高中数学椭圆经典例题详解.docx

椭圆标准方程典型例题例1已知椭圆mx2+3y2-6m二0的一个焦点为（0,2）求m的值.分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c二2，根据关系a2=b2+c2可求出m的值.x2y2解:方程变形为三+=1.因为焦点在y轴上，所以2m>6，解得m>3.62m又c二2，所以2m一6=22，m二5适合.故m二5.例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P（3,0）,a=3b，求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b（或a2和b2）的值，即可求得椭圆的标准方程.解:当焦点在x轴上时，设其方程为—+鼻=1（a>b>0）.a2b2由椭圆过点p6o）,知？+丄=1.又a=3b，代入得b2=1，a2=9，故椭圆的方程为+y2=1.a2b29当焦点在y轴上时，设其方程为+—=1^a>b>0）.a2b2由椭圆过点p6o）,知—+—=1.又a=3b，联立解得a2=81，b2=9，故椭圆的方程为刍~+—=1.a2b2819例3AABC的底边BC=16，AC和AB两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹.分析：（1）由已知可得|GC+|GB|=20，再利用椭圆定义求解.（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程.解:（1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系.设G点坐标为G,y），由|GC|+|GB|=20,知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点.因a二10，c二8，有b二6，故其方程为+鼻=丰0）•10036(2)设aG，y)，G(x,yJ,则羔+耸=1(y~0).①10036x=1（y丰0）,其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）.x—,3x2y2代入①，得a的轨迹方程为丽+324y，—3，过p点作焦点所在轴例4已知p点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点p到两焦点的距离分别为¥和¥的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两焦点为F「F2，且|PF」二竽，\PF2\二半•从椭圆定义知2a二|PFJ+|pf2I二2器.即a=■从lPFJ>lPF2l知第垂直焦点所在的对称轴，所以在恥尸丁中PFsinZPFF=212PF112'兀2^5可求出"FT-,2c二門卜C0S-=~3，从而b6<3102=a2—c2=—3…,X23y23x2y2•°•所求椭圆方程为丁+io=1或to+丁=1-例5已知椭圆方程+*=1（a>»>o），长轴端点为A1，A2,焦点为%椭圆上一点，ZAPA，ZFPF二a.求：AFPF的面积（用a、b、121212分析：求面积要结合余弦定理及定义求角a的两邻边，从而利用Sa=2absinC求面积.解：如图，设P（x,y），由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限.由余弦定理知:由椭圆定义知:IffI2=PfI2+1112111PF|2—2PF・PFcosa=4c2.2PF+PF=2a12②，则②2—①得2b2門•叫=1+cosa故SAF1PF2sina12b2.sina21+cosa=b2tan、.例6已知动圆P过定点A（-3,0）,且在定圆B：G—3》+y2=64的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程.分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式.解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M.动点P到两定点，即定点A（—3,0）和定圆圆心B6,0）距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|+|PB|=|PM|+PB=IBM=8.・•.点P的轨迹是以A，B为两焦点,半长轴为4,半短轴长为b=韶2-32=打的椭圆的方程：尊+等=1.167说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例7已知椭圆亍+y2=1,（i1）（1）求过点p-,且被p平分的弦所在直线的方程；V22丿2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过A（2,1）引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足k-k=-}-OpOQ2求线段PQ中点M的轨迹方程.2分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为M（x,X2+2y2=2x2+2y2=2<22x+x=2x,12y+y=2y,'12①②③④y),N(x,y)