．1 典型输入和阶跃响应性能指标典型输入和阶跃响应性能指标w3．．2 一阶系统的动态响应一阶系统的动态响应 w3．．3 二阶系统的动态响应二阶系统的动态响应 w3．．4 高阶系统分析高阶系统分析 w3．．5 稳定性和代数稳定判据稳定性和代数稳定判据w3．．6 系统稳态性能分析系统稳态性能分析 l 控制系统的数学模型建立之后，就可以分析控制系统的性能在经典控制理论中，常采用时城分析法、根轨迹法或频率响应法来分析并综合线性定常系统的性能l 时域（Time Domain）分析法是在一定的输入条件下，根据描述系统的微分方程或传递函数，使用拉氏变换直接求解在某种典型输入作用下，自动控制系统时域响应（Time Response）的表达式，从而得到控制系统直观而精确的输出时间响应曲线c(t)和性能指标（描述曲线来分析系统的稳定性、动态特性和稳态特性） 绪论l本章的内容是分析研究控制系统的动态性能和稳态性能系统动态性能可以通过在典型输入信号作用下控制系统的过渡过程来评价，主要分析研究一阶系统、二阶系统的过渡过程并对高阶系统的过渡过程作适当的介绍u进行时域分析的基本方法：重点是进行时域分析的基本方法：重点是判稳，动态性能指判稳，动态性能指 标，静态性能指标计算标，静态性能指标计算 u基本概念：基本概念：稳定性和动态性能、主导极点、稳态误差、稳定性和动态性能、主导极点、稳态误差、 串联校正、反馈校正等。

串联校正、反馈校正等 uRouth判据的应用判据的应用：利用：利用Routh判据判断系统稳定性、判据判断系统稳定性、 分析系统闭环极点的特征分析系统闭环极点的特征u二阶系统的典型性能指标：重点掌握二阶系统的典型性能指标：重点掌握调节时间、超调量调节时间、超调量 的计算的计算 u高阶系统时域分析：高阶系统时域分析：主导极点的概念主导极点的概念及用主导极点分析及用主导极点分析 系统系统 重点：u稳态误差的计算稳态误差的计算：： n判断系统型别：判断系统型别：0、、I、、II型系统？（用开环传递函数）型系统？（用开环传递函数） n多种输入信号下，系统稳态误差的计算多种输入信号下，系统稳态误差的计算n静态误差系数：和开环放大系数相关静态误差系数：和开环放大系数相关 3.1 典型输入和阶跃响应性能指标典型输入和阶跃响应性能指标 控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标两类为了求解系统的时间响应，必须了解输入信号（即外作用）的解析表达式然而，在一般情况下，控制系统的外加输入信号具有随机性而无法预先确定，因而在分析和设计控制系统时，需要有一个对控制系统的性能进行比较的基准，这个基准就是系统对预先规定的具有典型意义的试验信号，即典型输入信号的响应。

为评价控制系统的性能，需要选择若干典型输入信号典型输入信号w选取的典型输入信号的原则：选取的典型输入信号的原则： ① 典型性，能充分反映系统动态性能； ② 简单，便于分析，处理； ③ 能使系统工作在最不利情况下的输入信号w 设描述线性定常系统的闭环传递函数为φ(s)，R(s)表示给定输入的拉氏变换式，Y(s) 表示输出的拉氏变换式在零初始条件下有 Y(s) = φ(s) R(s) 对上式两边取拉氏反变换，得到系统输出的时域解 y(t)＝ L–1 [Y(s)] ＝ L–1[φ(s) R(s)]∴∴系系统统的的输输出出取取决决于于两两个个因因素素：：输输入入信信号号的的形形式式和和系系统统的结构即闭环传递函数的结构即闭环传递函数 一、典型输入信号一、典型输入信号1. 阶跃函数阶跃函数 0，t < 0定义：r (t) = A，t ≥ 0 w 称A为阶跃函数的阶跃值。

当A＝1时，称为单位阶跃函数，记作1（t）w 拉普拉斯变换 ： w如：给定输入电压接通、指令的突然转换、负荷的突变等，均可视为阶跃输入 r (t)A 阶跃函数2. 斜坡函数（或速度阶跃函数）斜坡函数（或速度阶跃函数）斜坡函数又称为速度函数，数学描述定义为r (t) 0，t < 0定义：r (t) = Bt，t ≥ 0 斜坡函数的微分为阶跃函数，它表示斜坡函数的速度变化，故称B为斜坡函数的速度阶跃值当B＝1时，称为单位斜坡函数拉普拉斯变换为 ：r(t) Btt 图3.2 斜坡函数3. 加速度函数（或抛物线函数）加速度函数（或抛物线函数） 定义：加速度函数的一次微分为斜坡函数，二次微分为阶跃函数二次微分表示抛物线函数的加速度变化，故称C为加速度阶跃值当C＝1时，称为单位加速度函数拉普拉斯变换为 ：图3-3 加速度函数 r (t) c t2t4. 脉冲函数脉冲函数 0， (t <0,t≥h) ，( 0 ≤ t < h )定义：r(t) =r (t)th 脉冲函数• 其中脉冲宽度为h，脉冲面积等于A，r (t)图形见上图。

若对脉冲的宽度h取趋于零的极限，则有 ∞ ，t = 0 r (t) = 及 0 ，t ≠ 0 •当A=1（h→0）时，称此脉冲函数为理想单位脉冲函数，记作δ(t) •理想单位脉冲函数的拉普拉斯变换为： 5. 正弦函数正弦函数 定义：r(t)＝A sinωt式中 A —— 振幅 ω —— 角频率 A图3-5 正弦函数二、阶跃响应性能指标、阶跃响应性能指标 w 控制系统的时域响应，从时间顺序上，一般划分为动态和稳态两个过程动动态态过过程程，又称为过渡过程或暂态过程，是指系统从初始状态到接近最终状态的响应过程稳稳态态过过程程是指时间t趋于无穷时的系统输出状态动态过程提供有关系统平稳性的信息 ， 用 动 态 性 能 描 述 （ Dynamic Performance Specification）；稳态过程表征系统的输出量最终复 现 输 入 量 的 程 度 ， 用 稳 态 性 能 Steady-State Performance Specification即稳态误差来描述。

