小学数学思想方法PPT课件.ppt
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—— ——品小学数学思想方法品小学数学思想方法 这些是课堂教学的根源和精髓这些是课堂教学的根源和精髓 真正的教育是将在学校所学的知真正的教育是将在学校所学的知识全忘掉识全忘掉, ,所剩下的所剩下的 ——陶行知陶行知 在学生的脑力劳动中，摆在第在学生的脑力劳动中，摆在第一位的并不是背书，而是让学生本一位的并不是背书，而是让学生本人进行思考背书会使人变傻人进行思考背书会使人变傻 ——苏霍姆林斯基苏霍姆林斯基 数学思想是数学学科发生、开展的数学思想是数学学科发生、开展的根本，是探索研究数学所依赖的根底，根本，是探索研究数学所依赖的根底，也是数学课程教学的精髓，内涵十分丰也是数学课程教学的精髓，内涵十分丰富 数学思想和方法是数学知识在更高层数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、开展和应用的过程中。
生、开展和应用的过程中 高考考试大纲的说明高考考试大纲的说明 不懂得数学思想方法的数学教不懂得数学思想方法的数学教师不是一个称职的教师师不是一个称职的教师 ——徐利治徐利治 数学思想和数学方法既有区别又有密切联数学思想和数学方法既有区别又有密切联系数学思想的理论和抽象程度要高一些，系数学思想的理论和抽象程度要高一些，而数学方法的实践性更强一些人们实现数而数学方法的实践性更强一些人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法；而人们选学思想往往要靠一定的数学方法；而人们选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据择数学方法，又要以一定的数学思想为依据因此，二者是有密切联系的我们把二者合因此，二者是有密切联系的我们把二者合称为数学思想方法数学思想方法是数学的称为数学思想方法数学思想方法是数学的灵魂，那么，要想学好数学、用好数学，就灵魂，那么，要想学好数学、用好数学，就要深入到数学的要深入到数学的“灵魂深处〞。
灵魂深处〞 一、符号化思想一、符号化思想二、化归思想二、化归思想三、模型思想三、模型思想四、数形结合思想四、数形结合思想五、推理思想五、推理思想六、方程和函数思想六、方程和函数思想七、几何变换思想七、几何变换思想八、分类讨论思想八、分类讨论思想九、统计思想九、统计思想 十、分析法和综合法十、分析法和综合法十一、概率思想十一、概率思想十二、反证法十二、反证法十三、集合思想十三、集合思想十四、极限思想十四、极限思想十五、假设法十五、假设法十六、运筹思想十六、运筹思想 一、符号化思想一、符号化思想1 1、符号化思想的应用符号化思想的应用第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示如：律，并用符号表示如：a+b=b+a 第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律 第三，会进行符号间的转换第三，会进行符号间的转换 第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题示的问题 用符号表示变化规律。
用符号表示变化规律 数列的变化规律数列的变化规律:1,2,3,5,8,…:1,2,3,5,8,… 图形的变化规律图形的变化规律一、符号化思想一、符号化思想1 1、符号化思想的应用符号化思想的应用 2 2、符号化思想的教学符号化思想的教学① ② ③ ④ ⑤ ⑥① ② ③ ④ ⑤ ⑥“垂直与平行〞垂直与平行〞 a∥∥b或者或者b∥∥a ① ② ③ ④ ⑤ ⑥① ② ③ ④ ⑤ ⑥a⊥⊥b或者或者b⊥⊥a 二、化归思想二、化归思想 化归〔转化〕思想从小学化归〔转化〕思想从小学到中学，数学知识呈现一个由易到到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。
化归思想决各种复杂的数学问题化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一也是攻克各种复杂问题的法宝之一1 1、化归思想的具体应用化归思想的具体应用 二、化归思想二、化归思想2 2、教学中的化归策略教学中的化归策略 〔〔1 1〕以下图是平行四边形停车位，它的面积〕以下图是平行四边形停车位，它的面积是〔是〔 ) )Ａ．Ａ．7.5×47.5×4 Ｂ． Ｂ．7.5×67.5×6 Ｃ． Ｃ．6×46×4 王老师在教学时，用木条制成一个王老师在教学时，用木条制成一个长方形框教具，木条长长方形框教具，木条长1818厘米，宽厘米，宽1515厘米它的周长和面积各是多少厘米它的周长和面积各是多少？如果把它拉成平行四边形，周长？如果把它拉成平行四边形，周长和面积会怎样？和面积会怎样？ 高高底底下底下底上底上底高高平行四边形的面积平行四边形的面积 ＝＝底底 ××高高高高底底三角形的面积三角形的面积 ＝＝底底 ××高高÷２２高高上底上底梯形的面积梯形的面积 ＝〔上底＝〔上底 ＋下底〕＋下底〕×高高÷２２123 图图1图图2 案例案例1 1：： ＋＋ ＋＋ ＋＋ …………＝＝ 解决问题中的化归策略。
解决问题中的化归策略〔〔1 1〕化抽象问题为直观问题〕化抽象问题为直观问题1 1 解决问题中的化归策略解决问题中的化归策略〔〔2 2〕化繁为简的策略〕化繁为简的策略四年级〔下册〕第四年级〔下册〕第117---118117---118页例页例1 1植树问题植树问题例例1 1：同学们要在全长：同学们要在全长100100米的小路一边植树，米的小路一边植树，每隔每隔5 5米种一棵树〔两端要栽〕一共需要多米种一棵树〔两端要栽〕一共需要多少棵树苗？少棵树苗？ 解决问题中的化归策略解决问题中的化归策略〔〔2 2〕化繁为简的策略〕化繁为简的策略全全长间隔隔长度度研究方法（研究方法（线段段图））间隔段数隔段数棵数棵数5 5米米5 5米米1 12 21010米米5 5米米2 23 31515米米5 5米米3 34 4…………发现：：棵数棵数= =间隔数间隔数+1 +1 间隔数间隔数= =棵数－棵数－1 1 解决问题中的化归策略解决问题中的化归策略〔〔2 2〕化繁为简的策略〕化繁为简的策略全全长间隔隔长度度研究方法（研究方法（线段段图））间隔段数隔段数棵数棵数5 5米米5 5米米1 12 21010米米5 5米米2 23 31515米米5 5米米3 34 4…………发现：：棵数棵数= =间隔数间隔数+1 +1 间隔数间隔数= =棵数－棵数－1 1 解决问题中的化归策略。
解决问题中的化归策略〔〔2 2〕化繁为简的策略〕化繁为简的策略把把186186拆分成拆分成9393和和93, 9393, 93和和9393的乘积最大，乘的乘积最大，乘积为积为86498649 案例案例2 2：把：把186186拆分成两个自然数的和，怎拆分成两个自然数的和，怎样拆分才能使拆分后的两个自然数的乘积样拆分才能使拆分后的两个自然数的乘积最大？最大？187187呢？呢？ 〔〔2 2〕化繁为简的策略〕化繁为简的策略案例案例3 3：你能快速口算：你能快速口算85×8585×85＝，＝，95×9595×95＝，＝，105×105105×105＝吗？＝吗？个位数是个位数是5 5的相等的两个数的乘积分为左的相等的两个数的乘积分为左右两局部：左边为因数中右两局部：左边为因数中5 5以外的数字乘以外的数字乘比它大比它大1 1的数，右边为的数，右边为2525〔〔5 5乘乘5 5的积〕所以所以85×8585×85＝＝72257225，，95×9595×95＝＝90259025，，105×105105×105＝＝11025 11025 解决问题中的化归策略解决问题中的化归策略。
