
浙江省衢州市第二高级中学高三数学理期末试题含解析.docx
13页浙江省衢州市第二高级中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作,书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安,至齐.齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里,驾马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马.何日相逢,”其大意为:“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是3000里,良马第一天行193里,之后每天比前一天多行13里,驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后,立刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇.”现有三种说法:①驽马第九日走了93里路;②良马四日共走了930里路;③行驶5天后,良马和驽马相距615里.那么,这3个说法里正确的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3参考答案:C【分析】据题意,良马走的路程可以看成一个首项a1=193,公差d1=13的等差数列,记其前n项和为Sn,驽马走的路程可以看成一个首项b1=97,公差为d2=﹣0.5的等差数列,记其前n项和为Tn,由等差数列的通项公式以及其前n项和公式分析三个说法的正误,即可得答案.【解答】解:根据题意,良马走的路程可以看成一个首项a1=193,公差d1=13的等差数列,记其前n项和为Sn,驽马走的路程可以看成一个首项b1=97,公差为d2=﹣0.5的等差数列,记其前n项和为Tn,依次分析3个说法:对于①、b9=b1+(9﹣1)×d2=93,故①正确;对于②、S4=4a1+×d1=4×193+6×13=850;故②错;对于;③S5=5a1+10×d1 =5×193+10×13=1095,T5=5b1+10d2=580,行驶5天后,良马和驽马相距615里,正确;故选:C2. 设函数f(x)=loga(x﹣a+2)在区间(1,+∞)上恒为正值,则实数a的取值范围是( )A.(1,2] B.(1,2) C.(0,1)∪(1,2) D.参考答案:A考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用.分析: 由条件利用对数函数的定义域、单调性和特殊点,可得a>1,且1﹣a+2≥1,由此求得a的范围.解答: 解:由题意可得a>1,且1﹣a+2≥1,求得1<a≤2,故选:A.点评: 本题主要对数函数的定义域、单调性和特殊点,属于基础题.3. 等比数列{an}中,若a1a5=aman,则mn不可能为A.5 B.6 C.8 D.9参考答案:B4. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值为 ( ) A. 102 B. 410 C. 614 D. 1638参考答案:B略5. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为A. B. C. D.参考答案:C考点:空间几何体的表面积与体积,空间几何体的三视图与直观图该几何体是一个三棱锥,一条侧棱垂直于底面。
外接球的半径为所以该几何体外接球的表面积为故答案为:C6. 已知函数f(x)=(x﹣a)2+(ex﹣a)2(a∈R),若存在x0∈R,使得f(x0)≤成立,则实数a的值为( )A. B. C. D.参考答案:D【考点】2I:特称命题.【分析】把函数看作是动点M(x,ex)与动点N(a,a)之间距离的平方,利用导数求出曲线y=ex上与直线y=x平行的切线的切点,得到曲线上点到直线距离的最小值,结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于,然后由两直线斜率的关系列式求得实数a的值.【解答】解:函数f(x)可以看作是动点M(x,ex)与动点N(a,a)之间距离的平方,动点M在函数y=ex的图象上,N在直线y=x的图象上,问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离,由y=ex得,y′=ex=1,解得x=0,∴曲线上点M(0,1)到直线y=x的距离最小,最小距离d=,则f(x)≥,根据题意,要使f(x0)≤,则f(x0)=,此时N恰好为垂足,由kMN==﹣1,解得a=.故选:D.7. 若实数x,y满足不等式组且x+y的最大值为9,则实数m=( )A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2参考答案:C考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:先根据约束条件画出可行域,设z=x+y,再利用z的几何意义求最值,只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时,从而得到m值即可.解:先根据约束条件画出可行域,设z=x+y,将最大值转化为y轴上的截距,当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A(4,5)时,z最大,将m等价为斜率的倒数,数形结合,将点A的坐标代入x﹣my+1=0得m=1,故选C.【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一般要分三步:画出可行域、求出关键点、定出最优解.8. (4)下面是关于公差的等差数列的四个命题: 其中的真命题为(A) (B) (C) (D)参考答案:D9. 已知关于的二项式展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则的值为A. 1 B. ±1 C. 2 D. ±2参考答案:C略10. 