初始状态为零的控制系统，典型输入作用下的输出，称为典型时间响应，如阶跃函数信号输入时，系统的输出称为阶跃响应通常，控制系统的动态性能都是以系统对单位阶跃的响应为依据来评价控制系统性能的优劣控制系统的典型单位阶跃响应曲线，如下图所示根据系统的单位阶跃响应曲线，采用一些数值型的特征参量这些特征参量又称为时域性能指标单位阶跃响应曲线1. 动态性能指标动态性能指标： 1））延迟时间延迟时间td ：响应曲线从零至第一次到达稳态 值的50%所需要的时间2）上升时间）上升时间tr －它有几种定义－它有几种定义：a.输出响应从稳态值的10%到90%所需时间b.输出响应从稳态值的5%到95%所需时间c.输出响应从零开至第一次到稳态值所需时间 一一般般对对有有振振荡荡的的系系统统采采用用c，，对对无无振振荡荡的的系系统统常常用用a3））峰峰值值时时间间t p ：响应曲线从零至第一个峰值所需要的时间4 4）调节时间）调节时间tsts ：响应曲线从零到达且以后不再超过稳态值的±5％或±2％误差范围所需最小时间调节时间又称为过渡过程时间。

5 5）最大超调量）最大超调量σσ％％ ：在系统响应过程中，输出量的最大值超过稳态值的百分数，σ％表示式为式中c（∞）为t→∞ 时的输出值6 6）振荡次数）振荡次数N N ：在调节时间内，c（t）偏离c（∞）的振荡次数 2. 稳态性能指标：稳态性能指标：稳态性能指标主要用稳稳态态误误差差e ss 描述稳态误差是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量稳定的控制系统，才会有稳态过程，此时讨论系统的稳态误差才有意义 单调变化的阶跃响应曲线只取调节时间ts作为动态性能指标  3.2 一阶系统的动态响应一阶系统的动态响应 一、一阶系统的时域数学模型一、一阶系统的时域数学模型 一阶系统的时域微分方程为 式中c（t）和r（t）分别为系统的输出、输入量；T为时间常数，具有时间“秒”的量纲，此外时间常数T也是表征系统惯性的一个主要参数，所以一阶系统也称为惯性环节惯性环节 由上式在初始条件为零时两边取拉氏变换，可得其闭环传递函数为 一阶系统的结构图 一阶系统的结构图R(S)C(S)R(S) — C(S)二、二、 典型输入响应典型输入响应 单位阶跃响应 输入r（t）＝1（t）、即R(S)＝1/S时，系统输出量的拉氏变换式为 h(t)=c（t）=1- e – t / T t≥0 输出响应由两部分组成。

一是与时间t无关的定值“1”，称为稳态分量；二是与时间t有关的指数项e – t / T ，称为暂态 (或动态、瞬态)分量当t→∞时，暂态分量衰减到零，输出量等于输入量，没有稳态误差（ess = 0）描点描点描点描点: : c c(0)=0(0)=0c c( (T T )=1-e )=1-e-1-1=0.632=0.632c c(2(2T T )=1-e )=1-e-2-2=0.865=0.865c c(3(3T T)=1-e)=1-e-3-3=0.95=0.95c c(4(4T T)=1-e)=1-e-4-4=0.98=0.98c c( (∞ ∞)=1 )=1 无振荡时无振荡时无振荡时无振荡时, ,按指数规律单调上升按指数规律单调上升按指数规律单调上升按指数规律单调上升由上述分析可知：时间常数T是表征系统响应的唯一参数，它与系统响应之间具有确定的对应关系例如t=T时，c（t）=0.632 ，t=2～4T时所对应的c（t）值如图所示系统响应曲线在t=0处的斜率最大，即： 一阶系统阶跃响应指标一阶系统阶跃响应指标 1. 稳定性 一阶系统单位阶跃响应是从一个稳态过渡到另一个稳态，因而它是一个绝对稳定（简称稳定）系统。

2. 动态指标 根据动态性能指标定义，可知一阶系统的阶跃响应没有超调量σ％和峰值时间tp调节时间ts T越小，调节时间ts 越小，响应过程的快速性也越好ts的取值为：ts＝3T ，(对应Δ= 5％误差带) ts＝4T ，(对应Δ= 2％误差带) 上升时间tr 3. 稳态指标例例3-1 一阶系统结构图如所示试求该系统单位阶跃响应的调节时间ts 若要求调节时间ts≤0.1（秒），试求系统的反馈系数应取何值? 解解 首先由系统结构图求得闭环传递函数 由闭环传递函数得到T = 0.1（秒） ts = 3T = 0.3（秒）(取Δ= 5％误差带) 其次，求满足ts≤0.1（秒）的反馈系数值 假定反馈系数为μ（μ>0），同样由系统结构图求得闭环传递函数 0.1R(S) _ C(S) 一阶系统结构图由上式闭环传递函数得到时间常数 T = 0.01/μ（秒）根据题意要求ts≤0.1（秒），则有 t s = 3T = 0.03/μ≤ 0.1（秒）所以 μ≥0.3单位斜波响应单位斜波响应输入r（t）＝t、即R(S)＝1/S2 时，系统输出量的拉氏变换式为c（t）= （t – T）+ T e – t / T t≥0 响应由两部分组成。

式中（t – T）和T e – t / T 分别为系统响应的稳态分量和暂态分量，当t→∞时，暂态分量衰减到零系统响应的初始斜率等于0，即一阶系统在单位斜波输入下的稳态输出，与输入的斜率相等，只是滞后一个时间T 显然一阶系统单位斜波响应具有稳态误差 ：单位脉冲响应输入r（t）＝ d d(t)、即R(S)＝1 时，系统输出量的拉氏变换式为 g(t)=c（t）=（1/T）e – t / T t≥0 特点特点:一阶系统对典型输入信号的响应响应r (t)c(t)δ（t） 1（t） t Ø从表可以看出：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由输出响应的初始条件确定这一重要特性适用于任何阶次的线性定常系统——线性定常系线性定常系统的重要特性统的重要特性  3.3 二阶系统的动态响应二阶系统的动态响应 凡是由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统在控制工程中的许多系统都是二阶系统，如电学系统、力学系统等即使是高阶系统，在简化系统分析的情况下有许多也可以近似成二阶系统。