〔〔3 3〕化实际问题为特殊的数学问题〕化实际问题为特殊的数学问题假设都是上山，那么总路程是假设都是上山，那么总路程是1818〔〔6×36×3〕千米，〕千米，比实际路程少算了比实际路程少算了2 2千米，所以，上山时间是千米，所以，上山时间是4 4小小时上山和下山的路程分别是时上山和下山的路程分别是1212千米和千米和8 8千米案例案例1 1：某旅行团队翻越一座山上午：某旅行团队翻越一座山上午9 9时时上山，每小时行上山，每小时行3 3千米，到达山顶时休息千米，到达山顶时休息1 1小时下山时，每小时行小时下山时，每小时行4 4千米，下午千米，下午4 4时时到达山底全程共行了到达山底全程共行了2020千米上山和下千米上山和下山的路程各是多少千米？山的路程各是多少千米？ 案例案例2 2：李阿姨买了：李阿姨买了2 2千克苹果和千克苹果和3 3千克香蕉用了千克香蕉用了1111元，王阿姨买了同样价格的元，王阿姨买了同样价格的1 1千克苹果和千克苹果和2 2千克香千克香蕉，用了元每千克苹果和香蕉各多少钱蕉，用了元每千克苹果和香蕉各多少钱? ?解决问题中的化归策略解决问题中的化归策略〔〔3 3〕化实际问题为特殊的数学问题。
〕化实际问题为特殊的数学问题直接分析：直接分析：1 1千克苹果和千克苹果和2 2千克香蕉元，那么可得千克香蕉元，那么可得出出2 2千克苹果和千克苹果和4 4千克香蕉千克香蕉1313元；题中元；题中2 2千克苹果和千克苹果和3 3千克香蕉千克香蕉1111元用1313减去减去1111得得2 2，所以香蕉的单，所以香蕉的单价是每千克价是每千克2 2元再通过计算得苹果的单价是每千元再通过计算得苹果的单价是每千克元 变式：变式： 1 1、水果商店昨天销售的苹果比香蕉的、水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2 2倍少倍少3030千克，这千克，这两种水果一共销售了两种水果一共销售了180180千克销售苹果多少千克？千克销售苹果多少千克？ 2 2、水果商店昨天销售的香蕉比苹果的、水果商店昨天销售的香蕉比苹果的 多多3030千克，这千克，这两种水果一共销售了两种水果一共销售了180180千克销售苹果多少千克？千克销售苹果多少千克？ 3 3、水果商店昨天销售的苹果是香蕉的、水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2 2倍，销售的梨是倍，销售的梨是香蕉的香蕉的3 3倍这三种水果一共销售了倍。
这三种水果一共销售了180180千克销售香蕉多千克销售香蕉多少千克？少千克？ 4 4、水果商店昨天销售的苹果是香蕉的、水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2 2倍，销售的梨是倍，销售的梨是苹果的苹果的2 2倍这三种水果一共销售了倍这三种水果一共销售了210210千克销售香蕉多千克销售香蕉多少千克？少千克？〔〔4 4〕化未知问题为问题〕化未知问题为问题案例案例1 1：水果商店昨天销售的苹果比香蕉的：水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2 2倍多倍多3030千克，这千克，这两种水果一共销售了两种水果一共销售了180180千克销售香蕉多少千克？千克销售香蕉多少千克？ 期末期末测试表达表达转化数学思想的化数学思想的题目：目：1 1、如以下、如以下图，在推倒平行四，在推倒平行四边形面形面积公式的公式的过程中，程中，这一一过程表达了〔程表达了〔 〕数学思想〕数学思想这一思想一思想为后面学后面学习三角形面三角形面积、梯形面、梯形面积奠定根底奠定根底 2、、“转化〞是一种常见的解决问题的方法转化〞是一种常见的解决问题的方法如以下图，把一个半圆分成假设干份，剪开如以下图，把一个半圆分成假设干份，剪开后拼成一个近似的长方形，这两个图形〔后拼成一个近似的长方形，这两个图形〔 〕。
〕 A、面积相等，周长也相等、面积相等，周长也相等 B、面积相等，周长不相等、面积相等，周长不相等 C、面积不相等，周长也不相等、面积不相等，周长也不相等 3、在小数除法中，如：、在小数除法中，如： 要把这要把这两个小数变成整数两个小数变成整数 才能进行计才能进行计算，把小数变成整数这一过程运用算，把小数变成整数这一过程运用了〔了〔 〕的思想方法〕的思想方法 三、模型思想三、模型思想1 1、模型思想的具体应用模型思想的具体应用2 2、模型思想的教学模型思想的教学 2 2 第一，学习的过程可以经历类似于数学家建第一，学习的过程可以经历类似于数学家建模的再创造过程模的再创造过程 长方体的认识长方体的认识 ①①量一量；量一量； ②②比一比；比一比； ③③找一找；找一找； ④④折一折 小棒根数小棒根数摆几个几个□□剩几根小棒剩几根小棒列式列式 8 8□ □8÷48÷4＝＝2 2 9 9□ □9÷49÷4＝＝2……2……1 1010□ □10÷410÷4＝＝2……2……2 1111□ □11÷411÷4＝＝2……2……3 1212□ □ □12÷412÷4＝＝3 3 1313□ □ □13÷413÷4＝＝3……3……1 …… ……二年级下册余数与除数的关系二年级下册余数与除数的关系结论：余数都比除数小。
结论：余数都比除数小 第三，应用已有的数学知识分析数第三，应用已有的数学知识分析数量关系和空间形式，经过抽象建立量关系和空间形式，经过抽象建立模型，进而解决各种问题模型，进而解决各种问题第二，对于大多数人来说，在现实第二，对于大多数人来说，在现实生活和工作中利用数学解决各种问生活和工作中利用数学解决各种问题，根本上都是根据对现实情境的题，根本上都是根据对现实情境的分析，利用已有的数学知识构建模分析，利用已有的数学知识构建模型 案例案例1 1：小明的家距离学校：小明的家距离学校600600米，每天上学从家步行米，每天上学从家步行1010分钟到学校今天早晨出门分钟到学校今天早晨出门2 2分钟后发现忘记带文具分钟后发现忘记带文具盒，立即回家去取他如果想按原来的时间赶到学校，盒，立即回家去取他如果想按原来的时间赶到学校，他从回家再到学校，步行的速度应是多少？〔取东西他从回家再到学校，步行的速度应是多少？〔取东西的时间忽略不计〕的时间忽略不计〕5 5米跳米跳绳的根数的根数1 12 23 34 42 2米跳米跳绳的根数的根数7 75 52 20 0剩余米数剩余米数1 10 01 10 0案例案例2 2 ：有一根：有一根2020米长的绳子，要剪成米长的绳子，要剪成2 2米和米和5 5米长米长两种规格的跳绳，每种跳绳各剪多少根？〔要求绳两种规格的跳绳，每种跳绳各剪多少根？〔要求绳子无剩余，并且每种规格的跳绳至少要有一根。
〕子无剩余，并且每种规格的跳绳至少要有一根〕 案例案例3 3：一瓶矿泉水满瓶水为：一瓶矿泉水满瓶水为500500毫升，小林毫升，小林喝了一些，剩余的水都在圆柱形的局部，高喝了一些，剩余的水都在圆柱形的局部，高度是度是1616厘米如果把瓶盖拧紧，倒立过来，厘米如果把瓶盖拧紧，倒立过来，无水的局部高度是无水的局部高度是4 4厘米小林喝了多少水厘米小林喝了多少水？？ 设小林喝的水为设小林喝的水为v v毫升，列式为：毫升，列式为：v v：：500500＝＝4 4：：(16+4)(16+4)v v＝＝100100 四、数形结合思想四、数形结合思想 ““数缺形时少直觉，形少数时难入微〞数缺形时少直觉，形少数时难入微〞 —— ——华罗庚华罗庚 数形结合思想的核心应是代数与几何的对立数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最正确的、什么时候运代数方法解决几何问题是最正确的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最正确的。
