于玲玲结构力学第二章__静定结构的受力分析.doc

0第二节第二节 静定平面桁架静定平面桁架 一、桁架的内力计算中采用的假定 （1）桁架的结点都是光滑的铰结点； （2）各杆的轴线都是直线并通过铰的中心； （3）荷载和支座反力都作用在结点上 二、桁架的分类 （1）简单桁架：由基础或一基本三角形开始，依次增加二元体形成 （2）联合桁架：由几个简单桁架按几何不变体系的组成规则形成 （3）复杂桁架：不属于前两类的桁架 三、桁架的内力计算方法 1、结点法、结点法 取结点为隔离体，建立平衡方程求解的方法，每个结点最多只能含有两个未知力该法最适用于 计算简单桁架 根据结点法，可以得出一些结点平衡的特殊情况，能使计算简化： （1）两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都为零（图 2-2-1a） （2）三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则第三杆是零杆，而共线的两杆内力大小相 等，且性质相同（同为拉力或压力）(图 2-2-1b) （3）四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性 质相同（图 2-2-1c） 推论，若将其中一杆换成力 FP，则与 FP在同一直线上的杆的内力大小为 FP，性 质与 FP相同（图 2-2-1d） 。

FN3 FN3=0FN1=FN2=0FN3=FN4(a)(b)(c)FN4(d)FN3=FPFPN1FFN2FN1FN2FN1 FN2FN1 FN2 FN3FN3 FN1=FN2，FN1=FN2，FN1=FN2，图 2-2-1 （4）对称结构在正对称荷载作用下，对称轴处的“K”型结点若无外荷载作用，则斜杆为零杆例 如图 2-2-2 所示对称轴处与 A 点相连的斜杆 1、2 都是零杆1A2FPFPAFPFPBFPFPBA(b)(a)X =0图 2-2-2 图 2-2-3 （5）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处正对称的未知力为零如图 2-2-3a 中 AB 杆为零杆， 因为若将结构从对称轴处截断，则 AB 杆的力是一组正对称的未知力，根据上述结论可得 （6）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处的竖杆为零杆如图 2-2-4a 中 AB 杆和 B 支座的反 力均为零其中的道理可以这样理解：将图 a 结构取左右两个半结构分析，对中间的杆 AB 和支座 B 的 力，若左半部分为正，则根据反对称，右半部分必定为相同大小的负值，将半结构叠加还原回原结构 后正负号叠加，结果即为零。

00BFPFPFPFPB£ -A'B'A£ -A(a)(b)图 2-2-412、截面法、截面法 截面法取出的隔离体包含两个以上的结点，隔离体上的外力与内力构成平面一般力系，建立三个 平衡方程求解该法一般用于计算联合桁架，也可用于简单桁架中少数杆件的计算 在用截面法计算时，充分利用截面单杆，也能使计算得到简化 截面单杆的概念：在被某个截面所截的内力为未知的各杆中，除某一杆外其余各杆都交于一点 （或彼此平行） ，则此杆称为截面单杆截面单杆的内力可从本截面相应隔离体的平衡条件直接求出 截面单杆可分为两种情况： （1）截面只截断三根杆，且此三根杆不交于一点，则其中每一杆都是截面单杆计算时，对其中 两杆的交点取矩，建立力矩平衡方程，就可求出第三杆的轴力，如图 2-2-5（a）中，CD、AD、AB 杆 都是截面 m-m 的单杆E(a)(b)BAFDFNCDFNADFNABFPFRFmmCmm(a) aa(b)mm图 2-2-5 图 2-2-6 （2）截面所截杆数大于 3，但除某一杆外，其余各杆都交于一点（或彼此平行） ，则此杆也是截面 单杆，如图 2-2-6(a),（b）中，a 杆是截面 m-m 的单杆。

3、结点法与截面法的联合应用、结点法与截面法的联合应用 联合应用结点法和截面法可以求解复杂桁架（求解复杂桁架也可以用下面讲到的通路法和代替杆 法） 4、通路法（初参数法）通路法（初参数法）通路法和代替杆法主要用于求解复杂桁架 通路法的基本思路是从三杆相交的结点中取任一杆件的轴力作为初参数 x（待定） ，由此结点出发， 沿着可以用结点法求解的一个回路依次取结点算出各杆轴力与 x 的关系，最后利用闭合条件求出 x 后， 再计算其余各杆轴力C6FP113910FDAFP/2102GEFP/287aaB45aaaa图 2-2-7例如图 2-2-7 中，设，依次取结点 E、G、F 和 B由结点 E，求得， xFN4xFN2328；由结点 G，求得， ；由结点 F，得， xFN356xFN3511xFN3139xFN31310；由结点 B，得 xFN23272324P NFxF根据闭合条件有（这里杆 4 的轴力从结点 E 经 G、F 到 B 所求的应该相等） ， 232PFxx2解得PNFxF234已知 FN4后，可求出其余各杆轴力，结果见表 2-1表 2-1杆号1，23，45，67，89，1011轴力 （×FP）－3/2－3/22/522/13－5/2杆长2aaa5a2a132a5、代替杆法、代替杆法 此法是利用更换杆件连结部位使复杂桁架变成简单桁架，并使新桁架与原桁架等价（各杆轴力相 同）以求得原桁架轴力。