因此，二阶系统的性能分析在自动控制系统分析中有非常重要的地位 一、二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型 其闭环传递函数为ωn为固有（自然）频率，或无阻尼振荡频率；ξ为阻尼比二、典型二阶系统的单位阶跃响应典型二阶系统的单位阶跃响应 设初始条件为零当输入量为单位阶跃函数时，输出量的拉氏变换式为系统的特征方程为 特征根分别为1.1.无阻尼无阻尼( (ξ= ξ= 0 )0 )状态状态 系统特征根为： s1，s2在s平面位置如下图所示，其输出量的拉氏变换式 上式两边取拉氏反变换，可得:c（t）=1–cosωn t t≥0 无阻尼时二阶系统的单位阶跃响应为等幅正弦振荡曲线，振荡角频率为ωn ξ= 0时特征根ξ= 0时二阶系统的单位阶跃响应曲线2. 2. 欠阻尼欠阻尼( 0 <ξ< 1 ) ( 0 <ξ< 1 ) 状态状态 系统特征根为: 输出量的拉氏变换式式中 —阻尼振荡角频率上式两边取拉氏反变换，可得 式中从上式可以看出，对应欠阻尼（0＜ξ＜1）时二阶系统的单位阶跃响应为衰减的正弦振荡曲线，其衰减速度取决于ξωn值的大小，其衰减振荡的频率便是阻尼振荡角频率ωd 。

当t→∞时，动态分量衰减到零，输出量等于输入量，c（∞）= 1  0<ξ<1时特征根 0<ξ<1时二阶系统的单位阶跃响应曲线c(t)0 0t1 1c(t) r(t)暂态分量是一个按指数曲线衰减的正弦振荡表达式，因此，该环节在 时，具有振荡的特点，称为振荡环节 是一条指数衰减曲线，它是二阶系统欠阻尼单位阶跃响应曲线的包络线（Envelope）ζωn的大小直接反映了正弦幅值衰减的快慢，因而，称其为衰减系数ωd是正弦振荡的频率，因与阻尼有关，所以称为有阻尼自然振荡角频率（Damped Frequency） 称为阻尼角（Damped Angle）从系统响应表达式来看，它由稳态分量和暂态分量组成稳态分量为1，稳态误差为零暂态分量是一个按指数曲线衰减的正弦振荡表达式 3. 3. 临界阻尼临界阻尼(ξ= 1 ) (ξ= 1 ) 状态状态 系统特征根为：输出量的拉氏变换式：上式两边取拉氏反变换，可得： 系统特征根分布和其响应曲线分别如下图中ξ= 1的曲线所示可以看出，阶跃响应曲线是单调上升的，且稳态值为1，这一特点与一阶系统相同。

因而，它是一个稳定的无差系统根据上升时间的定义，可计算出tr=3.358T 根据建立时间的定义，可计算出δ为0.05和0.02 时的调节时间分别为4.75T和5.84T显然其调节时间比一阶系统长ξ= 1时特征根二阶系统在单位阶跃函数作用下响应曲线4. 4. 过阻尼过阻尼(ξ> 1 ) (ξ> 1 ) 状态状态 系统特征根为 令 式中T1、T2称为过阻尼二阶系统的时间常数 上式表明，对应过阻尼(ξ> 1 )时二阶系统的单位阶跃响应包含两个单调衰减的指数项，过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是非振荡的当ξ>>1，T1>>T2时，后一项单调哀减的指数项衰减快，其对特性的影响小，可以忽略此时，二阶系统的输出响应就类似于一阶系统的响应，即二阶系统可视为一阶系统系统响应曲线和特征根分布分别如图上和下图所示ξ> 1时特征根当ζ≥2时，T1/T2很大，输出响应表达式的第二项的系数接近1，第三项的系数很小，因而，输出响应的表达式可近似一阶系统，即：当ζ≥2时，阶跃响应主要取决于极点s1自动控制原理中常称这样的极点为主导极点（Domainal Pole） 小结小结当0〈ζ〈1时，系统有一对实部为负的共轭复数，称为欠阻尼状态，系统时间响应具有振荡性；当ζ=1时，系统有一对相等的负实数，称为临界阻尼状态；当ζ﹥1时，系统有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。

临界阻尼状态和过阻尼状态下，系统时域响应均无振荡现象；当ζ=0时，系统有一对虚根，称为无阻尼状态，系统时间响应为等幅振荡曲线；当ζ﹤0时，系统有一对实部为正的共轭复根u二阶系统的响应特性完全由ζ和ωn决定，所以ζ和ωn是描述二阶系统重要的结构参数当ζ=0和ζ﹤0时，系统分别处于临界稳定状态和不稳定状态，系统响应无法跟随参考输入量变化，系统无法正常工作uζ=1和ζ>1时的系统响应均为单调上升的曲线，类似于一阶系统响应曲线，但其响应速度比一阶系统慢因而，工程上对于绝对不允许产生振荡的控制系统，为提高响应速度，常将一阶系统作为预期模型；而对于那些允许在调节过程中有适度振荡、希望有较快响应速度的控制系统，则将欠阻尼状态二阶系统作为预期模型，或者按与欠阻尼二阶系统具有相似特性的高阶系统设计 三、三、 典型二阶系统动态性能指标典型二阶系统动态性能指标 下面有关性能指标的讨论也仅限于欠阻尼状态二阶系统1.上升时间tr 根据上升时间的定义，当t ＝ tr时，c（tr）＝1．即在tr< ∞内， 所以只能， 由此式中 2.峰值时间tp 对下式两端对t 求导数，并令其等于零，可得：由于 于是上三角方程的解为：ωdtp =0，π，2π，3π，… 。