用几何方法解决代数问题是最正确的 四、数形结合思想四、数形结合思想1 1、数形结合思想的具体应用数形结合思想的具体应用数形结合思想主要表达数形结合思想主要表达 ：：一是利用一是利用““形〞作为各种直观工具帮助学生理解形〞作为各种直观工具帮助学生理解和掌握知识、解决问题和掌握知识、解决问题 二是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透二是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透 三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思想的表达想的表达 四是用代数四是用代数( (算术算术) )方法解决几何问题方法解决几何问题 四、数形结合思想四、数形结合思想1 1、数形结合思想的具、数形结合思想的具体应用 〔〔1 1〕数的表示和运算〕数的表示和运算 数和运算的实物化、数和运算的实物化、图形化和操作化，便于图形化和操作化，便于人们直观理解数和计算人们直观理解数和计算 摆小棒、画图形等摆小棒、画图形等 〔２〕解决问题中的形〔２〕解决问题中的形①①画线段图表示数量关系画线段图表示数量关系 案例：五上列方程解决问题 案例：五上列方程解决问题 上海浦东中银大厦的总高度为 上海浦东中银大厦的总高度为258258米，比上海国际米，比上海国际饭店的饭店的3 3倍还高倍还高2424米，上海国际饭店高多少米？米，上海国际饭店高多少米？设上海国际饭店的高度为设上海国际饭店的高度为x米，易于找等量关系和理解逆向米，易于找等量关系和理解逆向思考的数量关系。
思考的数量关系上海国际饭店上海国际饭店浦东中银大厦浦东中银大厦 利用画图来直观利用画图来直观呈现各种信息，呈现各种信息，有利于学生分析有利于学生分析数量关系数量关系 利用画图来直利用画图来直观呈现各种信观呈现各种信息，有利于学息，有利于学生理解算式生理解算式 ②②解决问题的直观策略解决问题的直观策略 ③③利用坐标系中的图像利用坐标系中的图像直观理解正比例关系直观理解正比例关系 〔〔3〕统计中的图形〕统计中的图形①①各种统计图表各种统计图表 〔〔4〕空间与图形中的数〕空间与图形中的数①①图形的周长、面积图形的周长、面积 和体积公式和体积公式 ②②图形中边之间的关系图形中边之间的关系 ③③图形变换中的数图形变换中的数 坐标与变换坐标与变换 （一）创设情境，提出问题（一）创设情境，提出问题买回买回200200本书有有2 2个书架个书架, ,方法一：方法一： 先算：平均每个书架放多少本？先算：平均每个书架放多少本？200÷2=100〔本〕〔本〕再算：平均每层放多少本？再算：平均每层放多少本？100÷5=20〔本〕〔本〕200本本2、数形结合思想的教学。
数形结合思想的教学 方法二：方法二：先算：两个书架一共用几层？先算：两个书架一共用几层？5×2=105×2=10〔层〕〔层〕再算：平均每层放多少本？再算：平均每层放多少本？200÷10=20200÷10=20〔本〕〔本〕200200本本方法三：方法三：先算：两个书架先算：两个书架1层放多少本书层放多少本书?200÷5=40〔本〕〔本〕 再算：平均每层放几本书？再算：平均每层放几本书？40÷2=20〔本〕〔本〕200本本 方法二：方法二：180÷〔〔3×2〕＝〕＝30〔人〕〔人〕方法一：方法一：180÷2÷3180÷2÷3＝＝3030〔人〕〔人〕 四、数形结合思想四、数形结合思想2 2、数形结合思想的教学数形结合思想的教学第一，如何正确理解数形结合思想第一，如何正确理解数形结合思想 案例案例1 1：： ＋＋ ＋ ＋ ＋＋ ＋ ＋……＝＝ 1 1 第二，适当拓展数形结合思想的应用第二，适当拓展数形结合思想的应用案例案例2 2：把两个形状和大小：把两个形状和大小相同的长方体月饼盒包装成相同的长方体月饼盒包装成一包，怎样包装最省包装纸？一包，怎样包装最省包装纸？ 假设长方体的长、宽、高分别为假设长方体的长、宽、高分别为a a、、b b、、c c，并且，并且a>b>c(a>b>c(只要给出三个数的大小顺序便可，谁大谁只要给出三个数的大小顺序便可，谁大谁小并不影响用代数方法计算的过程和结论小并不影响用代数方法计算的过程和结论) )。
根据根据条件可知，条件可知，ab>ac>bcab>ac>bc，所以把最大的两个侧面贴，所以把最大的两个侧面贴在一起包装最省包装纸列成公式为：Ｓ＝在一起包装最省包装纸列成公式为：Ｓ＝4(ab+bc+ac)4(ab+bc+ac)－－2ab2ab 五、推理思想五、推理思想对对称称性性关关系系推理推理反反对对称称性性关关系系推理推理类类比比推推理理演演 绎绎 推推理理合合 情情 推推理理三三 段段论论 选选 言言 推推理理关关 系系 推推理理如如：：一一切切奇奇数数都都不不能能被被2 2整整除除，，(2³(2³＋１＋１) )是奇数，是奇数，(2³(2³＋１＋１) )不能被不能被2 2整除一一个个三三角角形形不不是是锐锐角角三三角角形形和和直直角角三三角角形形，，它它是是钝钝角角三三角角形传传递递性性关关系系推理推理1 1米米＝＝100100厘厘米米，，所所以以100100厘厘米米＝＝1 1米米a a大大于于b b，，所所以以b b不不大大于于a aa>ba>b，，b>cb>c，，所所以以a>ca>c归归纳纳推推理理推推理理 1 1、推理思想的具体应用推理思想的具体应用。
锐角比直角小，钝角比直角大，也就是直锐角比直角小，钝角比直角大，也就是直角比钝角小；可进一步引导学生思考，锐角比钝角小；可进一步引导学生思考，锐角和钝角比，哪个大？学生在一年级已经角和钝角比，哪个大？学生在一年级已经知道了知道了2929＞＞2626，，2626＞＞2323，所以，所以2929＞＞2323的推的推理方法，理方法，自然地可以把这种推理方法迁移自然地可以把这种推理方法迁移至此 二年级上册第二年级上册第8080页例页例4 4中的中的9 9的乘的乘法口诀，这是归法口诀，这是归纳推理 有一箱苹果，有一箱苹果，3 3个个3 3个地数多个地数多1 1个，个，4 4个个4 4个地数多个地数多1 1个，个，5 5个个5 5个地数多个地数多1 1个问这箱苹果至少有多少个？箱苹果至少有多少个？ 有一箱苹果有一箱苹果,3,3个个3 3个地数少个地数少1 1个，个，4 4个个4 4个个地数少地数少2 2个，个，5 5个个5 5个地数少个地数少3 3个问这箱个问这箱苹果至少有多少个？苹果至少有多少个？ 2 2、推理思想的教学推理思想的教学推理思想在小学数学教学中要注意把握以下几点：推理思想在小学数学教学中要注意把握以下几点：第一，推理是重要的思想方法之一，是数学的根本第一，推理是重要的思想方法之一，是数学的根本思维方式，要贯穿于数学教学的始终。