，线段MN的中点R(x,y)，贝y122①一②得(x+x)(x—x)+2(y+y121212由题意知x1丰x2，则上式两端同除以x1-x2，有)(y-y)=012:+x)2(y+y121)y^=o,2x-x12（1）将x=2,y=2代入⑤，得将③④代入得x+2y£2=0•⑤x-x122，故所求直线方程为：2x+4y—3=0•⑥y—y12x—x12将⑥代入椭圆方程x2+2y2=2得6y2—6y—=0，A=36—4x6x>0符合题意，2x+4y—3=0为所求.442)将当二£=2代入⑤得所求轨迹方程为:x—x12x+4y=0•（椭圆内部分）3)y—yy—1将——2=代入⑤得所求轨迹方程为:x—xx—212x2+2y2—2x—2y=0•(椭圆内部分)4)x2+x2由①+②得：-——+(y12+y22)=2⑦，将③④平方并整理得x2+x2=4x2—2xx，1212⑧，y12+y22=4y2—2y1y212将⑧⑨代入⑦得：4+(4y2-2y1y2)=2,4x2—2xx1-^再将y1y2=-2x1x2代入⑩式得:2x2—xx+4y2—2—12=2，y2x2+〒=1.(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点?此即为所求轨迹方程.当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决.例8已知椭圆4x2+y2二1及直线y二x+m.2_^0(2)若直线被椭圆截得的弦长为二厂，求直线的方程.解：(1)把直线方程y=x+m代入椭圆方程4x2+y2=1得4x2+(x+m\=1,即5x2+2mx+m2一1=0.A=(2m》一4x5xCm2一1)=一16m2+20>0，解得一

得交点M的坐标为(一5,4).此时|MF^|+MFJ最小.所求椭圆的长轴：2a=|MF|+|MF|=|FF|=^5a=3.-'5，又c=3,b2=a2一c2=(15)-32=36.因此，所求椭圆的方程为丁^+~t=1.4536x2y2例10已知方程厂5+子=-1表示椭圆，求k的取值范围.^5*3k-5<0,解：由<3-k<0,得3b>0这个条件，当a=b时，并不表示椭圆.例11已知x2sina—y2cosa二1(0丄>0.cosasinasinacosa兀3因此sina>0且tana<—1从而ae(一，兀).24说明：(1)由椭圆的标准方程知丄>0，-」>0，这是容易忽视的地方.sinacosa(2)由焦点在y轴上，知a2，b2=—.(3)求a的取值范围时，应注意题目中的条件00，n>0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程.解:设所求椭圆方程为mx2+ny2二1(m>0，n>0).由A(“3,—2)和B(-2打，1)两点在椭圆上可得m-(J3)2+n-(—2)2=1,「3m+4n二1,11x2y2<即.所以m=77，n=g.故所求的椭圆方程为頁+?=1.m-(—2/)2+n-12=1,[12m+n=1,155155例13知圆x2+y2=1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹.分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题.这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x,y)，则x=0，y=y.0020因为P(x,y)在圆x2+y2=1上，所以x2+y2=1.0000将x=2x,y=y代入方程x2+y2=1得4x2+y2=1.所以点M的轨迹是一个椭圆4x2+y2=1.0000说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为(x,y)，设已知轨迹上的点的坐标为(x,y)，然后根据题目要求，使x，y与x，y建立等式关系，0000从而由这些等式关系求出x和y代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x，y的方程，00化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握.兀，例14已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F作倾斜解为一的直线交椭圆于A，13B两点，求弦AB的长.分析：可以利用弦长公式|AB|=J1+k2阻-xj=J(1+k2)[(x^x2)2—42寸求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.|AB|=』1+k2|x1—xj=p(l+k2)[(x1+x2)2—AxfJ.因为a=6，b=3，所以c=3^3.因为焦点在x轴上,所以椭圆方程为—+咯=1，左焦点F(-3占，0)，从而直线方程为y=它3x+9.369由直线方程与椭圆方程联立得：13x2+72勇x+36X8=0•设x1，x2为方程两根，所以x1+x2一舌,36x8xx=1213从而|AB|=£1+k2x—x|=J(1+k2)[(x+x)2—4xx]1'12124813(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为36+=1，设lAF11=m，lBFJ=n，则lAFJ=12—m，lBFJ=12—n。