根据峰值时间定义，峰值时间是对应于出现第一个峰值的时间，所以应取ωdtp =π，即有 3.超调量σ％ 因为超调量发生在峰值时间上，所以将峰值时间表达式代入c(t)，得输出量的最大值：由于所以 根据超调量的定义，及单位阶跃响应稳态值c（∞）= 1，因此得最大超调量为上式表明，超调量σ％仅是阻尼比ξ的函数，与自然频率ωn无关 s s s s%%与与与与z z z z的关系曲线的关系曲线的关系曲线的关系曲线4.调节时间ts 按定义，调节时间ts是c（t）与稳态值c（∞）之间的偏差达到允许范围 (取5％ 或2％)且不再超过的过渡过程时间因此：如图所示.描述二阶系统的单位阶跃响应的包络线是1± ，动态的响应曲线总是在上、下包络线之间，为简便起见，用c(t)的包络线近似代替c(t)，上述式可改为 两边取自然对数得 ||≤Δ ||≤Δ分别取Δ=5％和2％ 5.振荡次数N 按定义，当系统响应曲线有振荡时，振荡次数N按下式计算式中 为阻尼振荡的周期时间 在上各种性能指标中，上升时间、峰值时间和调节时间都表示动态过程进行的快慢程度，是快动作性指标。

超调量和振荡次数反映动态过程振荡激烈程度，是振荡性指标，也称相对稳定性能 超调量和调节时间是反映系统动态性能好坏的两个最主要指标 四、二阶系统单位脉冲响应四、二阶系统单位脉冲响应g(t)g(t)g(t)是单位阶跃响应对时间的导数是单位阶跃响应对时间的导数是单位阶跃响应对时间的导数是单位阶跃响应对时间的导数例例3-2 有一位置随动系统，结构图如下图所示，其中K＝4求①该系统的阻尼比、自然振荡角频率和单位阶跃响应；②系统的峰值时间、调节时间和超调量；③若要求阻尼比等于0.707，应怎样改变系统放大系数K值解解 系统的闭环传递函数为 和标准式比较得： C(S)R(S) _ 例题3—2图要求ξ=0.707时， 从上可以看出，降低开环放大系数K值能使阻尼比增大、超调量下降，可改善系统动态性能但在以后的系统稳态误差分析中可知，降低开环放大系数将使系统的稳态误差增大  五、二阶系统性能的改善五、二阶系统性能的改善 在改善二阶系统性能的方法中，比例-微分控制和速度反馈是常用的两种方法1.比例-微分控制（PD控制） 比例-微分控制的二阶系统是在原典型二阶系统的前向通路上增加误差信号速度分量的并联通路TdS组成，结构图如下图所示。

e（t）误差信号，Td为微分器的时间常数 比例-微分控制系统C(S)R(S) _ Td S1+ E(S)在结构图中受控对象的输入信号成为误差信号与其微分信号的线性组合系统的开环传递函数为闭环传递函数为参照二阶系统标准式有由上式可见，引入比例-微分控制后，系统的无阻尼振荡角频率ωn不变，但系统的等效阻尼比加大了（ξd >ξ），从而使系统的调节时间缩短，超调量减小，抑制了振荡,改善了系统的动态性能 另外，由 表达式可看出，引入比例-微分控制后，系统闭环传递函数出现附加零点（S = -1/Td）闭环零点存在，将会使系统响应速度加快，削弱“阻尼”的作用因此适当选择微分时间常数Td ，既可以使系统响应不出现超调，又能显著地提高其快速性2.输出量的速度反馈控制 在原典型二阶系统的反馈通路中增加输出信号的速度分量反馈信号，结构图如下图所示e（t）为误差信号，Kf为输出量的速度反馈系数 速度反馈控制系统C(S)R(S) _ Kf S_E (S)系统的开环传递函数成为闭环传递函数为 由上式可见，引入速度反馈控制后，增加了 附加项，同样使系统的无阻尼振荡角频率ωn不变、等效阻尼比增大（ξd >ξ）,因而使系统的调节时间缩短，超调量减小，系统的平稳性得到改善。

但系统没有附加闭环零点的影响 例例3-3 对例3-2的位置随动系统引入速度反馈控制，结构图如下图所示，其中K＝10若要系统的等效阻尼比为0.5时，试确定反馈系数Kf的值，并计算系统在引入速度反馈控制前后的调节时间和超调量解解引入速度反馈控制前的闭环传递函数为:由题意当ξ = 0.158时，即引入速度反馈控制前的调节时间和超调量分别为 ： C(S)例题3—3图R(S) _ Kf S_E(S)当ξd = 0.5时，即引入速度反馈控制后的调节时间和超调量分别为：•上例计算表明，引入速度反馈控制后，调节时间减小、超调量下降，系统的动态性能得到改善 3.4 高阶系统分析高阶系统分析 w 凡是由三阶和三阶以上微分方程描述的系统，称为高阶系统w 在控制工程中的绝大多数系统都是高阶系统w 对于高阶系统来说，其动态性能指标的确定是比较复杂的工程上常采用闭环主导极点的概念对高阶系统进行近似分析，以便将高阶系统在一定的条件下转化为近似的一阶或二阶系统进行分析研究 一、典型三阶系统的单位阶跃响应一、典型三阶系统的单位阶跃响应 下面以在S左半平面具有一对共轭复数极点和一个实极点的分布模式为例，分析三阶系统的单位阶跃响应，其闭环传递函数的一般形式为：其中，(–P )为三阶系统的闭环负实数极点。

当0 <ξ< 1和输入为单位阶跃函数时，输出的拉氏变换式为 式中 三阶系统的单位阶跃响应曲线如下图所示（ξ= 0.5 ） 三阶系统单位阶跃响应曲线（ξ= 0.5 ）由于: 所以，不论闭环实数极点在共轭复数极点的左边或右边，即β不论大于1或是小于1， 项的系数总是负数由图可见，当系统阻尼比ξ不变时，随着增加的实数极点P向虚轴方向移动，即随着β值的下降，响应的超调量不断下降，而峰值时间、上升时间和调节时间则不断加长在β≤1时，即闭环实数极点的数值小于或等于闭环复数极点的实部数值时，三阶系统将表现出明显的过阻尼特性，类似于二阶系统的过阻尼情况 二、高阶系统的数学模型二、高阶系统的数学模型 高阶系统的微分方程式为式中，n≥3，n≥m ；系统参数(i＝0，)，2，…，n )、(j＝0，1，2，…，m )为定常值令初始条件为零式中 ；Pi(i＝0，1，2，…，n ) 称为系统闭环极点；Zj(j＝0，1，2，…，m ) 称为系统闭环零点 三、高阶系统的单位阶跃响应三、高阶系统的单位阶跃响应设n个闭环极点中，有n1 个实数极点．n2对共扼复数极点，且闭环极点与零点互不相等。