思维方式，要贯穿于数学教学的始终 第二，合情推理和演绎推理二者不可偏废第二，合情推理和演绎推理二者不可偏废 第三，推理能力的培养与四大内容领域的教学要有第三，推理能力的培养与四大内容领域的教学要有机地结合机地结合 第四，把握好推理思想教学的层次性和差异性第四，把握好推理思想教学的层次性和差异性 学习学习“8的乘法口诀〞时，便可联系的乘法口诀〞时，便可联系“6、、7的乘法口诀〞提出问题：的乘法口诀〞提出问题：8的乘法口诀有几的乘法口诀有几句？怎样推导出句？怎样推导出8的乘法口诀？前后各句口的乘法口诀？前后各句口诀之间有什么规律？诀之间有什么规律？ 〔〔1 1〕类比思想〕类比思想 在初中代数中，与整数的运算顺序和运算定在初中代数中，与整数的运算顺序和运算定律相类比，可以导出有理数和整式的运算顺序和律相类比，可以导出有理数和整式的运算顺序和运算定律；与分数的根本性质相类比，可以导出运算定律；与分数的根本性质相类比，可以导出分式也具有类似的性质，并且可以推出它和分数分式也具有类似的性质，并且可以推出它和分数一样能够进行化简和运算。
一样能够进行化简和运算 期末测试中表达数学活动经验〔类比思想〕期末测试中表达数学活动经验〔类比思想〕的题目：的题目：学生在计算学生在计算1616＋＋8 8＝＝2424时，总结出了加法计时，总结出了加法计算法那么，它在学习〔算法那么，它在学习〔 〕时又一次使〕时又一次使用了，这种方法能保证学生计算准确这种用了，这种方法能保证学生计算准确这种数学活动经验要注意积累呦！数学活动经验要注意积累呦！ 〔〔1 1〕类比思想〕类比思想 2 2、如以下、如以下图，在探究，在探究圆的周的周长时，小朋友，小朋友们用到了用到了““化曲化曲为直〞的直直〞的直观学学习方法，方法，这种学种学习方法在学方法在学习〔〔 〕〕时又一又一次使用了次使用了这种数学活种数学活动经验要注意要注意积累累呦！呦！ 案例案例1 1：计算并观察下面的算式，你能发：计算并观察下面的算式，你能发现什么规律？现什么规律？1 1＝＝1²1²1 1＋＋3 3＝＝4 4＝＝2²2²〔〔1 1＋＋3 3＋＋5 5〕＝〕＝9 9＝＝3²3²〔〔1 1＋＋3 3＋＋5 5＋＋7 7〕＝〕＝…………1 1＋＋3 3＋＋5 5＋＋7 7＋＋……＋＋9999＝＝ 前前n n个奇数相加的和等于个奇数相加的和等于n n的平方。
的平方 案例案例2 2：观察下面的一组算式，你能发现：观察下面的一组算式，你能发现什么规律？什么规律？14+41=55, 34+43=77, 27+72=99, 14+41=55, 34+43=77, 27+72=99, 46+64=110, 38+83=12146+64=110, 38+83=121设任意一个两位数是设任意一个两位数是ab(a和和b是是1～～9的自然数的自然数)，那么，那么ab+ba=(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b) 〔〔2 2〕归纳思想〕归纳思想 案例案例3 3：如以下图，两条直线相交形成：如以下图，两条直线相交形成4 4个角，你能说明个角，你能说明∠2=∠4∠2=∠4吗？吗？(3)(3)三段论 六、方程和函数思想六、方程和函数思想1 1、方程和函数思想的具体应用方程和函数思想的具体应用2、方程和函数思想的教学方程和函数思想的教学 练习：练习：9 9＋＋1 1＝＝ 9 9＋＋2 2＝＝ 9 9＋＋3 3＝＝ 9 9＋＋4 4＝＝ 9 9＋＋5 5＝＝ 9 9＋＋6 6＝＝ 9 9＋＋7 7＝＝ 9 9＋＋8 8＝＝ 9 9＋＋9 9＝＝ 六、方程和函数思想六、方程和函数思想案例案例1 1：妈妈买了：妈妈买了3 3千克香蕉和千克香蕉和2 2千克苹果，千克苹果，一共花了一共花了1616元。
苹果的价格是香蕉的元苹果的价格是香蕉的2 2倍倍多多1 1元，苹果和香蕉的单价各是多少？元，苹果和香蕉的单价各是多少？列方程：列方程：3χ＋＋2(2χ＋＋1)＝＝16解方程，解方程，χ＝＝2 所以，苹果的单价是所以，苹果的单价是5元，香蕉的单元，香蕉的单价是价是2元元 案例案例2 2：小明家的果园供游人采摘桃，每千：小明家的果园供游人采摘桃，每千克克1010元请写出销售桃的总价元请写出销售桃的总价( (总收入总收入)y)y元元与数量与数量( (千克数千克数) χ) χ之间的关系式如果某之间的关系式如果某天的销量是天的销量是5050千克，这天的总收入是多少千克，这天的总收入是多少？如果上个月的总收入是？如果上个月的总收入是1200012000元，上个月元，上个月的销量是多少？的销量是多少？ 列关系式：列关系式：y＝＝10χ某天的销量是某天的销量是50千千克，总收入是克，总收入是500元上个月的总收入元上个月的总收入是是12000元，销量是元，销量是1200千克 案例案例3 3：有一批捐赠的图书分给一个班的：有一批捐赠的图书分给一个班的学生，如果每人分学生，如果每人分3 3本，那么还缺本，那么还缺1515本；本；如果每人分如果每人分2 2本，那么剩余本，那么剩余2525本。
这个班本这个班有多少学生？有多少学生？设：这个班有学生设：这个班有学生χ人人 列方程：列方程：3χ－－15＝＝2χ＋＋25 χ＝＝40 七、几何变换思想七、几何变换思想几何变换几何变换合同变换合同变换相似变换相似变换平移变换平移变换轴对称变换轴对称变换旋转变换旋转变换按一定比例放大或缩小按一定比例放大或缩小 2 2、几何变换思想的教学几何变换思想的教学1)(1)平移变换平移变换平移的方向，不一定是水平的平移的方向，不一定是水平的平移的方向，不一定是水平的平移的方向，不一定是水平的小学阶段：直观认识平移现象小学阶段：直观认识平移现象物体在直线方向上移动，本身没有发生方向上的改变物体在直线方向上移动，本身没有发生方向上的改变 (2)(2)旋转变换旋转变换设计图案设计图案 (3)(3)对称变换对称变换如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的局部能够如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形互相重合，这个图形就叫做轴对称图形把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一图形重把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。
合，那么就说这两个图形关于这条直线对称 (4)(4)相似变换相似变换 形状不变，大小改变形状不变，大小改变〔图形的放大、缩小〔图形的放大、缩小〕〕 1、小学数学中几何、小学数学中几何变换思想的思想的应用如下表用如下表思想方法思想方法知知识点点应用用举例例轴对称称画画简单的的轴对称称图形形认识轴对称称图形，画出一个形，画出一个简单图形的形的轴对称称图形形平移平移变换认识平移，把平移，把简单图形平移形平移判断生活中物体的运判断生活中物体的运动哪些是平移哪些是平移现象象画出一个画出一个简单图形沿水平方向、形沿水平方向、竖直方向平移后的直方向平移后的图形形旋旋转变换感知旋感知旋转现象象判断生活中物体的运判断生活中物体的运动哪些是旋哪些是旋转现象象把把简单图形旋形旋转90°90°画出一个画出一个简单图形形顺时针或逆或逆时针旋旋转90°90°后的后的图形形合同合同变换图形的性形的性质、面、面积的的计算算平行四平行四边形、三角形、梯形和形、三角形、梯形和圆的面的面积公式的推公式的推导等都等都渗透了几何渗透了几何变换思想思想图案的欣案的欣赏和和设计判断一些判断一些图案是由一些基本案是由一些基本图形形经过什么什么变换得到的；得到的；利用平移、旋利用平移、旋转和和轴对称等称等变换，，设计美美丽的的图案案相似相似变换把把简单图形放大或形放大或缩小小画出画出长方形、正方形、三角形等方形、正方形、三角形等简单的的图形按照一定的形按照一定的比例放大或比例放大或缩小后的小后的图形形 2 2、几何变换思想的教学。
