离散数学-3-3 包含与排斥原理.ppt

第三章 集合与关系3-3 包含与排斥原理 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@1一、有限集的计数n一个集合若其组成集合的元素个数是有限 的，则称作有限集n设A1、A2为有限集，其元素个数分别记为|A1| ，|A2|nP96有限集记数有如下几个性质：na）|A1∪A2| ≤ |A1|+|A2|nb）|A1∩A2| ≤min( |A1|,|A2|)nc）|A1―A2 | ≥ |A1|― |A2|nd）| A1⊕A2| = |A1|+|A2|―2 | A1∩ A2|n以上公式可以通过文氏图直接得到说明2二、容斥原理n定理3-3.1 设A1，A2为有限集合，其元素 个数分别为|A1|，|A2|，则 |A1∪A2| = |A1|+|A2| ―| A1∩ A2| A2A1EA1∩ A23二、容斥原理n定理 设A1，A2，A3为有限集合，其元素个数分 别为|A1|，|A2|， |A3|则有 |A1∪A2 ∪A3 | = |A1|+|A2| +|A3| ―| A1∩ A2| ―| A1∩ A3| ―| A2∩ A3| + | A1∩ A2 ∩ A3 | 4二、容斥原理A1A2A3A1∩ A2A1∩ A3 A2 ∩ A3 A1∩ A2∩ A35二、容斥原理例 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。

已知修这三门课的学生分别有170、130、120人； 同时修数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、化学的20人；同时修物理化学的22人同时修三门的3人 问这学校共有多少学生？6二、容斥原理例 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学已知修这三门课的学生分别有170、130 、120人；同时修数学、物理两门课的学生45人； 同时修数学、化学的20人； 同时 修物理化学的22人同时修三门的3人问这学校共有多少学生？ 解：令 M为修数学的学生集合；P 为修物理的学生集合；C 为修化学的学生集合；则：书例 P96 例题1、27二、容斥原理n定理 设A1，A2 ，A3 ，A4为有限集合，其元素个 数分别为|A1|，|A2| ，|A3| ，|A4| ，则 |A1∪A2 ∪A3 ∪A4 | = |A1|+|A2| +|A3| +|A4| ―| A1∩ A2| ―| A1∩ A3| ―| A1∩ A4| ―| A2∩ A3| ―| A2∩ A4| ―| A3∩ A4| +| A1∩ A2 ∩ A3 | +| A2∩ A3∩ A4 | +| A1∩ A3∩ A4 | +| A1∩ A2 ∩ A4 | ―| A1∩ A3 ∩ A2∩ A4|8二、容斥原理n P97 定理3-3. (推广到n个有限集情况） 设A1,A2 , … , An为有限集合，其元素个数分别为 |A1|，|A2| , … ,|An| ，则 |A1∪A2 …An | n = ∑|Ai|―∑| Ai∩ Aj|+ ∑ | Ai∩ Aj ∩ Ak | + … +(-1)n-1 | A1∩ A2 ∩ …∩ An| n 证明：P989练习例 求从1到500的整数中能被3或5除尽的数的 个数。

10练习例 求从1到500的整数中能被3或5除尽的数的 个数解：令A为从1到500的整数中被3除尽的数的集合，B为 被5除尽的数的集合被3或5除尽的数的个数为11练习P99 书例3 例 求不超过120的素数个数 提示：因 ，故不超过120的合数是2、3、5、 7的倍数，而且不超过120的合数的因子不可能都 超过11 设 Ai 为不超过120的数i 的倍数集， i=2，3，5，712练习例 求不超过120的素数个数 解：13练习14练习注意：27并非就是不超过120的素数个数，因为这里 排除了2，3，5，7着四个数，又包含了1这个非素 数2，3，5，7本身是素数故所求的不超过120 的素数个数为：27+4-1=3015本课小结n有限集计数 n包容排斥原理16作业 nP100 （3）17。