2017上半年教师资格 证考试《数学学科知识与教学能力》(高级中学).pdf

文档来源：准题库 APP 20172017 上半年教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》( (高级中学) ) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑错选、多选或未选均无分 1. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 2.下列矩阵所对应的线性变换为旋转变换的是( ) A. 文档来源：准题库 APP B. C. D. 【答案】D 【解析】 3. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】所求柱面的母线平行于 x 轴，则柱面方程中不含参数 x，通过题中的方程组，消去 x 即可得到 C 选项 4.若ƒ(x)是连续函数，则下列命题不正确的是( ) A. 文档来源：准题库 APP B.ƒ(x)有无穷多个原函数 C. D. 【答案】A 【解析】 ƒ(x)的原函数不唯一 5. A.P(B)P(A\B) D.P(A)≥P(A\B) 【答案】B 【解析】 6. A. 文档来源：准题库 APP B. ， ， C. ， ， D. ， ， 【答案】C 【解析】 7.与意大利传教士利玛窦共同翻译了《几何原本》(I-Ⅵ卷)的我国数学家是( )。

A.徐光启 B.刘徽 C.祖冲之 D.杨辉 【答案】A 【解析】 明朝末年，《原本》传人中国1606 年，由我国数学家徐光启执笔，意大利传教士利玛窦口译，合作翻译了《原本》的前六卷，并于 1607 年在北京印刷文档来源：准题库 APP 出版这是我国最早的汉译本，在翻译时，徐光启在“原本”前加上了“几何”一词.“几何原本”一词由此而来 8.“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，这个定义方式属于( ) A.公理定义 B.属加种差定义 C.递归定义 D.外延定义 【答案】B 【解析】 A 项公理定义是由数学公理而对被定义项进行定义，如概率的公理化定义；B 项属加种差定义是由被定义概念的邻近的属和种差所组成的定义，即“邻近的属+种差=被定义概念”，题干中“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，它邻近的属为平行四边形，种差为其一角为直角；C 项递归定义也称归纳定义，是指用递归的方法给一个概念下定义，它由初始条件和归纳条件构成；D 项外延定义是指通过揭示属概念所包括的种概念来明确该属概念之所指的定义，如有理数和无理数统称实数 二、简答题(本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分) 9.已知椭球面方程 2x2+y2+3z2=6。

文档来源：准题库 APP (1)求椭球面上点 M(1，1，1)处的切平面方程；(4 分) (2)当 k 为何值时，所求的切平面与平面 5x+ky-4z=0 相互垂直3 分) 【答案】 【解析】 (1)令 F(x，y，z)= ，对 F(x，y，z)分别求 x,y，z 的偏导数 (x，y，z)=4x， (x，y，z)=2y， (x，y，z)=6z 代入 M(1，1，1)点，得到该点处的法向量为(4，2，6)利用点法式方程，则切平面方程为4(x-1)+2(y-1)+6(z-1)=0 (2)由(1)知，切平面方程为 4(x-1)+2(y-1)+6(z-1)=0，则切平面法向量为(4，2，6)平面 5x+ky-4z=0 法向量为(5，k，-4)由两平面垂直，得到 4×5+2×k+6×(-4)=0，解得 k=2 10. 已知向量组 =(2，1，-2)， =(1，1，0)， =(t，2，2)线性相关 (1)求 t 的值；(3 分) (2)求出该向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示4 分) 【答案】 【解析】 文档来源：准题库 APP 11.有甲、乙两种品牌的某种饮料，其颜色、气味及味道都极为相似，将饮料放在外观相同的 6 个杯子中，每种品牌各 3 杯，作为试验样品。

(1)从 6 杯样品饮料中随机选取 3 杯作为一次试验，若所选饮料全部为甲种品牌，视为成功独立进行 5 次试验，求 3 次成功的概率；(5 分) (2)某人声称他通过品尝饮料能够区分这两种品牌现请他品尝试验样品中的 6 杯饮料进行品牌区分，作为一次试验若区分完全正确，视为试验成功他经过 5 次试验，有 3 次成功，可否由此推断此人具有品尝区分能力?说明理由2 分) 【答案】 【解析】 (2)该品尝者具备区分能力理由：由(1)可知此随机试验成功的概率大概为千分之一，是小概率事件，基本可以排除偶然性，故此人具备区分两种品牌饮料的能力 文档来源：准题库 APP 12.《普通高中数学课程标准(实验)》用行为动词“了解”“理解”“掌握”“应用”等描述知识与技能目标，请解释“了解函数奇偶性”的具体含义 【答案】 【解析】 行为动词“了解”的含义：从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象了解函数奇偶性”的含义：学生能够知道函数奇偶性的定义，奇函数定义域关于原点对称，函数图像关于原点对称，满足ƒ(-x)=-ƒ(x)；偶函数定义域关于原点对称，函数图像关于 y 轴对称，满足ƒ(-x)= ƒ(x)。

