1.2无穷小量的比较ppt课件.ppt

2-6 无穷小量的比较无穷小量的比较　　　　　　复习　　　　　　复习二、两个重要极限二、两个重要极限一、极限存在准则夹逼准则 ；单调有界准则2都是无都是无都是无都是无穷穷小小小小. .极限不同极限不同极限不同极限不同, ,反映了无反映了无反映了无反映了无穷穷小小小小趋趋向于零的向于零的向于零的向于零的“ “快慢〞程度不同快慢〞程度不同快慢〞程度不同快慢〞程度不同. .不可比不可比不可比不可比. .观观观观察察察察各各各各极极极极限限限限不存在不存在不存在不存在第六节 无穷小的比较3定定定定义义：：：：记记作：作：作：作：(1)(1)假假假假设设就就就就说说是比是比是比是比较较高高高高阶阶的无的无的无的无穷穷小；小；小；小；(2)(2)假假假假设设就就就就说说是比是比是比是比较较低低低低阶阶的无的无的无的无穷穷小；小；小；小；(3)(3)假假假假设设就就就就说说与与与与同同同同阶阶的无的无的无的无穷穷小小小小, ,(4)(4)假假假假设设就就就就说说是关于是关于是关于是关于的的的的 k k 阶阶无无无无穷穷小小小小. .记记作：作：作：作：设设设设是同一是同一是同一是同一过过程中的两个无程中的两个无程中的两个无程中的两个无穷穷小，小，小，小， 且且且且特特特特别别地地地地, ,若若若若C =1C =1时时, , 就就就就说说与与与与是等价的无是等价的无是等价的无是等价的无穷穷小；小；小；小；4注意：注意：1.1.无无穷小的小的阶的高低是相的高低是相对的；并依的；并依赖于极限于极限过程的；程的；2.2.无穷小的比较是无穷小的比较是 型极限的另外一种说法；型极限的另外一种说法；3.3.有两个重要的符号有两个重要的符号5例如例如∵∵∵∵∵∵∵∵67例例1 1 求求解解 令令那么那么当当所以所以例例2 2 求证求证证证1.8例例3 31.那那么么注意注意解解∵∵9例例4 4解解例例5 5解解10例例6 设当设当 时时 ~ 求求解解 因为因为 ~ 所以有所以有即即11证证必要性必要性充分性充分性意意义：用等价无：用等价无穷小可小可给出函数的近似表达式．出函数的近似表达式．二、等价无穷小的性质无穷小无穷小12例如例如,2.设在某个过程中， 均为无穷小，那么（自反性）（对称性）（传递性）133. 3. 常用等价无穷小常用等价无穷小: :14三、等价无穷小代换定理２定理２( (等价无等价无穷小代小代换定理定理) )证证说明：明：即定理条件即定理条件满足足时，可以只代，可以只代换分子或分母分子或分母.15 3. 3. 若未定式的分子或分母若未定式的分子或分母为若干个因子的乘若干个因子的乘积，，则可可对其其中的任意一个或几个无中的任意一个或几个无穷小因子作等价无小因子作等价无穷小代小代换，而不会，而不会改改变原式的极限．原式的极限．即定理条件即定理条件满足足时，可以代，可以代换积中因式的无中因式的无穷小小.说明：说明：即定理条件满足时，可以只代换分子或分母即定理条件满足时，可以只代换分子或分母.16解解解解3. 3.若未定式的分子或分母若未定式的分子或分母若未定式的分子或分母若未定式的分子或分母为为若干个因子的乘若干个因子的乘若干个因子的乘若干个因子的乘积积，，，，任意一个或几个无任意一个或几个无任意一个或几个无任意一个或几个无穷穷小因子作等价无小因子作等价无小因子作等价无小因子作等价无穷穷小代小代小代小代换换，，，， 而不会改而不会改而不会改而不会改变变原式原式原式原式则则可可可可对对其中的其中的其中的其中的的极限．的极限．的极限．的极限．原式原式原式原式例例例例7 7 7 7求极限的又一种好方法求极限的又一种好方法, , 注意适用条件注意适用条件. .17例例8 8 求求例例9 9求求解解∵∵解解∵∵18例例10. 10. 求求解解: :19例例11解解20例例1212解解解解错错不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.切切记：只可：只可对函数的因子作等价无函数的因子作等价无穷小代小代换，，对于代数和中各无于代数和中各无穷小不能分小不能分别代代换. .注意注意21例例1313解解∵∵22例例14 求求解一解一解二解二23例例15 (09年考研年考研) 求求解：解： 原式原式=24小结小结1、无、无穷小的比小的比较反映了同一反映了同一过程中程中, 两无两无穷小小趋于零的速度快慢于零的速度快慢.2、等价无穷小的代换、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件. 切切记，只可，只可对函数的因子作等价无函数的因子作等价无穷小代小代换，，对于代数和中各无于代数和中各无穷小不能分小不能分别代代换. .25思考题思考题任何两个无任何两个无穷小量都可以比小量都可以比较吗？？思考思考题解答解答不能．不能．例当例当 时时都是无都是无穷小量小量但但不存在且不不存在且不为无无穷大大故当故当 时时26解解∵∵27。