几何变换思想的教学第一，对一些概念的准确把握第一，对一些概念的准确把握案例案例2 2：一架直升飞机在按一定速度飞行时：一架直升飞机在按一定速度飞行时螺旋桨的转动是旋转吗？它停在陆地上时螺旋桨的转动是旋转吗？它停在陆地上时螺旋桨的转动是旋转吗？螺旋桨的转动是旋转吗？案例案例1 1：一辆汽车在笔直平坦的道路上行驶，：一辆汽车在笔直平坦的道路上行驶，这辆汽车的运动是平移吗？如果这辆汽车急刹这辆汽车的运动是平移吗？如果这辆汽车急刹车，轮胎抱死在道路上滑行是平移吗？车，轮胎抱死在道路上滑行是平移吗？ 案例案例3 3：下面的图形是轴对称图形吗？：下面的图形是轴对称图形吗？图图(1)图图(2) 案例案例4: 人教版教材人教版教材, 求三角形和梯形的面积求三角形和梯形的面积把两个完全相同的三角形和梯形拼成平行四把两个完全相同的三角形和梯形拼成平行四边形，利用变换原理为：先把一个图形旋转边形，利用变换原理为：先把一个图形旋转180度，再平移度，再平移第二，注意图形变换与其它几何知识的联系第二，注意图形变换与其它几何知识的联系 案例案例5 5：小明家的院子里有一块长：小明家的院子里有一块长3030米、宽米、宽2020米的长方形菜地，地里有两条相互垂直而米的长方形菜地，地里有两条相互垂直而且宽都是且宽都是1 1米的小路。
这块地实际种菜的面米的小路这块地实际种菜的面积是多少？积是多少？种菜的面积就转化为求长种菜的面积就转化为求长2929米、宽米、宽1919米的长方形米的长方形的面积，用长乘宽就可求出面积的面积，用长乘宽就可求出面积第二，注意图形变换与其它几何知识的联系第二，注意图形变换与其它几何知识的联系 案例案例6 6：如下图，三个同心圆的最大的圆的两：如下图，三个同心圆的最大的圆的两条直径相互垂直，最大的圆的半径是条直径相互垂直，最大的圆的半径是2cm2cm，求，求阴影局部的面积阴影局部的面积阴影的面积为： 阴影的面积为： ×π×2²=π(cm²) 第三，对教学要求和解题方法的准确把握第三，对教学要求和解题方法的准确把握1 1、直观判断题、直观判断题 如：在方格纸上原图形中的点Ａ如：在方格纸上原图形中的点Ａ(2(2，，3)3)，经，经过平移后它的对应点为过平移后它的对应点为A′(8A′(8，，1010〕那么原图形可以通过先向右平移原图形可以通过先向右平移6 6格，再向上平格，再向上平移移7 7格；或者先向上平移格；或者先向上平移7 7格，再向右平移格，再向右平移6 6格，得到平移后的图形。
格，得到平移后的图形2 2、作图题、作图题 2 2的倍数的特征：的倍数的特征：〔〔1 1〕从生活情境〕从生活情境““双号〞双号〞引入〔〔2 2〕观察〕观察2 2的倍数的个位的倍数的个位数，总结出数，总结出2 2的倍数的特征的倍数的特征〔〔3 3〕介绍奇数和偶数的概〕介绍奇数和偶数的概念〔〔4 4〕可让学生随意找一些〕可让学生随意找一些数进行验证，但不要求严数进行验证，但不要求严格的证明格的证明 质数和合数的概念：质数和合数的概念：〔〔1 1〕根据〕根据2020以内各数的以内各数的因数个数把数分成三类：因数个数把数分成三类：1 1、质数、合数质数、合数〔〔2 2〕可任出一个数，让〕可任出一个数，让学生根据概念判断其为学生根据概念判断其为质数还是合数质数还是合数 三角形按角分类三角形按角分类任意找一些三角形任意找一些三角形引导学生自己分类引导学生自己分类启发学生想怎样用集合圈启发学生想怎样用集合圈表示几种三角形之间的关系表示几种三角形之间的关系 三角形按边分类三角形按边分类思路同前思路同前也可以同时进行分类也可以同时进行分类更加开放更加开放等腰三角形的特征等腰三角形的特征 分为三类：十位是分为三类：十位是1 1的有的有1212、、1313，十位是，十位是2 2的的有有2121、、2323，十位是，十位是3 3的有的有3131、、3232。
只有只有1 1枚硬枚硬币的：的：1 1角、角、5 5角、角、1 1元元只有只有2 2枚硬枚硬币的：的：6 6角、角、1 1元元1 1角、角、1 1元元5 5角、角、只有只有3 3枚硬枚硬币的：的：1 1元元6 6角角 2 2、分类讨论思想的教学分类讨论思想的教学第一，在分类单元的教学中，注意渗透分类思想和集合第一，在分类单元的教学中，注意渗透分类思想和集合思想 第二，在三大领域知识的教学中注意经常性地渗透分类第二，在三大领域知识的教学中注意经常性地渗透分类思想和集合思想思想和集合思想第三，注意从数学思维和解决问题的方法上渗透分类思第三，注意从数学思维和解决问题的方法上渗透分类思想第四，在统计与概率知识的教学中，渗透分类的思想第四，在统计与概率知识的教学中，渗透分类的思想第五，注意让学生体会分类的目的和作用，不要为了分第五，注意让学生体会分类的目的和作用，不要为了分类而分类类而分类 第六，注意有关数学规律在一般条件下的适用性和特殊第六，注意有关数学规律在一般条件下的适用性和特殊条件下的不适用性条件下的不适用性 2 2、、分分类类讨讨论论思思想想的的教教学学 案例案例1 1：以下图中共有多少个长方形？：以下图中共有多少个长方形？ 单一的长方形：单一的长方形：3×33×3＝＝9 9；；由两个单一长方形组成的长方形：横数由两个单一长方形组成的长方形：横数2×32×3＝＝6 6，竖数，竖数2×32×3＝＝6 6，，6+6=126+6=12；；由三个单一长方形组成的长方形：横数由三个单一长方形组成的长方形：横数1×31×3＝＝3 3，竖数，竖数1×31×3＝＝3 3，，3+3=63+3=6；；由四个单一长方形组成的长方形：由四个单一长方形组成的长方形：4 4；；由六个单一长方形组成的长方形：由六个单一长方形组成的长方形：4 4；；由九个单一长方形组成的长方形：由九个单一长方形组成的长方形：1 1。
共计共计 9+12+6+4+4+1=36 9+12+6+4+4+1=36〔个〕 案案例例2:2:下下面面四四张张卡卡片片上上分分别别写写有有数数字字0 0、、1 1、、2 2、、3 3，，可可以利用它们组成多少不同的四位数？以利用它们组成多少不同的四位数？分分析析：：把把所所有有能能组组成成的的四四位位数数分分成成三三类类，，再再依依此此按从小到大的顺序排列如下按从小到大的顺序排列如下 〔〔1 1〕〕1023 1032 1203 1230 1302 1320 1023 1032 1203 1230 1302 1320 〔〔2 2〕〕2021 2031 2103 2130 2301 23102021 2031 2103 2130 2301 2310〔〔3 3〕〕3012 3021 3102 3120 3201 32103012 3021 3102 3120 3201 3210 方方法法是是：：可可以以按按只只有有一一种种、、二二种种、、三三种种硬硬币币的的方方法法进进行分类组合行分类组合只有一种硬币：只有一种硬币：1010个个1 1分，分，5 5个个2 2分分, 2, 2个个5 5分分,3,3种换法种换法; ;只有两种硬币只有两种硬币:8:8个个1 1分和分和1 1个个2 2分分, 6, 6个个1 1分和分和2 2个个2 2分分, , 4 4个个1 1分和分和3 3个个2 2分分, 2, 2个个1 1分和分和4 4个个2 2分分, , 5 5个个1 1分和分和1 1个个5 5分分, 5, 5种换法种换法; ;只有三种硬币只有三种硬币:1:1个个1 1分、分、2 2个个2 2分和分和1 1个个5 5分，分， 3 3个个1 1分、分、1 1个个2 2分和分和1 1个个5 5分，分，2 2种换法。