能够通过解析式或图像判断函数的奇偶性，判断哪些函数是奇函数，哪些函数是偶函数，以及非奇非偶函数，并能够举出一些函数奇偶性的例子 13.书面测验是考查学生课程目标达成状况的重要方式，以“数列”一章为例，说明设计数学书面测验试卷应关注的主要问题 【答案】 【解析】 (1)对于学生基础知识和基本技能达成情况的评价，必须要准确把握课程内容中的要求学生在学习数列这一章的时候应该掌握数列的概念，等差数列的概念、等差数列的通项公式及前 n 项和计算方法，等比数列的概念、等比数列的通项公式及前 n 项和计算方法所以在设计题型的时候，涵盖的知识点应包括以上知识点，达到全面性要求.以便宏观了解学生对本章知识的掌握程度 文档来源：准题库 APP (2)在设计试题时，应该关注并且体现学生对数感、运算能力、推理能力以及应用意识和创新意识等考查测试中应该包含数列的计算、求解数列通项公式常用方法(如“倒序相加法”“错位相减法”“裂项相消法”等)的使用以及常见的证明题、探究题等题目，可对学生能力进行全方位考查 (3)根据评价的目的合理设计试题的类型，有效地发挥各种类型题目的功能题型练习多样化，要有选择、填空、判断、解答、证明等常规性试题。

同时可设置观察寻找数列数字规律、运算规律等探索性试题还可以联系生活实际将数列问题的运算融入日常生活中，设置实践性问题等 (4)在书面测验中，积极探索可以考查学生学习过程的试题，了解学生的学习过程试题的设计要有难度也要有区分度.照顾到不同学习层次的学生，以便了解全体学生对本章知识掌握的程度，指导今后的教学工作测验学习结果的同时更要测验到学生由不会到会的学习过程 三、解答题(本大题 1 小题，10 分) 14. (1)F(x)在[a，b]上连续；(5 分) (2)F(x)在[a，b]上可导，且 F´(x)=ƒ(x)5 分) 【答案】 【解析】 文档来源：准题库 APP 四、论述题(本大题 1 小题，15 分) 15.推理一般包括合情推理与演绎推理 (1)请分别阐述合情推理与演绎推理的含义；(6 分) (2)举例说明合情推理与演绎推理在解决数学问题中的作用(6 分)，并阐述二者间的关系3 分) 【答案】 【解析】 (1)合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。

文档来源：准题库 APP (2)在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆由于球与圆在形状上有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测圆的一些特征，球也可能有圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径，类比：对于球，我们推测可能存在这样的平面，与球只交于一点，该点到球心的距离等于球的半径平面内不共线的 3 个点确定一个圆，类比：猜想空间中不共面的 4 个点确定一个球等 演绎推理是数学中严格证明的工具，在解决数学问题中起着重要的作用三段论”是演绎推理的一般模式，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的例如，三角函数都是周期函数，sinx 是三角函数，因此推导证明出该函数是周期函数又如，这样一道问题“证明函数ƒ(x)=-x2+2x 在(-∞，1)上是增函数”大前提是增函数的定义，小前提是推导函数ƒ(x)在(-∞，1)上满足增函数的定义，进而得出结论 合情推理从推理形式上看，是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。

从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论～定正确就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理因此，合情推理与演绎推理是相辅相成的 文档来源：准题库 APP 五、案例分析题(本大题 1 小题，20 分)阅读案例，并回答问题 16.案例： 在学习《平面向量》后，某数学教师安排了如下一道选择题： 若非零向量 a，b 满足|a-b|=|b|，则( ) A.|2b|>|a-2b| B.|2b||2a-b| D.|2a|0，故|2b|>|a-2b|，选 A 学生 2：因为|a-b|=|b|，所以(a-b)(a-b)=b·b，a·a-2a·b+b·b=b·b，所以a·a=2a·b，所以 a=2b，故|a-2b|=0由于 b 是非零向量，所以|2b|>0，故|2b|>|a-2b|，选 A 学生 3：因为|a-b|=|b|，所以|a-b|2=|b|2，|a|2-2|a||b|+|b|2=|b|2，|a|2=2|a||b|，所以|a|=2|b|，故|a-2b|=0。

由于 b 是非零向量，所以|2b|>0，故|2b|>|a-2b|，选 A 问题： 文档来源：准题库 APP (1)如果你是这位数学教师，请指出这三种解法存在的错误；(9 分) (2)请你从已知条件|a-b|=|b|出发，通过数形结合，引导学生给出一种正确的解法；(5 分) (3)针对学生在向量运算中的错误，请写出实数运算与向量运算的不同点(至少写出三点)6 分) 【答案】 【解析】 (1)学生 1 在解答过程中只关注了 a-b 与 b 同向与反向时，在两个向量模长相等时 a 与 b 满足的关系，但是忽略了 a-b 与 b 两个向量不共线的情况学生2 在解答过程中虽然注意到向量模长的性质即|a|2=a·a，但是在化简过程中把向量的数量积与实数的乘法产生了混淆，忽略了向量数量积的性质，即a·b=|a|·|b|cosθ，其中θ为两向量的夹角学生 3 在解答过程中把向量的数量积当作实数相乘，忽略了向量数量积的性质，即 a·b=|a|·|b|cosθ，其中θ为两向量的夹角 (2)向量的线性运算不仅涉及向量的长度还涉及向量的方向因此提出以下问题串引导学生思考 问题 l：向量在进行线性运算加减法的时候，满足什么样的运算法则呢? 问题 2：三角形法则与平行四边形法则。

两种方法在计算的过程中应根据向量的何种特征进行合理的选择呢? 文档来源：准题库 APP 问题 3：现在我们将 a 与 b 分两种情况进行讨论：①两向量有相同起点时，②两向量首。