由于一对共扼复数极点形成一个s的二阶项，因此，上式的因式包括一阶项和二阶项故其可写为 式中 n1 + 2n2 = n当输入为单位阶跃函数时，高阶系统输出量的拉氏变换式为： 式中，A0为C(s)在原点处的留数，Al为C(s)在实数极点处的留数，其值为：  由上式可知，高阶系统的单位阶跃响应与一、二阶系统的形式相同，均由两个分量组成一是稳态分量“1”与时间t无关；二是与时间t有关的动态分量 ①若所有闭环极点都分布在S的左半平面，那么当时间t趋于无穷大时，动态分量都趋于零，系统的稳态输出量为“1”，等于输入量，这时，高阶系统是稳定的；只要有一个正极点或正实部的复数极点存在，那么当t趋于无穷大时，该极点对应的动态分量就趋于无穷大，系统输出也就为无穷大，这时系统是不稳定的 ②各分量衰减的快慢取决于指数衰减常数若闭环极点位于S的左半平面且远离虚轴越远，其对应的响应分量衰减得越越快；反之，则衰减越慢③各分量的幅值与闭环极点、零点在平面S中的位置有关： 若某极点的位置离原点很远，那么其相应的系数将很小所以，远离原点的极点，其动态分量幅值小、衰减快，对系统的动态响应影响很小 若某极点靠近一个闭环零点又远离原点及其它极点，则相应项的幅值较小，该动态分量的影响也较小。

工程上常把处于这种情况的闭环零点、极点，称之为偶极子，偶极子，一般地这对闭环零、极点之间的距离要比它们本身的模值小一个数量级偶极子对动态分量影响较小的现象，称之为零极点相消零极点相消 若某极点远离零点又接近原点，则相应的幅值就较大因此，离原点很近并且附近又没有闭环零点的极点，其动态分量项不仅幅值大，而且衰减慢，对系统输出量的影响最大四、高阶系统的分析方法四、高阶系统的分析方法 • 由高阶系统单位阶跃响应的求解过程和讨论可知，对高阶系统的分析是十分烦琐的事情如果再试图按性能指标的定义，求出高阶系统的性能指标解析式，将会更加麻烦因此，为简单和方便起见，常常采用主导极点的概念对高阶系统进行近似分析•主主导导极极点点的的概概念念 在高阶系统中，如果存在某个离虚轴最近的闭环极点，而其它闭环极点与虚轴的距离比起这个极点与虚轴的距离（实部长度）大5倍以上，且其附近不存在闭环零点，则可以认为系统的动态响应主要由这个极点决定称这个对动态响应起主导作用的闭环极点为主主导导极极点点对应地，其它的极点称为普通极点或非主导极点在高阶稳定系统中，主导极点往往是一对共轭复数极点，因为这可以得到系统最小的调节时间和较高的精度。

 根据主导极点的概念，在对高阶系统性能进行分析时，如果能找到一对共轭复数主导极点，那么高阶系统就可以近似地当作二阶系统来分析，并用二阶系统的性能指标公式来估计系统的性能；如果能找到一个主导极点，那么高阶系统可以按一阶系统来分析同样，在设计一个高阶系统时，也常常利用主导极点来选择系统参数，使系统具有一对共轭主导极点，以利于近似地用二阶系统的性能指标来定性分析高阶系统 若高阶系统不满足应用闭环主导极点的条件，则高阶系统不能近似为二阶系统这时高阶系统的过渡过程必须具体求解，其研究方法同一阶、二阶系统有时，对于不大符合存在闭环主导极点条件的高阶系统，可设法使其符合条件例如，在某些不希望的闭环极点附近引入闭环零点，人为地构成偶极子，产生零极点相消另外，在许多实际应用中，比主导极点距离虚轴远2～3倍的闭环零、极点，在某些条件下也可考虑为略去之列 由于数字计算机的发展和普及，特别是已经出现一些求解高阶微分方程的软件，如MATLAB等，容易求出高阶系统的输出解及绘制出相应的响应曲线例例3-4 某控制系统的闭环传递函数为①试绘出单位阶跃响应曲线，并求动态性能指标tr，tp，ts和σ％。

②用主导极点方法求解并对比解解 系统为三阶，其闭环传递函数可写为三个闭环极点分别为 s1，2 =–0.4±j0.69 , s 3 =–4.2三阶系统的实极点P和ξ，ωn为：P = s 3 =–4.2 ，ξ= 0.5 ，ωn = 0.8； 因此，  相应的单位阶跃响应曲线表示在图中由该图求得系统响应的各项性能指标：上升时间 tr＝3.2s峰值时间 tp＝4.6s调节时间 ts＝7.0s超调量 σ％＝16％ ②该系统的实数极点与复数极点实部之比为10.5，故复数极点S1，2 可视为主导极点三阶系统可用具有这—对复数极点的二阶系统近似近似的二阶系统闭环传递函数为 因此：tr＝3.03s，tp＝4.55s，ts＝7. 25s，σ％＝16.3％ C(t)例题3-4图实际的单位阶跃响应的指标： tr＝3.2s，tp＝4.6s，ts＝7.0s，σ％＝16％ 近似的单位阶跃响应的指标： tr＝3.03s，tp＝4.55s，ts＝7. 25s，σ％＝16.3％比较上两种方法所求到的性能指标，其数值都很接近这说明系统由于存在一对闭环主导极点，三阶系统可降阶为二阶系统进行分析，其结果不会带来太大的误差。