例如图 2-2-7 中，把 AG 杆改为 CF 杆，就变换为图 2-2-8（a）所示的简单桁 架如果新桁架在原有荷载和 FNAG（真值）共同作用下使新杆轴力 FNCF为零，那么根据静定内力解答 唯一性，新桁架的各杆轴力就是原桁架各杆轴力ACD0FNAG(a)FGBAE5062 3£ -05 1204130(b)0FFP/2FP/2FP/2FP/2FPFPFPFPFPFNPÍ ¼PFNAG£ -5-55350A-30169 2-05-3( c)342-2-5 2-2121333-23-23-25 2523 2-2-( d)1325 2--2FN1)(¡ Á13Í ¼Í ¼NFFPFPFPFPFPFPFPFPFPGFPFP213图 2-2-8下面讨论具体计算步骤1）分别求新桁架在原荷载单独作用下和在被替换杆的轴力为单位力作用下各杆的轴力 FNP和，NF如图 2-2-8（b）和（c）所示2）对 CF 杆建立，即：，求得0AGNNNPFFF0 135 655125AGNPFFPAGNFF213（3）按求得原桁架各杆轴力 FN，本例结果如图（d）所示，与表 2-1 所得结果NAGNPNNFFFF相同。

注意注意：用代替杆法分析桁架内力的关键是选取被代替杆选取的原则是拆除此杆后所确定的代替桁架易于内力计算例例 2-2-1 用杆件代替法求图 2-2-9 所示桁架的内力FN1 （同济大学 1998）3aa2aADaaa(a)(b)D1CAB 000D00132 51C0BA(c)£ - 2/3CBX1=1FPFPFP/2FP/2-FP/2FNÍ ¼FNPÍ ¼£ - 1£ - 1222 5 332 22 2 32图 2-2-9解解: （1）确定代替桁架取 B 支座链杆为被代替杆，代替桁架如图 b 所示2）建立等价条件对 CD 杆有对图 b 的代替桁架先求支座反力，判断零杆01XFFCD NCD NP然后取结点 D，由，求得 ；在代替桁架的被代替杆位置作用单位力0yF2/PCD NPFF（图 c） ，求得； ， 代入等价条件求得11X 32CD NF)(43 23 21PP CD NCD NPFFFFX（3）求FN1（压力）PP NNPNFFXFFF25)43(3520111 1四、桁架内力计算的技巧（1）先判断是否有零杆，以减少计算量。

（2）用截面法时，尽量利用截面单杆的概念，使一个平衡方程只包含一个未知力，避免解联立方 程 （3）利用对称性简化计算五、例题解析（一）零杆的应用例例 2-2-2 图 2-2-10a 所示桁架零杆（包括支座链杆）的数目为：（ ） （浙江大学 2005）A、3 根； B、5 根； C、7 根； D．9 根aaaaa/2a(a)(b)0000000FPFPFPFP图 2-2-10 答案答案：C利用对称，零杆示于图 b 例例 2-2-3 图 2-2-11a 所示对称桁架中，零杆的根数为（不含支座链杆） 中南大学 2005)400000000FPFPFPFP(b)(a)图 2-2-11 答案：答案：8 根零杆示于图 b 例例 2-2-4 图 2-2-12a 所示结构桁架杆件零杆的个数为 南京工业大学 2005)0000000FPFPFPFP(a)(b)图 2-2-12 答案：答案：7 根示于图 b 例例 2-2-5 图 2-2-13a 桁架中的零杆数（包括支座链杆）为 （西安建筑科技大学 2004）b6a0000000000 00FP/2FP/2FP/2FP/2(b)(a) 00FPFP000图 2-2-13 答案：答案：17 根。

提示：根据静定结构的性质——如果仅靠静定结构的某一局部就可以与荷载维持平 衡，则只有这部分受力，其余部分不受力零杆示于图 b 例例 2-2-6 如图 2-2-14a 所示桁架结构 1 杆轴力一定为：（ ） （一级注册结构工程师基础考试复习 题） A、拉力； B、压力； C、零； D、需要给出内部三个铰的位置才能确定具体受力性质 答案：答案：C 解解：取 I-I 截面内部为隔离体，对任意两个未知力的交点取矩，都可求出第三个未知力等于零，进 一步得出组成内部三角形的杆件都是零杆，因此 1 杆的轴力等于零1 II1BACFP(a)(b)FPFPFPFP(b)0000(a)图 2-2-14 图 2-2-15 例例 2-2-7 判断图 2-2-15a 所示结构零杆的个数 答案：答案：4 根，见图 b提示：反对称荷载下，对称轴处的竖杆为零杆5例例 2-2-8 求图 2-2-16a 所示桁架 C 支座反力和杆件 1 的轴力同济大学 2006)CFDABE1(b)(a)GEBADFCaaaFPFP1FPDFN1FNDF CFNCFFNCGFRCGaaaa图 2-2-16 解：解：首先判断零杆，分析可知杆 FB、DB、AG 均为零杆，去除零杆后，原结构变为图 b 所示。

用 结点法，取 D 结点分析，(压力)PDFNPDFNxFFFFF20220PNNDFNyFFFFF110220由结点 F 易知，PDFNCFNFFF2再取 C 结点分析 PCFNCGNxFFFF20()PRCRCCGNCFNyFFFFFF20)(220例例 2-2-9 求出图 2-2-17a 所示桁架体系中 1、2、3 杆的轴力中国矿业大学 2005)解：解：先判断零杆（图 b） ，FN1＝0，再由结点 B、A 受力平衡可求出PNPNFFFF49,2523FPFP321 3m2mFPFP3210AB004m4m(a)(b)llllllcbaAFP图 2-2-17 图 2-2-18例例 2-2-10 计算图 2-2-18 所示桁架中杆件 a、b、c 的轴力 （重庆大学 2005）解：解：先判断零杆，易得，再取 A 结点，得（压力） 0, 0cNaNFFPbNFF（二）结点法与截面法例例 2-2-11 图 2-2-19 所示静定平面桁架，在荷载作用下，杆件 1 的轴力 FN1= ,杆件 2 的轴 力 FN2＝ 。

湖南大学 2006)10kNFP=3m。