种换法共计共计1010种换法案例案例3:3:把把1 1张一角的人民币换成零钱，现有足够的张一角的人民币换成零钱，现有足够的1 1、、2 2、、5 5分币有多少种换法？分币有多少种换法？ 还可以按照币种的范围分类讨论还可以按照币种的范围分类讨论 期期末末测试表达分表达分类数学思想的数学思想的题目：如以下目：如以下图，，有一些扣子要分，笑笑、亮亮分有一些扣子要分，笑笑、亮亮分别是是这样分分的，的，这一一过程表达了〔程表达了〔 〕数学思想〕数学思想这一思想一思想为继续学学习数学奠定根底数学奠定根底笑笑笑笑 亮亮亮亮 九、统计思想九、统计思想1 1、统计思想的具体应用统计思想的具体应用小学数学中统计的知识点主要有：象形统计小学数学中统计的知识点主要有：象形统计图、单式统计表、复式统计表、单式条形统图、单式统计表、复式统计表、单式条形统计图、复式条形统计图、单式折线统计图、计图、复式条形统计图、单式折线统计图、复式折线统计图、扇形统计图、平均数、中复式折线统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，以及不恰当的数据及统计图表位数、众数，以及不恰当的数据及统计图表可能产生误导。
可能产生误导 2 2、统计思想的教学统计思想的教学第一，注重过程性目标的教学第一，注重过程性目标的教学 第二，认识统计对决策的作用，能从统计的第二，认识统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题角度思考与数据有关的问题 第三，能对给定数据的来源、收集和描述的第三，能对给定数据的来源、收集和描述的方法，以及分析的结论进行合理的质疑方法，以及分析的结论进行合理的质疑 第四，对有关概念应正确理解，应注重知识第四，对有关概念应正确理解，应注重知识的应用，防止单纯的数据计算和概念判断的应用，防止单纯的数据计算和概念判断如：让学生找出下面一组数据的众数：如：让学生找出下面一组数据的众数：75 75 84 84 89 89 92 92 96 9884 84 89 89 92 92 96 98 平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势的数量，代表一般水平的数量，代表一般水平平均数能反映全体数据的信息，任何一个数据的改平均数能反映全体数据的信息，任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，比较敏感，因而应用比变都会引起平均数的改变，比较敏感，因而应用比较普遍；缺点是易受极端值的影响。
较普遍；缺点是易受极端值的影响 中位数处于中间水平，不受极端值的影响，运算简中位数处于中间水平，不受极端值的影响，运算简单，在一组数据中起分水岭的作用；缺点是不能反单，在一组数据中起分水岭的作用；缺点是不能反映全体数据的情况，可靠性较差映全体数据的情况，可靠性较差众数不受极端数据的影响，运算简单，当要找出适众数不受极端数据的影响，运算简单，当要找出适应多数需要的数值时，常用众数；缺点是不能反映应多数需要的数值时，常用众数；缺点是不能反映全体数据的情况，可靠性较差众数可能不唯一，全体数据的情况，可靠性较差众数可能不唯一，甚至有时没有甚至有时没有 2 2、统计思想的教学统计思想的教学案例案例1 1：一家公司：一家公司20212021年和年和20212021年职工年工资情况如下表年职工年工资情况如下表职务总经理理副副总经理理部部门经理理部部门副副经理理普通普通员工工人数人数1 12 28 8101079792008年工年工资／万元／万元8 87 75 54 42 22009年工年工资／万元／万元10108.58.56 64.84.82.32.3〔〔1 1〕这家公司〕这家公司20212021年和年和20212021年职工平均工资各是多少？年职工平均工资各是多少？〔〔2 2〕这家公司对外宣称，〕这家公司对外宣称，20212021年职工平均工资比年职工平均工资比20212021年增长年增长17%17%以上，这种说法有不妥之处吗？以上，这种说法有不妥之处吗？(1)2021(1)2021和和20212021年职工平均工资分别为：年职工平均工资分别为：(8+2×7+8×5(8+2×7+8×5＋＋10×410×4＋＋79×2)÷100=2.6(79×2)÷100=2.6(万元万元) )(10(10＋＋＋＋8×68×6＋＋＋＋79×2.3)=3.047(79×2.3)=3.047(万元万元) )(2)(3.047-2.6)÷2.6≈17.2%,(2.3-2)÷2=15%(2)(3.047-2.6)÷2.6≈17.2%,(2.3-2)÷2=15%。
案例案例2 2：有关部门对一个社区的：有关部门对一个社区的100100个居民月度人均用水个居民月度人均用水量进行了调查统计，数据如下表：量进行了调查统计，数据如下表：用水量／吨用水量／吨2 23 34 45 56 6人数／人人数／人8 82424404022226 6(1)(1)计算这组数据的平均数、中位数和众数计算这组数据的平均数、中位数和众数2)(2)什么数可以代表居民人均用水量的一般水平？什么数可以代表居民人均用水量的一般水平？(3)(3)如果采取阶梯水价，标准用水量以上加价收费，希望如果采取阶梯水价，标准用水量以上加价收费，希望至少至少7070％的居民不受影响，你认为人均标准用水量定为多％的居民不受影响，你认为人均标准用水量定为多少比较适宜？少比较适宜？〔〔1 1〕平均数：〕平均数：(2×8(2×8＋＋3×243×24＋＋4×404×40＋＋5×225×22＋＋×6)÷100=3.94(×6)÷100=3.94(吨吨) )，，中位数和众数都是中位数和众数都是4 4吨2)(2)中位数和众数相等，平均数也约等于中位数和众数，这三个量差异中位数和众数相等，平均数也约等于中位数和众数，这三个量差异很小，都可以作为该组数据一般水平的代表。
很小，都可以作为该组数据一般水平的代表3)100×70%=70(3)100×70%=70，用水量在，用水量在4 4吨及以下的人数为吨及以下的人数为7272人，所以人均标准用人，所以人均标准用水量定为水量定为4 4吨比较适宜吨比较适宜 十、分析法和综合法十、分析法和综合法1 1、分析法和综合法的具体应用分析法和综合法的具体应用2 2、分析法和综合法的教学分析法和综合法的教学第一，在学习一般的数学概念和性质时注重第一，在学习一般的数学概念和性质时注重分析能力和综合能力的培养分析能力和综合能力的培养 第二，在解决问题时注重分析法和综合法的第二，在解决问题时注重分析法和综合法的结合运用结合运用 案例案例1 1：一件衬衫的标价是：一件衬衫的标价是150150元，现在因换元，现在因换季按标价打八折的优惠价出售，还能够在进季按标价打八折的优惠价出售，还能够在进价的根底上获利价的根底上获利20%20%这款衬衫的进价是多少这款衬衫的进价是多少钱？钱？ 根据分析法找出的数量关系和解题思路，用综合法列根据分析法找出的数量关系和解题思路，用综合法列式如下进价加获利进价加获利2020％一共的钱数：％一共的钱数：150×80%150×80%＝＝120(120(元元) )这款衬衫的进价是：这款衬衫的进价是：120÷120÷〔〔1+20%1+20%〕＝〕＝100100〔元〕〔元〕列成综合算式是：列成综合算式是：150×80%÷150×80%÷〔〔1+20%1+20%〕＝〕＝100100元〕元〕 案例案例2 2：食品店把：食品店把120120千克巧克力分装在两种大小不千克巧克力分装在两种大小不同的盒子里，先装千克一盒的装了同的盒子里，先装千克一盒的装了200200盒，剩下的每盒，剩下的每盒装千克。