 3.5 稳定性和代数稳定判据 w 设计控制系统时应满足的性能指标要求有很多，但首要的要求是系统在全部时间范围内必须能稳定工作因为，一个控制系统一旦受到外界或内部扰动（如负载变化、电压波动等）就会偏离原来的工作状态；如果系统偏离平衡状态越来越远，当扰动消失后也不能恢复到原来的状态，显然这种系统是无法工作的，故稳定性是控制系统的重要性能，是系统能够正常工作的首要条件首要条件w 分析系统的稳定性，并提出保证系统稳定的条件，是设计控制系统的基本任务之一w 本节主要研究线性定常系统稳定的概念、控制系统稳定的充要条件和稳定性的代数判定方法  一、稳定的概念 w 任何控制系统在扰动作用下都会偏离平衡状态，产生初始偏差所谓稳定性就是指系统当扰动作用消失以后，由初始偏差状态恢复到平衡状态的性能若系统能恢复平衡状态，就称系统是稳定的；若系统在扰动作用消失以后不能恢复平衡状态，且偏差越来越大，则称系统是不稳定的w 下图（a）所示，一个小球放在一个凹面上，原平衡位置在A点，当小球受到外力偏离A点，如移到B点，当外力消除之后，小球经过来回几次振荡，最终回到原平衡位置，则小球系统是稳定的；反之，图（b）所示，将小球放在一个凸面上A´点，当小球受到外力，偏离原来的位置，外力消除之后小球也不能回到原来的位置，则小球系统是不稳定的。

系统在扰动作用消失后，能够随着时间的推移恢复原平衡状态的稳定性，称为渐渐渐渐近近近近稳稳稳稳定定定定性性性性渐近稳定性是线性定常系统的一种特征也就是说如果线性定常系统是稳定的，必定是渐近稳定的系统稳定性概念包括绝绝绝绝对对对对稳稳稳稳定定定定性性性性与相相相相对对对对稳稳稳稳定定定定性性性性绝对稳定性是指系统稳定与否，而相对稳定性是指在绝对稳定的前提下，系统稳定的程度 二、线性定常系统稳定的充分必要条件 上述稳定性定义表明，线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关因此，设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲 ，这时系统的输出增量为脉冲响应 这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡点的问题若 时，脉冲响应即输出增量收敛于原平衡点，则线性系统是稳定的1.推导设闭环传递函数 则 称为极点 处的留数 的充分必要条件是 是衰减函数， 具有负实部2.线性系统稳定的充分必要条件 系统特征方程的根（即系统的闭环极点）均为负实部和（或）具有负实部的共轭复数（也就是说，系统的全部闭环极点都在复数平面虚轴的左半部）。

3.确定系统稳定的方法 ① 一阶、二阶系统可以直接求解特征方程的根 ② 劳斯、奈氏、伯德图三、劳斯稳定判据 劳斯稳定判据是利用特征方程式的根与系数的关系，间接判断是否有位于复平面右半部的根，从而判别系统是否稳定 1.劳斯判据定理劳斯判据定理(Routh Stability Criterion) 设线性系统的特征方程为 则线性系统稳定的充要条件为特征方程的全部系数为正值，并且由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列的系数也为正值 劳斯阵的形式为劳斯阵的形式为 ┇ …… …… …… ……┇ ┇  劳斯阵的前两行由特征方程式的系数组成：第一行由第1、3、5 ……项系数组成；第二行由第2、4、6……项系数组成以下各行系数由下列公式计算： 在劳斯阵的第一行旁边注明sn，第二行旁边注明sn-1 ……上述计算一直进行到第n行，即旁边注有s1的行为止劳斯阵的排列成倒三角形 在展开劳斯阵列的过程中，可以用一个正整数去除或乘某一整行，不会改变所得的结论。

结论：劳斯表第一列元素符号改变的次数为具有正实部根的个数右极点，不包括临界极点） S3S2S1S0 ∴稳定的充要条件：①ai＞0，② a1 a2－ a0 a3＞0例例1 已知三阶系统的特征方程如下，试确定系统稳定的充要条件 解解 列劳斯表 ∴劳斯表的第一列系数有两次变号，故该系统是不稳定，且有2个正实部根 例例2已知线性系统的特征方程如下，试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性 解解 列劳斯表S4S3S2S1S0 1 3 52（1） 4 （2） 01 5 0-3 05 劳斯阵计算过程中的两种特殊情况：1）某行的第一列系数为零，而其余各系数不为零或不全为零这种情况下，在计算下一行时将得到无穷大，致使劳斯阵的计算工作无法继续进行或不好判别为了解决这个问题，可以用一个很小的正数来代替等于零的该第一列系数 2)某行的各系数全为零 这种情况下，劳斯表的计算工作也由于出现无穷大而无法继续进行为了解决这个问题，可以利用为零的那一行的上一行，构成一个辅助方程，再用辅助方程求导一次后的系数来代替系数为零的那一行。

辅助方程的解就是原特征方程的部分特征根，而且这部分特征根对称于原点，即必有虚根或右根因此系统是不稳定的S4S3S2S1S0 1 3 42 6 00(ε) 4 0(6ε-8)/ε 04 由于是很小的正数，所以(6ε-8)/ε为负数，则劳斯表第一列各元的符号改变了两次因此，系统不稳定，特征方程有两个右根例例3 试判别某系统的稳定性其特征方程为解解 列劳斯表S6S5S4S3S2S1S0 1 5 8 4 1 3 2 02 6 4 0 （辅助方程 ）0(8) 0(12) 0(0)将辅助方程求导一次，得 3 4 0 4/3 04求解 得： s1，2=±j；s3，4=±j 故所以系统不稳定，有两对共轭虚根 例例4 试判别某系统的稳定性。

设其特征方程为解解 列劳斯表4、劳斯、劳斯稳定判据的应用稳定判据的应用 分分分分析析析析系系系系统统统统参参参参数数数数变变变变化化化化对对对对稳稳稳稳定定定定性性性性的的的的影影影影响响响响（（（（用用用用劳劳劳劳斯斯斯斯稳稳稳稳定定定定判判判判据据据据确确确确定定定定系系系系统统统统个个个个别别别别参参参参数数数数的的的的取取取取值范围）值范围）值范围）值范围） KP：临界放大系数.使系统稳定的开环放大系数的临界值例例5 已知单位负反馈系统的开环传递函数为试确定使系统稳定的开环放大倍数K的取值范围解 闭环系统的特征方程为：根据劳斯稳定判据，系统稳定的充分必要条件是：使系统稳定的开环放大系数K的取值范围为：0