若的展开式中的系数是640,则实数的值是( )A. B. 8 C. D. 4参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图,为测量出山高,选择和另一座山的山顶C为测量观测点,从点测得点的仰角,点的仰角以及,点测得,已知山高m,则山高_______m.参考答案:. 考点:正余弦定理解三角形.【名师点睛】①这是一道有关解三角形的实际应用题,解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题,根据题目提供的信息,找出三角形中的数量关系,然后利用正、余弦定理求解.②解三角形的方法在实际问题中,有广泛的应用.在物理学中,有关向量的计算也要用到解三角形的方法.近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一.③不管是什么类型的三角应用问题,解决的关键都是充分理解题意,将问题中的语言叙述弄明白,画出帮助分析问题的草图,再将其归结为属于哪类可解的三角形.12. 化简: 参考答案:略13. 如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中为数字0~9中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为、,则、的大小关系是_____________.(填,,之一).参考答案:略14. 已知函数在x=1处取得极大值10,则的值为 .参考答案:315. 已知点落在角的终边上,且,则的值为_____________;参考答案:16. (不等式选讲)关于的不等式的解集为空集,则实数的取值范围_______________.参考答案:略17. 已知函数为奇函数,则 .参考答案:4考点:函数的奇偶性.三、 解答题:本大题共5小题,共72分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 设函数f(x)=|x+2|+|x﹣1|.(1)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值范围;(2)若集合{x|f(x)+ax﹣1>0}=R,求实数a的取值范围.参考答案:【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.【分析】(1)利用绝对值三角不等式,求得f(x)的最小值及取得最小值时x的取值范围.(2)当集合{x|f(x)+ax﹣1>0}=R,函数f(x)>﹣ax+1恒成立,即f(x)的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方,数形结合求得a的范围.【解答】解:(1)∵函数f(x)=|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣(x﹣1)|=3,故函数f(x)=|x+2|+|x﹣1|的最小值为3,此时,﹣2≤x≤1.(2)函数f(x)=|x+2|+|x﹣1|=,而函数y=﹣ax+1表示过点(0,1),斜率为﹣a的一条直线,如图所示:当直线y=﹣ax+1过点A(1,3)时,3=﹣a+1,∴a=﹣2,当直线y=﹣ax+1过点B(﹣2,3)时,3=2a+1,∴a=1,故当集合{x|f(x)+ax﹣1>0}=R,函数f(x)>﹣ax+1恒成立,即f(x)的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方,数形结合可得要求的a的范围为(﹣2,1).19. 已知数列的前项和满足,.(1)证明:数列为等比数列;并求出数列的通项公式;(2)记,数列的前项和为,求.参考答案:【知识点】等比数列数列求和D3 D4【答案解析】(1)证明:当n=1时, 当n>1时,∴ ∴ 是以6为首项,2为公比的等比数列∴ ∴ (2)解:∴ 令 (1)∴ (2)(1)-(2)得:∴∴ 【思路点拨】先构造新数列求出通项公式,利用错位相减求出和。
20. (2017?赣州一模)已知函数f(x)=|x|﹣|x﹣1|.(1)若关于x的不等式f(x)≥|m﹣1|的解集非空,求实数m的取值集合M.(2)记(1)中数集M中的最大值为k,正实数a,b满足a2+b2=k,证明:a+b≥2ab.参考答案:【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.【分析】(1)求出函数的解析式,然后求解函数的最大值,通过|m﹣1|≤1,求解m的范围,得到m的最大值M.(2)利用分析法,证明不等式成立的充分条件即可.【解答】解:(1)由已知可得f(x)=,所以fmax(x)=1,…(3分)所以只需|m﹣1|≤1,解得﹣1≤m﹣1≤1,∴0≤m≤2,所以实数m的最大值M=2…(2)因为a>0,b>0,所以要证a+b≥2ab,只需证(a+b)2≥4a2b2,即证a2+b2+2ab≥4a2b2,所以只要证2+2ab≥4a2b2,…(7分)即证2(ab)2﹣ab﹣1≤0,即证(2ab+1)(ab﹣1)≤0,因为2ab+1>0,所以只需证ab≤1,下证ab≤1,因为2=a2+b2≥2ab,所以ab≤1成立,所以a+b≥2ab…(10分)【点评】本题考查函数的最值的求法,基本不等式的应用,考查分析法的应用,考查逻辑推理能力以及计算能力.21. 已知函数f(x)=x2-2eln x.(e为自然对数的底数)(1)求f(x)的最小值;(2)是否存在常数a,b使得x2≥ax+b≥2eln x对于任意的正数x恒成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,说明理由.参考答案:(1)f′(x)=2x- (x>0)令f′(x)=0,得x2=e,所以x=.当0<x<时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,)上是减函数;当x>时,f′(x)>0,所以f(x)在(,+∞)上是增函数.故函数f(x)在x=处取得最小值f()=0.(2)由(1)知,当x∈(0,+∞)时,有f(x)≥f()=0,即x2≥2eln x,当且仅当x=时,等号成立.即曲线y=x2和y=2eln x有唯一公共点(,e).若存在a,b,使得直线y=ax+b是曲线y=x2和y=2eln x的公切线,切点为(,e).。