这些巧克力一共装了多少盒？盒装千克这些巧克力一共装了多少盒？小盒共装的千克数：小盒共装的千克数：0.25×200=50(0.25×200=50(千克千克) )大盒共装的千克数大盒共装的千克数:120:120－－50=70(50=70(千克千克) )大盒装的盒数大盒装的盒数:70÷0.5=140(:70÷0.5=140(盒盒) )一共装的盒数一共装的盒数:200:200＋＋140=340(140=340(盒盒) )综合算式为综合算式为:200+(120-0.25×200)÷0.5=340(:200+(120-0.25×200)÷0.5=340(盒盒)案例案例3 3：明明家有一些苹果和梨，苹果的个数如果再减：明明家有一些苹果和梨，苹果的个数如果再减少少5 5个，就恰好是梨的个数的个，就恰好是梨的个数的3 3倍如果每天吃倍如果每天吃4 4个苹果个苹果和和2 2个梨，当梨吃完时苹果还剩个梨，当梨吃完时苹果还剩1515个那么原来梨和苹个那么原来梨和苹果各有多少个？果各有多少个？苹果和梨相比较，苹果减少苹果和梨相比较，苹果减少1515个是梨的个是梨的2 2倍，减少倍，减少5 5个是梨的个是梨的3 3倍；倍；所以，从所以，从1515个中减去个中减去5 5个，剩下的个，剩下的1010个就是梨的个数。
个就是梨的个数 十一、概率思想十一、概率思想１、概率思想１、概率思想 生活中有很多现象是必然的，如也有很多是偶数的偶然现象， 生活中有很多现象是必然的，如也有很多是偶数的偶然现象，也叫随机现象，外表上看可能无规律，但大量地收集数据或重复也叫随机现象，外表上看可能无规律，但大量地收集数据或重复实验可能具有某种规律性，概率统计主要是用数学方法揭示这种实验可能具有某种规律性，概率统计主要是用数学方法揭示这种统计规律性 统计规律性 〔〔1 1〕事件的分类〕事件的分类 必然事件 必然事件 确定事件 确定事件 事件 不可能事件 事件 不可能事件 随机事件 随机事件〔〔2 2〕概率的类型〕概率的类型 古典概型 古典概型 概率概率 几何概型 几何概型 古典概率模型：古典概率模型：根本领件的个数有限根本领件的个数有限每个根本领件出现的可能每个根本领件出现的可能性相等性相等几何概率模型：几何概率模型：每个根本领件发生的概率每个根本领件发生的概率只与构成该事件区域的长只与构成该事件区域的长度〔面积、体积〕成比例度〔面积、体积〕成比例 1 1、概率思想的具体应用。
概率思想的具体应用 (1)(1)根据等可能性事件设计公平的游戏规那么根据等可能性事件设计公平的游戏规那么; ;(2)(2)统计推断中很多情况是根据对随机事件的统计推断中很多情况是根据对随机事件的相关数据进行分析后，再对随机事件发生的可相关数据进行分析后，再对随机事件发生的可能性大小进行预测和决策如：能性大小进行预测和决策如：20212021年南非世年南非世界杯决赛西班牙对荷兰，有人预测西班牙夺冠，界杯决赛西班牙对荷兰，有人预测西班牙夺冠，理由是西班牙是近年欧洲冠军、实力雄厚；还理由是西班牙是近年欧洲冠军、实力雄厚；还有人预测荷兰卫冕，理由是荷兰是无冕之王、有人预测荷兰卫冕，理由是荷兰是无冕之王、两次获得世界杯亚军西班牙和荷兰两队历史两次获得世界杯亚军西班牙和荷兰两队历史上一共交手上一共交手9 9次，其中荷兰次，其中荷兰4 4胜胜1 1平平4 4负，实力不负，实力不分上下所以两队夺冠的可能性各占一半所以两队夺冠的可能性各占一半 2 2、概率思想的教学概率思想的教学第一，随机事件的发生是有条件的，是在一定第一，随机事件的发生是有条件的，是在一定条件下，事件发生的可能性有大小；条件变了，条件下，事件发生的可能性有大小；条件变了，事件发生的可能性大小也可能会变化。
事件发生的可能性大小也可能会变化 第二，防止把频率与概率混淆第二，防止把频率与概率混淆 第三，创设联系学生生活的情境，要注意每个第三，创设联系学生生活的情境，要注意每个根本领件是否具有等可能性根本领件是否具有等可能性 第四，概率是理论上的精确值，但是随机事件第四，概率是理论上的精确值，但是随机事件在具体一次试验中可能出现意外，即频率与概在具体一次试验中可能出现意外，即频率与概率有一定偏差率有一定偏差 案例案例1 1：连续两次抛掷一枚硬币，如果第一：连续两次抛掷一枚硬币，如果第一次正面朝上，那么第二次一定是反面朝上吗次正面朝上，那么第二次一定是反面朝上吗？？ 案例案例2：天气预报预测明天降水概率是：天气预报预测明天降水概率是90%，明天一定下雨吗？，明天一定下雨吗？ 案例案例3 3：六：六(2)(2)班同学血型情况如右图班同学血型情况如右图1)(1)从图中你能得到哪些信息？从图中你能得到哪些信息？(2)(2)该班有该班有5050人，各种血型各有多少人？人，各种血型各有多少人？(1)(1)从图中得到如下信息：从图中得到如下信息：在六在六(2)(2)班的同学中有四种血型，这四种血型Ｏ型班的同学中有四种血型，这四种血型Ｏ型的人最多，占的人最多，占40%40%，Ａ型和Ｂ型的人数分别排第二、，Ａ型和Ｂ型的人数分别排第二、第三，ＡＢ型的人最少，只占第三，ＡＢ型的人最少，只占8 8％。
％2)50(2)50人中Ｏ型、Ａ型、Ｂ型和ＡＢ型的人数分别人中Ｏ型、Ａ型、Ｂ型和ＡＢ型的人数分别有：有：2020、、1414、、1212、、4 4人3)(3)六年级有六年级有200200人，你能估计各种血型的人数吗？人，你能估计各种血型的人数吗？ 2 2、反证法的教学反证法的教学第一，掌握它的根本原理和步骤是必要的第一，掌握它的根本原理和步骤是必要的第二，对反证法涉及的一些概念和词语应正第二，对反证法涉及的一些概念和词语应正确理解第三，对于学生来说，只需初步了解其方法第三，对于学生来说，只需初步了解其方法作为教师而言，要掌握反证法的根本原理、作为教师而言，要掌握反证法的根本原理、步骤和推理方法，以便在教学中把握反证法步骤和推理方法，以便在教学中把握反证法的科学性的科学性 十二、反证法十二、反证法1 1、反证法的具体应用反证法的具体应用 2、反证法的教学反证法的教学案例案例1: 把把43人分成人分成7个小组，总有一个小组个小组，总有一个小组至少有至少有7人请说明理由请说明理由假设假设∠∠A不是锐角，首先三角形的任何一个内角不不是锐角，首先三角形的任何一个内角不可能等于可能等于0度，那么有度，那么有∠∠A≥90°，又因为，又因为∠∠C =90°，，∠∠B>0°，所以，所以∠∠A+∠∠B+∠∠C>180°，这与三角形，这与三角形的内角和等于的内角和等于180°矛盾。
所以矛盾所以∠∠A一定是锐角一定是锐角案例案例2 2：在直角三角形：在直角三角形ABCABC中，中，∠∠C C是直角，是直角，请说明：请说明：∠∠A A一定是锐角一定是锐角 十三、集合思想十三、集合思想1 1、集合思想的具体应用集合思想的具体应用案例：正整数集合与正偶数集合，它们的基案例：正整数集合与正偶数集合，它们的基数相等吗？数相等吗？ 分析：只要满足一一对应就基数相等 分析：只要满足一一对应就基数相等 １ ２ ３ ４ ５ １ ２ ３ ４ ５ ┅ ┅↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ２ ４ ６ ８ １０ ２ ４ ６ ８ １０ ┅ ┅ 案例案例1 1：乒乓球比赛有：乒乓球比赛有1616人参加Ａ组的小组赛，规人参加Ａ组的小组赛，规定采取淘汰赛决出小组第一名参加决赛一共要进定采取淘汰赛决出小组第一名参加决赛一共要进行多少场比赛？行多少场比赛？十三、集合思想十三、集合思想2 2、集合思想的教学集合思想的教学第一，应正确理解有关概念第一，应正确理解有关概念 第一轮共有第一轮共有8 8场比赛，第二轮共有场比赛，第二轮共有4 4场比赛，第三轮场比赛，第三轮共有共有2 2场比赛，第四轮共有场比赛，第四轮共有1 1场比赛；所以总共有场比赛；所以总共有15(8+4+2+1=15)15(8+4+2+1=15)场比赛。