把 s=z-σ代入原系统的特征方程，得到以z为变量的新特征式应用劳斯判据于新的方程若满足稳定的充要条件，则该系统的特征根都落在新虚轴(s=-σ直线)的左半部分，即具有σ以上的稳定裕度b.举例：上例若要系统具有 以上稳定裕度量，试确定K解：解：将 代入原系统的特征方程，得 整理得根据劳斯判据，稳定的充要条件是则3.6 系统稳态性能分析 w 评价一个控制系统的性能时，应在系统稳定的前提下，对系统的动态性能与稳态性能进行分析如前所述，系统的动态性能用相对稳定性能和快速性能指标来评价而系统的稳态性能用稳态误差指标来评价，即根据系统响应某些典型输入信号的稳态误差来评价w 稳态误差反映自动控制系统跟踪输入控制信号或抑制扰动信号的能力和准确度稳态误差主要与系统的结构、参数和输入信号的形式有关  一、稳态误差的定义 1. 系统误差ε（t）定义为：系统响应的期望值c0（t）与实际值c（t）之差，即：w 通常以偏差信号 为零来确定希望值，即： 2. 系统误差e(t)定义为：系统给定输入量r(t)与反馈量b(t)之差，即：用这种方法定义的误差，又常称为偏差。

由于它是可以测量的，因而在应用中具有实际意义 从输出端定义的误差ε（s）与从输入端定义的误差E（s）具有一一对应的关系对于单位反馈系统ε（s）=E（s）  3. 稳态误差的定义为：当时间t→∞时，稳定系统误差的终值，用ess表示，即：  二、给定输入信号作用下的稳态误差 给定输入信号作用下的稳态误差（又称为跟随稳态误差）为：1. 单位阶跃信号输入时的稳态误差 设 r（t）=1（t），即：R（s）=1/s，则： 令 称为静态位置误差系数 则系统的稳态误差与静态位置误差系数的关系为 2．单位斜坡（单位速度阶跃）输入信号时的稳态误差设r（t）=t（t≥0），即R（s）= 1/s2，则：令 ，称为静态速度（稳态）误差系数单位斜坡输入信号时的稳态误差为： 3．单位抛物线输入信号时的稳态误差设 （t≥0），即 ，则：令 ，称为静态加速度（稳态）误差系数单位抛物线输入信号时的稳态误差为：上述三种误差系数定量地描述了系统在稳态误差与给定信号种类和大小之间的关系，统称为系统静态误差系数。

4.控制系统的型别系统的开环传递函数可以看成由一些典型环节组成，即：式中 K──系统的开环放大系数； ν──系统的型号； sν──系统开环传递函数中含有ν个积分环节  当ν=0时，称系统为 0型系统 当ν=1时，称系统为Ⅰ型系统 当ν=2时，称系统为Ⅱ型系统 当ν>2时，要使系统稳定是相当困难的，因此实际系统中几乎没有Ⅲ型或Ⅲ型以上的系统 系系统统型型别别静态误差系数静态误差系数阶跃输入阶跃输入斜坡输入斜坡输入加速度输入加速度输入0ⅠⅡⅢ不同型号系统的稳态误差与误差系数不同型号系统的稳态误差与误差系数由表可知：1．0型系统对单位阶跃输入信号的稳态误差为常数2．Ⅰ型系统单位阶跃输入信号的稳态误差为零3．Ⅱ型系统对单位阶跃输入信号和单位斜坡信号的稳态误差为零4．系统的型别越高，跟踪输入信号的能力越强所以系统的型别反映了系统对输入信号无差的度量，故又称为无差度如Ⅰ、Ⅱ型系统可以分别称为是对给定阶跃输入信号的一、二阶无差系统；而0型系统可以称为是对给定阶跃输入信号有差系统 三、扰动输入作用下的稳态误差 扰动输入信号作用下的稳态误差又称为扰动稳态误差，它等于扰动作用下稳态输出量的相反数。

图3-30中扰动量N1（s）、N2（s）作用点不同，现分别讨论它们对系统稳态误差的影响1. N1（s）作用下的稳态误差essn1 令R（s）=0、N2（s）=0时，误差传递函数为： 当N1（s）为单位阶跃响应时的稳态误差为：2. N2（s）作用下的稳态误差essn2 令R（s）=0、N1（s）=0时，误差传递函数为：当N2（s）为单位阶跃响应时的稳态误差为： 由上述分析可知，扰动输入时的稳态误差特点如下： 1) 若扰动作用点之前有一个积分环节，如N2（s），则阶跃扰动时的稳态误差为零 2) 若扰动作用点之前无积分环节，如N1（s），则阶跃扰动时的稳态误差不为零，其值与扰动作用点前的K1有关K1越大，则稳态误差越小，但相对稳定性将降低综合输入控制量和扰动量引起的系统稳态误差分析可知： 1) 对同一系统，由于作用量和作用点不同，其跟随稳态误差和扰动稳态误差是不同的对恒值自动控制系统来讲，后者是主要的；而对随动自动控制系统来讲，前者是主要的 2) 跟随稳态误差essr与前向通道的积分环节数目ν和开环增益K有关若ν愈大（但ν一般不大于2），K愈大，则跟随稳态误差essr愈小。

对跟随信号而言，系统为ν型 3) 扰动稳态误差essn与扰动作用点前的前向通道积分环节数目ν1和增益K1有关若ν1愈大（但ν一般不大于2），K1愈大，则扰动稳态误差essn愈小对扰动信号而言，系统为ν1型 四、提高稳态精度的措施 • 从以上分析可知，要减小系统的稳态误差，可以①①增增大大系系统统开开环环增增益益或②②增增加加前前向向通通道道串串联联的的积积分分环环节节数数目目但一般系统的串联积分环节不能超过两个，开环增益过大会使系统动态性能变坏，甚至使系统不稳定为了解决这一问题，可以采用复合控制（或称顺馈控制，前馈控制），对误差进行补偿 1．按给定输入补偿的复合控制 G2(s)Gc(s)R(S) - C(S) E(S) + G1(s)则 全补偿（完全不变性）条件可以看出，由于输出量完全复现了输入信号，因而系统具有理想的跟随性能上述系统实现全补偿较困难，特别是参数的变化和元件的非线性因素可能导致全补偿条件的破坏但可以实现近似的全补偿（欠补偿），大幅度地提高系统的抗扰性能或跟随性能2．按扰动补偿的复合控制 应用前馈控制补偿扰动输入引起的误差的系统结构图如下图所示。

这种补偿方法的前提是该扰动量是系统主要的扰动量，且该扰动量是可测的它通过以设计好的补偿装置Gc(s)经过补偿通道来控制和抵消扰动对系统输出的影响给定误差为 当满足 ，系统的输出完全不受扰动的影响 ，实现全补偿五、用动态误差系数法计算五、用动态误差系数法计算ess静静静静态态态态误误误误差差差差系系系系数数数数法法法法只只只只反反反反映映映映误误误误差差差差极极极极限限限限值值值值, ,动动动动态态态态误误误误差差差差系系系系数数数数法法法法可可可可研究任意输入信号引起的误差随时间的变化规律研究任意输入信号引起的误差随时间的变化规律研究任意输入信号引起的误差随时间的变化规律研究任意输入信号引起的误差随时间的变化规律. .将将将将 F FF Fe e(s)(s)在在在在 s=0 s=0 的邻域内展开成泰勒级数的邻域内展开成泰勒级数的邻域内展开成泰勒级数的邻域内展开成泰勒级数给定误差传递函数给定误差传递函数给定误差传递函数给定误差传递函数对上式取拉氏反变换，得对上式取拉氏反变换，得对上式取拉氏反变换，得对上式取拉氏反变换，得稳态误差的时域表达式稳态误差的时域表达式稳态误差的时域表达式稳态误差的时域表达式令动态误差系数令动态误差系数令动态误差系数令动态误差系数稳态误差稳态误差稳态误差稳态误差 C C0 0为动态位置误差系数为动态位置误差系数为动态位置误差系数为动态位置误差系数; C; C1 1为动态速度误差系数为动态速度误差系数为动态速度误差系数为动态速度误差系数; ; C C2 2为动态加速度误差系数。

为动态加速度误差系数为动态加速度误差系数为动态加速度误差系数当系统阶次较高，用上述式子确定误差系数当系统阶次较高，用上述式子确定误差系数当系统阶次较高，用上述式子确定误差系数当系统阶次较高，用上述式子确定误差系数C Ci i不方便不方便不方便不方便, ,可采用如下简便方法可采用如下简便方法可采用如下简便方法可采用如下简便方法 将将将将F FF Fe e(s)(s)写成按写成按写成按写成按s s多项式比值形式多项式比值形式多项式比值形式多项式比值形式( (按按按按s s的升幂排列写的升幂排列写的升幂排列写的升幂排列写), ),用长除法得到一个用长除法得到一个用长除法得到一个用长除法得到一个s s的升幂级数的升幂级数的升幂级数的升幂级数F FF Fe e(s) = C(s) = C0 0+ C+ C1 1s + Cs + C2 2s s2 2 + C+ C3 3s s3 3 + +‥‥‥‥于是有于是有于是有于是有E(s)= E(s)= F FF Fe e(s)R(s) = (C(s)R(s) = (C0 0+C+C1 1s+Cs+C2 2s s2 2+C+C3 3s s3 3+‥‥)R(s)+‥‥)R(s)例：已知单位反馈系统开环传函例：已知单位反馈系统开环传函例：已知单位反馈系统开环传函例：已知单位反馈系统开环传函G(s),G(s),若若若若r(t)=sin5t,r(t)=sin5t,求求求求 e essss(t (t) )。

解解解解【【【【例例例例3-143-14】】】】已知两系统的开环传递函数分别为已知两系统的开环传递函数分别为已知两系统的开环传递函数分别为已知两系统的开环传递函数分别为解：解：解：解：两系统静态误差系数相同两系统静态误差系数相同两系统静态误差系数相同两系统静态误差系数相同1. 1.两系统动态误差系数不相同两系统动态误差系数不相同两系统动态误差系数不相同两系统动态误差系数不相同2. 2.3. 3.对系统对系统对系统对系统1 1：：：：则则则则 对系统对系统对系统对系统2:2:可见，当可见，当可见，当可见，当A2A2不等于零时，尽管在不等于零时，尽管在不等于零时，尽管在不等于零时，尽管在t t趋向无穷大时，两个系趋向无穷大时，两个系趋向无穷大时，两个系趋向无穷大时，两个系统的稳态误差将趋于无穷大，但是在这个过程当中，两统的稳态误差将趋于无穷大，但是在这个过程当中，两统的稳态误差将趋于无穷大，但是在这个过程当中，两统的稳态误差将趋于无穷大，但是在这个过程当中，两者的稳态误差是不同的，后者要大于前者者的稳态误差是不同的，后者要大于前者者的稳态误差是不同的，后者要大于前者者的稳态误差是不同的，后者要大于前者。

小小 结结 1.系统稳定与否用系统的（绝对）稳定性来衡量判断线性定常系统稳定性的充要条件是：闭环传递函数的极点均处于s平面的左侧 2．劳斯判据→①判稳定性；②确定稳定时系统的参数 3.控制系统的性能指标包括稳态指标（ess）和动态指标而动态指标是指阶跃响应的上升时间tr 、峰值时间tP、振荡次数N 、最大超调量σ%、调节时间ts等，并以后两个最为常用典型一、二阶系统的动态性能指标σ%和ts等与系统的参数有严格的对应固关系 3．稳态误差essr与前向通道的积分环节数目ν和开环增益K有关而扰动稳态误差essd与扰动作用点前的前向通道积分环节数目ν1和增益K1有关。