场比赛在小组参赛的在小组参赛的1616人中，最后只有一人得第一名，人中，最后只有一人得第一名，要淘汰要淘汰1515人，所以比赛的场数为人，所以比赛的场数为1515场 第二，正确把握集合思想的教学要求第二，正确把握集合思想的教学要求 案例案例2 2：六：六(1)(1)班举办文艺活动，班举办文艺活动，演出歌舞节目的有演出歌舞节目的有9 9人，演出小人，演出小品等节目的有品等节目的有1212人，两类节目人，两类节目都参加的有都参加的有5 5人该班共有多少人该班共有多少人参加这两类节目的演出？人参加这两类节目的演出？第三，集合思想的教学要贯彻小学数学的始第三，集合思想的教学要贯彻小学数学的始终 十四、极限思想十四、极限思想1 1、极限思想的具体应用极限思想的具体应用极限思想在小学数学中的应用和渗透，主要表达极限思想在小学数学中的应用和渗透，主要表达在以下几点在以下几点1)(1)在数的认识中体会有限与无限的思想在数的认识中体会有限与无限的思想 〔〔2 2〕在数的计算中体会极限思想〕在数的计算中体会极限思想 〔〔3 3〕在认识图形时渗透无限的思想〕在认识图形时渗透无限的思想 〔〔4 4〕在圆的面积、圆柱的体积的计算中渗透极〕在圆的面积、圆柱的体积的计算中渗透极限思想。
限思想 等分后的小等分后的小块组成不同的形状成不同的形状近似平行四近似平行四边形形近似三角形近似三角形近似梯形近似梯形 四等分圆四等分圆圆的面积圆的面积 四等分圆四等分圆圆的面积圆的面积 四等分圆四等分圆圆的面积圆的面积 四等分圆四等分圆圆的面积圆的面积 四等分圆四等分圆圆的面积圆的面积 四等分圆四等分圆圆的面积圆的面积 四等分圆四等分圆圆的面积圆的面积 八等分圆八等分圆圆的面积圆的面积 八等分圆八等分圆圆的面积圆的面积 八等分圆八等分圆圆的面积圆的面积 八等分圆八等分圆圆的面积圆的面积 八等分圆八等分圆圆的面积圆的面积 八等分圆八等分圆圆的面积圆的面积 十六等分圆十六等分圆圆的面积圆的面积 圆的面积圆的面积 圆的面积圆的面积 圆的面积圆的面积 圆的面积圆的面积十六等分圆十六等分圆 分分得得越越细细越越接接近近长长方方形形曲曲直直播放播放 2 2、极限思想的教学极限思想的教学案例案例1 1：把循环小数：把循环小数0.999… 0.999… 化成分数化成分数＋＋＋＋＋＋……＝＝0.999…0.999…0.999…=1 0.999…=1 十五、假设法十五、假设法1 1、假设法的具体应用。
假设法的具体应用 十五、假设法十五、假设法2 2、假设法的教学假设法的教学 课例：分数的根本性质课例：分数的根本性质 第一，根据题目的特点，选择适当的数据进行第一，根据题目的特点，选择适当的数据进行假设 案例案例1：：(1) 六年级参加植树的男生和女生共有六年级参加植树的男生和女生共有36人，其中男生人数是女生人数的人，其中男生人数是女生人数的3倍男生和女倍男生和女生各有多少人？生各有多少人？(2) 六年级参加植树的男生和女生共有六年级参加植树的男生和女生共有36人，其人，其中男生人数的中男生人数的 是女生人数的是女生人数的2倍男生和女生倍男生和女生各有多少人？各有多少人？ 案例案例2 2：小明和妈妈恰好花：小明和妈妈恰好花100100元买了元买了1010本本书，单价有书，单价有8 8元一本的和元一本的和1313元一本的两种元一本的两种其中其中8 8元一本的和元一本的和1313元一本的各买了几本元一本的各买了几本？？8 8元的买了元的买了6 6本，本，1313元的买了元的买了4 4本 第二，在数量之间具有一定的比例关系前提下，可第二，在数量之间具有一定的比例关系前提下，可假设其中的一个数量为单位假设其中的一个数量为单位“1“1〞，可大大简化计算〞，可大大简化计算的繁琐程度。
的繁琐程度案例案例3 3：足球比赛门票是：足球比赛门票是2020元一张，平均每场有元一张，平均每场有50005000名观众，降价后每场观众增加了名观众，降价后每场观众增加了50%50%，收入增加了，收入增加了20%20%，降价后门票的价格是多少？，降价后门票的价格是多少？降价后收入是：降价后收入是：5000×20×(1+20%)5000×20×(1+20%)＝＝120000120000〔元〕〔元〕降价后的观众人数是：降价后的观众人数是：5000×(1+50%)5000×(1+50%)＝＝7500(7500(人人) )所以降价后的门票价格是：所以降价后的门票价格是：120000÷7500120000÷7500＝＝16(16(元元) ) 假设降价前的观众人数是假设降价前的观众人数是1,1,那么降价后的观众人那么降价后的观众人数是数是1×(1+50%)=1.5, 1×(1+50%)=1.5, 降价前的收入是降价前的收入是20×1,20×1,那那么降价后的收入是么降价后的收入是20×1×(1+20%)20×1×(1+20%)＝＝24,24,所以降价所以降价后的门票价格是：＝后的门票价格是：＝16(16(元元) )。
案例案例4 4：如以下图所示，水池和菜地组成了一个正：如以下图所示，水池和菜地组成了一个正方形，水池和林地组成了一个长方形，重叠的局方形，水池和林地组成了一个长方形，重叠的局部是水池水池的面积占长方形的部是水池水池的面积占长方形的 ，占正方形，占正方形的的 林地的面积比菜地多林地的面积比菜地多200200平方米，水池的平方米，水池的占地面积是多少？占地面积是多少？设水池的面积为设水池的面积为1,1,那么林地的面积为那么林地的面积为1÷ 1÷ －－1 1＝＝5 5菜地的面积为菜地的面积为1÷ 1÷ －－1 1＝＝3 3，， 200÷(5200÷(5－－3)3)＝＝100(100(平方米平方米) )所以水池所以水池的占地面积为的占地面积为100100平方米 十六、运筹思想十六、运筹思想 运筹学：应用数学的方法在军事、管理、规运筹学：应用数学的方法在军事、管理、规划、人力安排、交通、经济等领域找到解决问题划、人力安排、交通、经济等领域找到解决问题的最正确方案的最正确方案在小学，主要讨论以下几个问题：在小学，主要讨论以下几个问题：１、分配问题。
１、分配问题 对于有限的资源、人员、设备、时间等因素 对于有限的资源、人员、设备、时间等因素构成的系统，如何统筹规划，以最优的方式对有构成的系统，如何统筹规划，以最优的方式对有关因素加以安排或分配，使得消耗最小，效益最关因素加以安排或分配，使得消耗最小，效益最大 ２、排队问题２、排队问题 研究公共效劳系统中，如何安排效劳设施，尽量缩 研究公共效劳系统中，如何安排效劳设施，尽量缩短效劳时间，使效劳系统到达最优状态短效劳时间，使效劳系统到达最优状态 ３、对抗问题３、对抗问题 研究竞争双方分别选择最优的对抗策略，以使本方 研究竞争双方分别选择最优的对抗策略，以使本方在竞争中处于优势在竞争中处于优势 数学思想方法不同于一般的概念和数学思想方法不同于一般的概念和技能，技能一般通过短期的训练便能掌技能，技能一般通过短期的训练便能掌握，数学思想方法的教学更应该是一个握，数学思想方法的教学更应该是一个通过长期的渗透和影响才能够形成思想通过长期的渗透和影响才能够形成思想和方法的过程和方法的过程 好雨知时节，当春乃发生好雨知时节，当春乃发生随风潜入夜，润物细无声随风潜入夜，润物细无声 ————杜甫杜甫 谢谢！谢谢！ 。
